中考数学二轮复习·专项训练
专项八 阅读理解及新定义型问题
重 点 知 识 讲 解
类型一 阅读理解型
阅读理解型问题它由两部分组成：一是阅读材料，二是考查内容．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成或应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础知识的试题，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的试题．解决新定义概念型问题的关键是把握实质并在其基础上作出回答，首先仔细阅读
信息，收集处理信息，以领悟数学知识或感悟数学思想方法；然后运用新知识解决新问题，或运用范例形成科学的思维方式和思维策略，或归纳与类比作出合情判断和推理，进而解决问题．
经典例题1 阅读理解：已知a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：＝a×d－b×c，例如：＝3×(－2)－2×(－1)＝－6＋2＝－4.二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为其中D＝，Dx＝，Dy＝.
问题：用上面的方法解二元一次方程组时，下列说法错误的是( )
A．D＝＝－7 B．Dx＝－14
C．Dy＝27 D．方程组的解为
【解析】 由题意得D＝＝2×(－2)－3×1＝－7，Dx＝＝1×(－2)－1×12＝－14，Dy＝＝2×12－1×3＝21，∴故选C.
【答案】 C
类型二 新定义运算型
新定义运算型试题，要抓住新定义运算的法则或者顺序，并将此定义作为解题的依据，通常照套法则即可．需要注意两点：①有括号时应当先算括号里面的；②新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用运算律解题．总之，新定义型问题是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原知识点．
经典例题2 对于函数y＝xn＋xm，我们定义y′＝nxn－1＋mxm－1(m，n为常数)．例如：y＝x4＋x2，则y′＝4x3＋2x.
已知：函数y＝x3＋(m－1)x2＋m2x(m为常数)．
(1)若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为 ；
(2)若方程y′＝m－有两个正数根，则m的取值范围为 ．
【解析】 (1)因为y＝x3＋(m－1)x2＋m2x，则y′＝x2＋2(m－1)x＋m2，由题可知一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0有两个相等实数根，则Δ＝b2－4ac＝[2(m－1)]2－4×1×m2＝0，解得m＝；(2)由题可知x2＋2(m－1)x＋m2＝m－有两个正数根，整理得x2＋2(m－1)x＋m2－m＋＝0有两个正数根，则解得m≤且m≠.
【答案】 (1) (2)m≤且m≠
备 考 演 练
1. 平面直角坐标系中，点P的坐标为(m，n)，则向量可以用点P的坐标表示为＝(m，n)；已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，若x1·x2＋y1·y2＝0，则与互相垂直．下列四组向量：
①＝(3，－9)，＝(1，－)；②＝(2，π0)，＝(2－1，－1)；
③＝(cos30°，tan45°)，＝(sin30°，tan45°)；
④＝(＋2，)，＝(－2，)．其中互相垂直的向量有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2. 利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0. 将第一行表示的数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级的序号，其序号为a×23＋b×22＋c×21＋d×20.如图2，第一行表示的数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是( )
A B C D
3. 对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y＝＋.若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是 ．
4. 规定：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整数，[x)表示最接近x的整数(x≠n＋0.5，n为整数)，例如：[2.3]＝2，(2.3)＝3，[2.3)＝2，则下列说法：①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝6；②当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－7；③方程4[x]＋3(x)＋[x)＝11的解为1＜x＜1.5；④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋(x)＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有2个交点．其中正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
5. 知识背景：当a＞0且x＞0时，因为(－)2≥0，所以x－2＋≥0，从而x＋≥2(当x＝时取等号)．
已知关于x的函数y＝x＋(a＞0，x＞0)，由上述结论可知：当x＝时，该函数有最小值2.
应用举例：
已知函数y1＝x(x＞0)与函数y2＝(x＞0)，则当x＝＝2时，y1＋y2＝x＋有最小值2＝4.
解决问题：
(1)已知函数y1＝x＋3(x＞－3)与函数y2＝(x＋3)2＋9(x＞－3)，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？
6. 阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P，Q的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝.如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|＝＝2.
对于某种几何图形，给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．
(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是 ；
(2)若动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C的轨迹的函数解析式．
问题拓展：
(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y＝kx＋交于E，F两点，分别过点E，F作直线l的垂线，垂足分别是点M，N.
求证：①EF是△AMN外接圆的切线；
②＋为定值．
7. 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称数n为“极数”．
(1)请任意写出三个“极数”；猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，并说明理由．
(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D(m)＝，求满足D(m)是完全平方数的所有m.
8. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N)．
已知点A(－2，6)，B(－2，－2)，C(6，－2)．
(1)求d(点O，△ABC)；
(2)记函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)＝1，直接写出k的取值范围；
(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围．
9. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°；
①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；
②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．
10. 在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”．在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP＝BC，如图所示．
(1)如图①，求证：BA＝BP；
(2)如图②，点Q在DC上，且DQ＝CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；
(3)如图③，已知AD＝1，在(2)的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM＝BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．
参考答案
备考演练
1. A 【解析】 ∵3×1＋(－9)×(－)＝3＋3＝6≠0，∴ 与互相不垂直．∵2×2－1＋π0×(－1)＝1－1＝0，∴与互相垂直．∵cos30°×sin30°＋tan45°×tan45°＝×＋1×1＝≠0，∴ 与互相不垂直．∵(＋2)×(－2)＋×＝1＋1＝2≠0，∴ 与互相不垂直．故互相垂直的向量有1组，故选A．
2. B 【解析】 根据题意，可得A中的图案表示的班级序号为1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝8＋0＋2＋0＝10，B中的图案表示的班级序号为0×23＋1×22＋1×21＋0×20＝0＋4＋2＋0＝6，C中的图案表示的班级序号为1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝8＋0＋0＋1＝9，D中的图案表示的班级序号为0×23＋1×22＋1×21＋1×20＝0＋4＋2＋1＝7，故选B．
3. －1 【解析】 ∵x*y＝＋，∴ 1*(－1)＝＋＝a－b＝2，∴ (－2)*2＝＋＝－(a－b)＝－×2＝－1.
4. ②③ 【解析】①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝1＋2＋2＝5，故①错；②当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－3＋(－2)＋(－2)＝－7，故②正确；③当x为整数时，4x＋3x＋x＝11，解得x＝(舍去)，当x不为整数时，设[x]＝t(t为整数)，则(x)＝t＋1，当[x)＝t时，，解得15. 解：(1)∵x＞－3，∴ x＋3＞0，∴＝＝(x＋3)＋≥2，即≥6.故当x＋3＝，即x＝0时，有最小值，为6.
(2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w元．根据题意，得w＝＝0.001(＋x)＋200.∵x＞0，∴ w≥0.001×2＋200，即w≥201.4.故w的最小值为201.4，此时x＝＝700.答：当x取700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是 201.4元．
6. 解：(1)以点A为圆心、1为半径的圆.
(2)根据题意，可得|y＋|＝，整理，得(y＋)2＝x2＋(y－)2，化简，得y＝x2，故动点C的轨迹的函数解析式为y＝x2.
(3)证明：①如图，由(2)可知EA＝EM，FA＝FN.易得EM∥FN，∴ ∠MEA＋∠NFA＝180°.∵∠EAM＝(180°－∠MEA)，∠FAN＝(180°－∠NFA)，∴ ∠EAM＋∠FAN＝(180°－∠MEA)＋(180°－∠NFA)＝180°－(∠MEA＋∠NFA)＝90°，∴ ∠MAN＝90°，即△AMN是直角三角形．设点G是△AMN外接圆的圆心，则点G是直径MN的中点，连接AG，EG. ∵EM＝EA，AG＝MG，EG＝EG，∴ △AEG≌△MEG，∴ ∠EAG＝∠EMG＝90°，∴ GA⊥EF，∴ EF是△AMN外接圆的切线． ②设点E，F的坐标分别为(x1，kx1＋)，(x2，kx2＋)，则EM＝kx1＋1，FN＝kx2＋1.联立抛物线与直线EF的解析式，得整理，得x2－kx－＝0，∴ x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，∴ ＋＝＋＝＝＝＝＝＝2，故＋为定值．
7. 解：(1)4158，6237，9900.猜想：任意一个“极数”是99的倍数．理由如下：设任意一个“极数”n的千位数字为x，百位数字为y(其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x，y为整数)，则十位上的数字为9－x，个位上的数字为9－y，则n＝1000x＋100y＋10(9－x)＋9－y，化简，得n＝990x＋99y＋99＝99(10x＋y＋1)．∵1≤x≤9，0≤y≤9，且x，y为整数，∴10x＋y＋1为整数，故任意一个“极数”都是99的倍数．
(2)由(1)可知，设“极数”m的千位数字为x，百位数字为y(其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x，y为整数)，则m＝990x＋99y＋99，∴D(m)＝＝3(10x＋y＋1)．∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴11≤10x＋y＋1≤100，∴33≤3(10x＋y＋1)≤300.∵D(m)为完全平方数且D(m)是3的倍数，∴ D(m)＝36，81，144或225.当D(m)＝36时，得10x＋y＝11，解得x＝1，y＝1.此时m＝1188.当D(m)＝81时，得10x＋y＝26，解得x＝2，y＝6.此时，m＝2673.当D(m)＝144时，得10x＋y＝47，解得x＝4，y＝7.此时，m＝4752.当D(m)＝225时，得10x＋y＝74，解得x＝7，y＝4.此时，m＝7425.综上，满足条件的m为1188，2673，4752，7425.
8. 解：(1)如图1，d(点O，△ABC)＝2.
(2)－1≤k≤1且k≠0.解法提示：如图1，函数y＝kx(k≠0)的图象经过原点，当－1≤x≤1时，该函数的图象为线段．当图形G经过点(1，－1)时，k＝－1，此时d(G，△ABC)＝1.当图形G经过点(－1，－1)时，k＝1，此时d(G，△ABC)＝1，∴－1≤k≤1且k≠0.
(3) t＝－4，0≤t≤4－2或t＝4＋2.解法提示：如图2，⊙T与△ABC的位置关系有如下三种情况．①当⊙T在△ABC的左侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝－4.②当⊙T在△ABC的内部时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时0≤t≤4－2.③ 当⊙T在△ABC的右侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝4＋2.综上所述，t＝－4, 0≤t≤4－2或t＝4＋2.
9. 解：(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴?ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴BD＝；②如图①，连接AC，BD，∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴AD＝CD；
(2)若EF与BC垂直，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件；若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图②，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5；②当BF＝AB时，如图③，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴△PED∽△PFB，∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，∴DE＝2.5，∴AE＝9－2.5＝6.5，综上所述，AE的长为5或6.5.
图① 图② 图③
10. (1)证明：如图①所示，∵PC＝BC，∠BCP＝90°，∴BP＝BC，又∵矩形ABCD为“标准矩形”，∴AB＝BC，∴AB＝BP；
(2)解：如图②，作点Q关于直线BC对称的点F，连接AF交BC于点E，连接QE，GF，∵DQ＝CP，
(3)证明：如图③，连接TN，TM，MN，MN交AF于点K，连接KT，由(2)可知，CF＝DP，∴PF＝AB且PF∥AB，∴四边形ABFP为平行四边形，又由PM＝BN，∴MF＝AN，∴△MFK≌△NAK(AAS)，∴点K为AF与MN的中点，又∵点T为BF的中点，∴KT为△FAB的中位线，∴S△FKT＝S△TMK＝S△TKN，∴S△MNT的面积S＝2S△FKT＝S△FAB＝S平行四边形ABFP＝×＝，∴△MNT的面积S为定值，这个定值为.
图① 图② 图③
