备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十四 平面几何之与圆的位置关系问题
考点扫描☆聚焦中考
与圆的位置关系，是每年中考的必考重点内容之一，重点考查的知识点包括切线的性质和切线的判定两方面，总体来看，难度系数中等，以选择填空为主。解析题重点进行证明为主。结合2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行与圆的位置关系问题的探讨：
（1）切线的性质；
（2）切线的判定；
（3）涉及圆与直线位置关系的综合问题．
考点剖析☆典型例题
例1如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B=25°，则∠D等于（ ）
A． 25° B． 50° C．30° D． 40°
例2（2018·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若MB=BE=1，求CD的长度．
例3如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A． B． C． D．
例4如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为cm，AC＝8cm，设运动时间为t秒．
（1）求证：NQ＝MQ；
（2）填空：
①当t＝________时，四边形AMQN为菱形；
②当t＝________时，NQ与⊙O相切．
考点过关☆专项突破
类型一 切线的性质
1. 如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D， 若 =80°， =60°，则∠ADC的度数为（??? ）
A.?80°???????B.?85°?????C.?90°???????D.?95°
2. （2018·台湾·分）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（ ）
A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB
3. 已知⊙O与直线l相切于A点，点P、Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动．连接OQ、OP（如图），则阴影部分面积S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1=S2 B．S1≤S2 C．S1≥S2 D．先S1＜S2，再S1=S2，最后S1＞S2
4. 如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（ ）
A．MN= B．若MN与⊙O相切，则AM=
C．l1和l2的距离为2 D．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
5．(2019杭州萧山区模拟)如图，动点O从边长为6的等边△ABC的顶点A出发，沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒．以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是点O出发后第 秒．
6. （2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D= 度．
7. （2018年江苏省泰州市?3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 ．
8. (2019杭州萧山区模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直经作⊙O交BC与D点，过点D作⊙O的切线EF，交AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：FE⊥AB．
（2）当AE＝6，AF＝10时，求BE的长．
类型二 切线的判定
1. （2018·广西贺州·10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．
2．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．
（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求证：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN?MC＝9，求BM的值．
3．（2018·辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求⊙O的半径r；
（3）在（1）的条件下，判断以A.O、E.F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．
4. 如图：AD是正△ABC的高，O是AD上一点，⊙O经过点D，分别交AB、AC于E、F
（1）求∠EDF的度数；
（2）若AD＝6，求△AEF的周长；
（3）设EF、AD相较于N，若AE＝3，EF＝7，求DN的长．
5. （2018·山东潍坊·8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．
6. （2018年江苏省南京市）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，
求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得x2+7x=12．
所以S△ABC=AC?BC
=（x+3）（x+4）
=（x2+7x+12）
=×（12+12）
=12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC?BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．
类型三 直线与圆的位置关系的综合问题
1．如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
2．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连结DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．
3．已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十四 平面几何之与圆的位置关系问题
考点扫描☆聚焦中考
与圆的位置关系，是每年中考的必考重点内容之一，重点考查的知识点包括切线的性质和切线的判定两方面，总体来看，难度系数中等，以选择填空为主。解析题重点进行证明为主。结合2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行与圆的位置关系问题的探讨：
（1）切线的性质；
（2）切线的判定；
（3）涉及圆与直线位置关系的综合问题．
考点剖析☆典型例题
例1如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B=25°，则∠D等于（ ）
A． 25° B． 50° C．30° D． 40°
考点： 切线的性质；圆周角定理．
分析： 根据已知条件推出CD⊥OC，∠COD=2∠B=50°，即可推出∠D=40°．
解答： 解：如右图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∵∠B=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠D=40°．
故选D．
点评： 本题主要考查了圆周角定理、切线的性质，解题的关键是求出∠AOC的度数．
例2（2018·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若MB=BE=1，求CD的长度．
【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；
（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD．
【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线
∴∠ABC=90°
∵DC⊥BC
∴∠BCD=90°
∴∠ABC=∠BCD
∵AB是⊙M的直径
∴∠AGB=90°
即：BG⊥AE
∴∠CBD=∠A
∴△ABE∽△BCD
（2）解：过点G作GH⊥BC于H
∵MB=BE=1
∴AB=2
∴AE=
由（1）根据面积法
AB?BE=BG?AE
∴BG=
由勾股定理：
AG=，GE=
∵GH∥AB
∴
∴
∴GH=
又∵GH∥AB
①
同理：②
①+②，得
∴
∴CD=
【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．
例3如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
专题： 几何图形问题；压轴题．
分析： （1）连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．
解答： 解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=．
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
，
∴Rt△PBF∽Rt△OAF．
∴===，
∴AF=FB，
在Rt△FBP中，
∵PF2﹣PB2=FB2
∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2
∴（r+BF）2﹣（）2=BF2，
解得BF=r，
∴tan∠APB===，
故选：B．
点评： 本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．
例4如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为cm，AC＝8cm，设运动时间为t秒．
（1）求证：NQ＝MQ；
（2）填空：
①当t＝________时，四边形AMQN为菱形；
②当t＝________时，NQ与⊙O相切．
【答案】 （1）解：证明：∵AB⊥MN，
∴PM＝PN
∴AB垂直平分MN，
∴NQ＝MQ
（2）；2
【考点】菱形的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质，几何图形的动态问题
【解析】【解答】（2）解：①AP＝t，CQ＝t，则PQ＝8﹣t﹣t＝8﹣2t，
∵AQ⊥MN，PM＝PN，
∴当AP＝PQ时，四边形AMQM为菱形，
即t＝8﹣2t，解得t＝ ；
②作OH⊥QN于H，如图，
OQ＝AC﹣AO﹣CQ＝8﹣﹣t＝﹣t，OP＝t﹣，
当ON⊥QN时，QN为⊙O的切线，
∵∠NOQ＝∠PON，
∴△ONP∽△OQN，
∴OP：ON＝ON：OQ，
即（t-）：＝：（ ﹣t），
整理得t2﹣8t+12＝0，解得t1＝2，t2＝6（舍去），
∴t＝2时，NQ与⊙O相切
【分析】（1）先利用垂径定理证得PM=PN，则AB垂直平分MN，然后利用线段垂直平分线的性质可证得结论。
（2）①AP=t，CQ=t，可用含t的代数式表示出PQ，根据菱形的判定方法，当AP=PQ时，四边形AMQM为菱形，可建立关于t的方程，解方程即可；②作OH⊥QN于H，用含t的代数式分别表示出OQ、OP，再证明△ONP∽△OQN，利用相似三角形的性质，可证得OP：ON＝ON：OQ，据此建立关于t的方程，解方程即可得出符合题意的t的值。
考点过关☆专项突破
类型一 切线的性质
1. 如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D， 若 =80°， =60°，则∠ADC的度数为（??? ）
A.?80°???????B.?85°?????C.?90°???????D.?95°
【考点】平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质
【分析】作直径AE，构造直径所对的圆周角是直角，结合弧的度数可知所对圆周角的度数，从而可得AE∥CD，再利用切线的性质即可解答。
【解析】【解答】解：作直径AE交圆与E，连接EC，则∠ACE=90° ∵ =80°， ∴∠ACB=40°， 又∵ CD平分∠ACB， ∴∠ACD=20°， 又∵ =60°， ∴∠AEC=， ∴∠EAC=90°-70°=20°， ∴∠EAC=∠ACD， ∴AE∥CD， 又∵ 直线l与圆相切于点A， ∴AE⊥AD， ∴CD⊥AD， ∴∠ADC=90°。 故答案为：C 2. （2018·台湾·分）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（ ）
A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB
【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；
【解答】解：如图，∵直线l是公切线
∴∠1=∠B，∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠B，
∴AC∥BD，
∴∠C=∠D，
∵PA=10，PC=9，
∴PA＞PC，
∴∠C＞∠A，
∴∠D＞∠B．
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，相切两个圆的性质等知识，解题的关键是证明AC∥BD．
3. 已知⊙O与直线l相切于A点，点P、Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动．连接OQ、OP（如图），则阴影部分面积S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1=S2 B．S1≤S2 C．S1≥S2 D．先S1＜S2，再S1=S2，最后S1＞S2
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】由题意得到弧AQ长度与AP相等，利用扇形面积公式及三角形面积公式得到扇形AOQ面积与三角形AOP面积相等，都减去扇形AOB面积即可得到S1、S2的大小关系．
【解答】解：∵直线l与圆O相切，
∴OA⊥AP，
∴S扇形AOQ=??r=??OA，S△AOP=OA?AP，
∵=AP，
∴S扇形AOQ=S△AOP，即S扇形AOQ﹣S扇形AOB=S△AOP﹣S扇形AOB，
则S1=S2．
故选A．
4. 如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（ ）
A．MN= B．若MN与⊙O相切，则AM=
C．l1和l2的距离为2 D．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
【解答】解：连结OA、OB，如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l1和l2的距离为2；故C正确，
作NH⊥AM于H，如图1，
则MH=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°=，
∴MN==；故A正确，
当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM==，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN==，
当MN在AB右侧时，AM=，
∴AM的长为或；故B错误，
当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE=OA，
∴MN为⊙O的切线．故D正确．
故选：B．
5. ．(2019杭州萧山区模拟)如图，动点O从边长为6的等边△ABC的顶点A出发，沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒．以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是点O出发后第 秒．
【分析】若以O为圆心，以为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切，即为当点O在AC上，且和BC边相切的情况．作O′D⊥BC于D，则O′D＝，利用解直角三角形的知识，进一步求得O′C＝2，从而求得OA的长，进一步求得运动时间．
【解答】解：根据题意，则作O′D⊥BC于D，
则O′D＝，
在直角三角形O′CD中，∠C＝60°，O′D＝，
∴O′C＝2，
∴O′A＝6﹣2＝4，
∴以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直线和圆相切时数量之间的关系的应用，能够正确分析出以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时的位置是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．
6. （2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D= 26 度．
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
【解答】解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°﹣∠COD=26°，
故答案为：26．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7. （2018年江苏省泰州市?3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 或 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴=，
∴=，
∴r=．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴A′T=，
∴r=A′T=．
综上所述，⊙P的半径为或．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
8. (2019杭州萧山区模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直经作⊙O交BC与D点，过点D作⊙O的切线EF，交AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：FE⊥AB．
（2）当AE＝6，AF＝10时，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，由EF为⊙O的切线，利用切线的性质得到OD与EF垂直，利用同圆的半径相等和等边对等角得到OD∥AB，由与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，即可得证；
（2）如图2，连接OD，过O作OG⊥AB于G，先根据勾股定理求EF＝8，根据三角函数tan∠F＝＝＝，设OD＝3x，DF＝4x，则OF＝5x，表示AG＝，根据AE＝6，列方程3x+＝6，可得x的值，计算BE的长．
【解答】证明：（1）如图1，连接OD，…（1分）
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
又∵AB＝AC，
∴∠OCD＝∠B，
∴∠ODC＝∠B，
∴OD∥AB，…
∵ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AB⊥EF；…
（2）如图2，连接OD，过O作OG⊥AB于G，
Rt△AEF中，∵AE＝6，AF＝10，
∴EF＝8，…（5分）
tan∠F＝＝＝，
设OD＝3x，DF＝4x，则OF＝5x，
∴OA＝OC＝3x，FC＝2x，
∵OG∥EF，
∴∠AOG＝∠F，
∴sin∠AOG＝sin∠F＝，
∴＝，
∴AG＝，…（8分）
∵四边形EDOG为矩形，
∴EG＝OD＝3x，
∵AE＝6，
∴3x+＝6，
x＝，
∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AE＝6x﹣6＝6×﹣6＝．…
【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
类型二 切线的判定
1. （2018·广西贺州·10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．
【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，
∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，
∴∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠DBE=90°，
∴∠OBD=90°，
∵OB是圆的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，
∵点E是AB的中点，AB=12，
∴AE=EB=6，OE⊥AB，
又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，
∴EF=BF=3，
∴DF==4，
∵∠AEC=∠DEF，
∴∠A=∠EDF，
∵OE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEO=∠DFE=90°，
∴△AEO∽△DFE，
∴，
即，得EO=4.5，
∴△AOB的面积是：=27．
2．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．
（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求证：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN?MC＝9，求BM的值．
【分析】（1）①欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；
②想办法证明∠P＝30°即可解决问题；
（2）如图2中，连接MA．由△AMC∽△NMA，可得，由此即可解决问题；
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
②∵CP＝CA，
∴∠P＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠P，
∵∠OCP＝90°，
∴∠P＝30°，
∵OC＝OA＝2，
∴OP＝2OC＝4，
∴．
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴，
∴AM2＝MC?MN，
∵MC?MN＝9，
∴AM＝3，
∴BM＝AM＝3．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
3．（2018·辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求⊙O的半径r；
（3）在（1）的条件下，判断以A.O、E.F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA．
∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°．在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°，∴OE⊥BC．
∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；
（2）如图21∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°．在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，∴AE===2，连接DE1AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°．在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，∴AD===4，∴⊙O的半径r=AD=2；
（3）以A.O、E.F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3．在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF．
∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．
∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF．
∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形．
4. 如图：AD是正△ABC的高，O是AD上一点，⊙O经过点D，分别交AB、AC于E、F
（1）求∠EDF的度数；
（2）若AD＝6，求△AEF的周长；
（3）设EF、AD相较于N，若AE＝3，EF＝7，求DN的长．
【分析】（1）如图1中，作OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，连接OE，OF．想办法求出∠EOF的度数即可解决问题；
（2）如图1中，作OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，连接OE，OF．利用全等三角形的性质证明EK＝EM，FM＝FL，即可推出△AEF的周长＝2AL．即可解决问题；
（3）如图3中，作FP⊥AB于P，作EM⊥AC于M，作NQ⊥AB于Q，DL⊥AC于L．想办法求出AD，AN即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，作OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，连接OE，OF．
∵AD是正△ABC的高，
∴∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，
∴∠AIO＝∠AJO＝90°，
∴∠IOJ＝360°﹣90°﹣90°＝60°＝120°，OI＝OJ，
∵OE＝OF，
∴Rt△OIE≌△Rt△OJF（HL），
∴∠IOE＝∠JOF，
∴∠EOF＝∠EOJ+∠FOJ＝∠EOJ+∠IOE＝∠IOJ＝120°，
∴∠EDF＝∠EOF＝60°．
（2）如图1中，作DK⊥AB于K，DL⊥AC于L，DM⊥EF于M，连接FG．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠B＝60°，BD＝CD，
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠B，
∵∠EDC＝∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，
∴∠BED＝∠CDF，
∵GD是圆O的直径，
∴∠ADC＝90°，∠GFD＝90°，
∴∠FGD+∠FDG＝90°，∠FDC+∠FDG＝90°，
∴∠FDC＝∠FGD＝∠DEF，
∵DK⊥EB，DM⊥EF，
∴∠EKD＝∠EMD＝90°，DK＝DM，
∴Rt△DEK≌Rt△DEM（HL），
∴∴EK＝EM，
同法可证：DK＝DL，
∴DM＝CL，
∵DM⊥FE，DL⊥FC，
∴∠FMD＝∠FLD＝90°，
∴Rt△DFM≌Rt△DFL（HL），
∴FM＝FL，
∵AD＝AD，DK＝DF，
∴Rt△ADK≌Rt△ADL（HL），
∴AK＝AL，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EK+AF+FL＝2AL，
∵AD＝6，
∴AL＝AD?cos30°＝9，
∴△AEF的周长＝18．
（3）如图3中，作FP⊥AB于P，作EM⊥AC于M，作NQ⊥AB于Q，DL⊥AC于L．
在Rt△AEM中，∵AE＝3，∠EAM＝60°，
∴AM＝AE＝，EM＝，
在Rt△EFM中，EF＝＝＝，
∴AF＝AM+MF＝8，
∵△AEF的周长＝18，
由（2）可知2AL＝18，
∴AJ＝9，AD＝＝6，
∴AP＝AF＝4，FP＝4，
∵NQ∥FP，
∵△EQN∽△EPF，
∴＝＝，
∵∠BAD＝30°，
∴AQ＝√3NQ，设EQ＝x，则QN＝4x，AQ＝12x，
∴AE＝11x＝3，
∴x＝，
∴AN＝2NQ＝，
∴DN＝AD﹣AN＝．
【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
5. （2018·山东潍坊·8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．
【分析】（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
【解答】证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，（2分）
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，（3分）
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；（4分）
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，（5分）
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，（7分）
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD====2．（8分）
【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
6. （2018年江苏省南京市）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，
求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得x2+7x=12．
所以S△ABC=AC?BC
=（x+3）（x+4）
=（x2+7x+12）
=×（12+12）
=12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC?BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．
【分析】（1）由切线长知AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，即x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；
（2）由由AC?BC=2mn得（x+m）（x+n）=2mn，即x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证即可；
（3）作AG⊥BC，由三角函数得AG=AC?sin60°=（x+m），CG=AC?cos60°=（x+m）、BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，
根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，
（1）如图1，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
所以S△ABC=AC?BC
=（x+m）（x+n）
= [x2+（m+n）x+mn]
=（mn+mn）
=mn，
（2）由AC?BC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
∴AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2
=2[x2+（m+n）x]+m2+n2
=2mn+m2+n2
=（m+n）2
=AB2，
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°；
（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
在Rt△ACG中，AG=AC?sin60°=（x+m），CG=AC?cos60°=（x+m），
∴BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x+m）]2+[（x+n）﹣（x+m）]2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=3mn，
∴S△ABC=BC?AG
=×（x+n）?（x+m）
= [x2+（m+n）x+mn]
=×（3mn+mn）
=mn．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理及其逆定理等知识点．
类型三 直线与圆的位置关系的综合问题
1．如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
【分析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF＝1.5cm，又因为∠EFC＝∠O＝90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．
【解答】解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF＝1.5，
∵AC＝2t，BD＝t，
∴OC＝8﹣2t，OD＝6﹣t，
∵点E是OC的中点，
∴CE＝OC＝4﹣t，
∵∠EFC＝∠O＝90°，∠FCE＝∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴＝
∴EF＝＝＝
由勾股定理可知：CE2＝CF2+EF2，
∴（4﹣t）2＝+，
解得：t＝或t＝，
∵0≤t≤4，
∴t＝．
故答案为：
【点评】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．
2．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连结DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而得到EF⊥AC；
（2）连接DE，如图，设．⊙O的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，则DE＝BD＝r，BE＝r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r表示出DF＝r，EF＝r，CE＝r，
从而得到r+r＝2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∵EF为切线，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥AC；
（2）解：连接DE，如图，设．⊙O的半径长为r，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，
∴DE＝BD＝r，BE＝r，
∵DF∥BC，
∴∠EDF＝∠BED＝90°，
∵∠C＝∠B＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴∠DFE＝∠CEF＝60°，
在Rt△DEF中，DF＝r，
∴EF＝2DF＝r，
在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，
而BC＝2，
∴r+r＝2，解得r＝，
即⊙O的半径长为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理．
3．已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理．
【解析】：（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可；
（2）根据勾股定理求得AC的长，根据三角形的面积公式得出AB×BC=AC×BK，代入即可求得BK．
（3）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求证AE=AC，然后即可求得AC即可．
【解答】： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK；
（2）解：∵AB=a，AD==BC，
∴AC===
∵BK⊥AC，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由三角形的面积公式得：AB×BC=AC×BK，
∴a×a=a×BK，
∴BK=a．
（3）解：DG是圆的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，
∵DE=6，
∴GE=6，
又∵F为EG中点，
∴EF=EG=3，
∵△BKC≌△DEA，
∴BK=DE=6，
∴EF=BK，且EF∥BK，
∴△AEF∽△AKB，且相似比为1：2，
∴EF为△ABK的中位线，
∴AF=BF，
又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，
∴△AFD≌△BFH（AAS），
∴HF=DF=3+6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，BK⊥AC，四边形ABCD为矩形，
∴∠AEF=∠DEA=90°，
∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DAE，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE：ED=EF：AE，
∴AE2=EF?ED=3×6=18，
∴AE=3，
∵△AED∽△HEC，
∴==，
∴AE=AC，
∴AC=9，
则AO=，
故⊙O的半径是，GH的长是6．
点评： 此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂径定理等知识点，综合性很强，利用学生系统的掌握知识，是一道很典型的题目．
