备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十五 平面几何之圆锥和扇形问题
考点扫描☆聚焦中考
圆锥与扇形问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括扇形面积和圆锥体积的计算两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以与圆知识的证明相结合为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例2019年名校中考模拟试题，我们从三个方面进行圆锥与扇形问题的探讨：
（1）扇形面积问题；
（2）圆锥体积计算；
（3）圆的相关计算综合．
考点剖析☆典型例题
例1如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为 ．
例2如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm2
例3（2018?苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则的值为 ．
例4如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
例5（2018·山东临沂·9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．
考点过关☆专项突破
类型一 与扇形相关的计算
1. （2018·辽宁省沈阳市）（2.00分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A．π B．π C．2π D．π
2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=20°，CB=3．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转得△A′B′C，点A′刚好在线段AB上，则点B转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
3. （2018·台湾·分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
4. （2018?乐山?3分）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
5. （2018?四川凉州?3分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 cm2．
6. 如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的位置时，则点O到点O′所经过的路径长为 ．
7. （2018·湖北荆州·10分）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
8. （2018·山东临沂·9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．
类型二 圆锥的计算
1. 如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．S1、S2的大小关系不确定
3．(2019杭州萧山区模拟)现在把一张正方形纸片按如图方式剪去一个半径为40厘米的圆面后得到如图纸片，且该纸片所能剪出的最大圆形纸片刚好能与前面所剪的扇形纸片围成一圆锥表面，则该正方形纸片的边长约为（ ）厘米．（不计损耗、重叠，结果精确到1厘米，≈1.41，≈1.73）
A．64 B．67 C．70 D．73
4. 已知圆锥的底面半径为10，母线长为30，则圆锥侧面积是 ．
5.（2018·湖北荆州·3分）如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示（图中数据单位：cm），则钢球的半径为 cm（圆锥的壁厚忽略不计）．
类型三 与圆相关的综合计算
1．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC=1，AB=2，求图中阴影部分的面积S；
（3）若=，求sinE的值．
2．如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH．
（1）如图2①，若点H在线段OB时，则的值是 ；
（2）如果一级楼梯的高度HE=（8+2）cm，点H到线段OB的距离d满足条件d≤3cm，那么小轮子半径r的取值范围是 ．
3．（2018?襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．
4. （2018年江苏省泰州市?10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．
5. （2018?德州）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十五 平面几何之圆锥和扇形问题
考点扫描☆聚焦中考
圆锥与扇形问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括扇形面积和圆锥体积的计算两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以与圆知识的证明相结合为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例2019年名校中考模拟试题，我们从三个方面进行圆锥与扇形问题的探讨：
（1）扇形面积问题；
（2）圆锥体积计算；
（3）圆的相关计算综合．
考点剖析☆典型例题
例1如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为 ．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】由CD∥AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵弦CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形COD=?π?=×π×=．
故答案为：．
例2如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm2
【解答】解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．
∴BC==10（cm），
∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π（cm2）．
故选：C．
例3（2018?苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则的值为 ．
【分析】由2πr1=、2πr2=知r1=、r2=，据此可得=，利用勾股定理计算可得．
【解答】解：∵2πr1=、2πr2=，
∴r1=、r2=，
∴====，
故答案为：．
例4如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
考点： 切线的判定；扇形面积的计算．
分析： （1）由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）解：由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=OD=2，然后利用阴影部分的面积=S△COD﹣S扇形DOE
和扇形的面积公式求解．
解答： （1）证明：∵OD=OB，
∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，
而∠A=2∠1，
∴∠DOC=∠A，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠C=30°，∠DOC=60°，
在Rt△DOC中，OD=2，
∴CD=OD=2，
∴阴影部分的面积=S△COD﹣S扇形DOE
=×2×2﹣
=2﹣．
点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．
例5（2018·山东临沂·9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD=OD=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算．
【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，
而OF⊥AC，
∴OF=OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，
∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，
∴OD=1，OB=2，
∴∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠AOD=30°，
在Rt△AOD中，AD=OD=，
∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF
=2××1×﹣
=﹣．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．
考点过关☆专项突破
类型一 与扇形相关的计算
1. （2018·辽宁省沈阳市）（2.00分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A．π B．π C．2π D．π
【分析】连接OA.OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接OA.OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴===，
∴∠AOB=×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，
解得：AO=2，
∴的长为=π，
故选：A．
【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=20°，CB=3．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转得△A′B′C，点A′刚好在线段AB上，则点B转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】轨迹；旋转的性质．
【分析】根据题意求得旋转角的度数，然后结合弧长公式进行解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=20°，
∴∠A=70°，
结合旋转的性质得到CA=CA′，
∴∠A=∠AA′C=70°，
∴∠ACA′=40°，
即∠BCB′=40°，
∴点B转过的路径长为： =．
故选：B．
【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长的计算．
3. （2018·台湾·分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，
∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，
∵DE=DC，
∴∠C=∠DEC=20°，
∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，
∴S扇形DBE==π．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=．
4. （2018?乐山?3分）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1，），∴O′M=，OM=1．
∵AO=2，∴AM=2﹣1=1，∴tan∠O′AM==，∴∠O′AM=60°，即旋转角为60°，∴∠CAC′=∠OAO′=60°．
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S△OAC=S△O′AC′，∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′=S扇形OAO′﹣S扇形CAC′=﹣=．
故答案为：．
5. （2018?四川凉州?3分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 4π cm2．
【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为120°，两个半径分别为4和2的圆环的面积．
【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，
∴BC=2，AC=2，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，
∴阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC=×（42﹣22）=4πcm2．
故答案为：4π．
【点评】本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解．
6. 如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的位置时，则点O到点O′所经过的路径长为 ．
【分析】点O到点O′所经过的路径长分三段，先以A为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长，再平移了AB弧的长，最后以B为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长．根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，
∴AB弧长＝＝，
∴点O到点O′所经过的路径长＝×2+＝π．
故答案为
【点评】本题考查了弧长公式：l＝．也考查了旋转的性质和圆的性质．
7. （2018·湖北荆州·10分）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
【解答】解：（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α．
∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠HMC=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，即α+β=45°．
（2）由勾股定理可知MH==．
∵∠MHR=45°，
∴==．
8. （2018·山东临沂·9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD=OD=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算．
【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，
而OF⊥AC，
∴OF=OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，
∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，
∴OD=1，OB=2，
∴∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠AOD=30°，
在Rt△AOD中，AD=OD=，
∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF
=2××1×﹣
=﹣．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．
类型二 圆锥的计算
1. 如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
【考点】圆锥的计算．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【解答】解：∵h=8，r=6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l==10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：C．
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．S1、S2的大小关系不确定
【分析】根据S＝底面周长×母线长表示出两个侧面面积后比较．
【解答】解：S1＝底面周长×母线长＝×2πAC×AB；
S2＝底面周长×母线长＝×2πBC×AB，
∵AC＞BC，
∴S1＞S2．
故选：B．
【点评】解决本题的关键是得到相应的面积表达式子，然后进行比较．
3．(2019杭州萧山区模拟)现在把一张正方形纸片按如图方式剪去一个半径为40厘米的圆面后得到如图纸片，且该纸片所能剪出的最大圆形纸片刚好能与前面所剪的扇形纸片围成一圆锥表面，则该正方形纸片的边长约为（ ）厘米．（不计损耗、重叠，结果精确到1厘米，≈1.41，≈1.73）
A．64 B．67 C．70 D．73
【分析】设出与小圆的半径，利用扇形的弧长等于圆的周长得到小圆的半径，扇形的半径与小圆半径相加，再加上倍的小圆半径即可得正方形的对角线长，除以就是正方形的边长．
【解答】解：设小圆半径为r，则：2πr＝，
解得：r＝10，
∴正方形的对角线长为：40+10+10×＝50+20，
∴正方形的边长为：50+10≈64，
故选：A．
【点评】本题用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意扇形的半径与小圆半径相加，再加上倍的小圆半径即为得正方形的对角线长，对角线除以即为正方形的边长．
4. 已知圆锥的底面半径为10，母线长为30，则圆锥侧面积是 300π ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 利用圆锥的底面半径为10，母线长为30，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
解答： 解：依题意知母线长=30，底面半径r=10，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×10×30=300π．
故答案为：300π．
点评： 此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
5.（2018·湖北荆州·3分）如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示（图中数据单位：cm），则钢球的半径为 cm（圆锥的壁厚忽略不计）．
【解答】解：钢球的直径：×20=（cm），
钢球的半径：÷2=（cm）．
答：钢球的半径为cm．
故答案为：．
类型三 与圆相关的综合计算
1．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC=1，AB=2，求图中阴影部分的面积S；
（3）若=，求sinE的值．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OA，证明△PBO≌△PAO，则∠PBO=∠PAO=90°，于是证明PB为⊙O的切线；
（2）由S=S四边形OBPA﹣S扇形OBA，分别求出S四边形OBPA、S扇形OBA即可；
（3）连接AD，由△ADE∽△POE，求出，由=，得到EP=2PA，因为PA=PB，所以EP=2PB，进而求出sinE．
【解答】解：（1）连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB为⊙O的切线．
（2）∵OP⊥AB，
∴BC=AC=，
在Rt△OBC中，由tan∠BOC=知，∠BOC=60°，
则∠BOA=120°，OB=2，BP=OB=2，
∴S=S四边形OBPA﹣S扇形OBA
=2××2×2﹣
=4﹣．
（3）连接AD，
∵BD是直径，∠BAD=90°，
由（1）知∠BCO=90°，
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴，
∵AD∥OC，
∴AD=2OC，
∵=，
∴OP=4OC，
设OC=t，则AD=2t，OP=4t
∴==，
∴EA=AP，
∴EP=2PA，
∵PA=PB，
∴EP=2PB，
∴sinE==．
【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
2．如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH．
（1）如图2①，若点H在线段OB时，则的值是 ；
（2）如果一级楼梯的高度HE=（8+2）cm，点H到线段OB的距离d满足条件d≤3cm，那么小轮子半径r的取值范围是 （11﹣3）cm≤r≤8cm ．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）作P为⊙B的切点，连接BP并延长，作OL⊥BP于点L，交GH于点M，求出ML，OM，根据=求解，
（2）作HD⊥OB，P为切点，连接BP，PH的延长线交BD延长线于点L，由△LDH∽△LPB，得出=，再根据30°的直角三角形得出线段的关系，得到DH和r的关系式，根据0≤d≤3的限制条件，列不等式组求范围．
【解答】解：（1）如图2①，P为⊙B的切点，连接BP并延长，作OL⊥BP于点L，交GH于点M，
∴∠BPH=∠BLO=90°，
∵AO∥GH，
∴BL∥AO∥GH，
∵∠AOB=120°，
∴∠OBL=60°，
在RT△BPH中，HP=BP=r，
∴ML=HP=r，
OM=r，
∵BL∥GH，
∴===，
故答案为：．
（2）作HD⊥OB，P为切点，连接BP，PH的延长线交BD延长线于点L，
∴∠LDH=∠LPB=90°，
∴△LDH∽△LPB，
∴=，
∵AO∥PB，∠AOD=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BLP=30°，
∴DL=DH，LH=2DH，
∵HE=（8+2）cm
∴HP=8+2﹣r，
PL=HP+LH=8+2﹣r+2DH，
∴=，解得DH=r﹣4﹣1，
∵0cm≤DH≤3cm，
∴0≤r﹣4﹣1≤3，
解得：（11﹣3）cm≤r≤8cm．
故答案为：（11﹣3）cm≤r≤8cm．
3．（2018?襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE；
（2）利用分割法求得阴影部分的面积．
【解答】解：（1）证明：连接OE、OC．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE为半径，
∴CD为⊙O的切线，
∵AD切⊙O于点A，
∴DA=DE；
（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，DF=AB=6，
∴DC=BC+AD=4．
∵FC==2，
∴BC﹣AD=2，
∴BC=3．
在直角△OBC中，tan∠BOE==，
∴∠BOC=60°．
在△OEC与△OBC中，
，
∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠BOE=2∠BOC=120°．
∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC?OB﹣=9﹣3π．
4. （2018年江苏省泰州市?10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3，
∴BD==6，
∵sin∠DBF==，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°===，
∴DO=2，
则FO=，
故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．
【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
5. （2018?德州）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；
（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∵点C是的中点，
∴∠DAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）解：∵∠CAD=30°，
∴∠CAE=∠CAD=30°，
由圆周角定理得，∠COE=60°，
∴OE=2OC=6，EC=OC=3， ==π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．
