备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十二 平面几何之相似和位似问题
考点扫描☆聚焦中考
相似和位似问题，是每年中考的重点考试内容之一，考查的知识点包括相似三角形的性质与判定、位似和相似三角形与其它几何图形的综合应用三方面，总体来看，难度系数偏高，少量题以选择填空为主，大都是综合性的解析题。解析题主要以证明计算为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，，我们从三方面进行相似与位似问题探讨：
（1）相似三角形的性质与判定；
（2）位似及其作图；
（3）相似三角形与其它图形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（?? ）
A.????? B.??? C.??? D.?
例2如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A． 28cm2 B． 27cm2 C． 21cm2 D． 20cm
例3如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，DE．AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ADF∽△CEF；
（2）若AD=4，AB=6，求 的值．
例4如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
例5如图 :
（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD＝3，AE＝4．填空：
①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）________；
②AC＝________；DE＝________．
（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．
（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．
考点过关☆专项突破
类型一 相似三角形的性质与判定
1. (嘉兴模拟)如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2）
2. 如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP?AC D． =
3. 如图，?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AF⊥AB，交线段BE于点F，G为AE上一点，AG：GE=1：5，连结GF并延长交边BC于点H．若GE：BH=1：2，且AB=6，则BH= ；△AFG的面积= ．
4. (2019杭州萧山区模拟)如图1为两个边长为1的正方形组成的2×1格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，则tan∠BPD＝ ，如果是n个边长为1的正方形组成的n×1格点图，如图2，那么tan∠BPD＝ ．
5. 如图，等边三角形ABC中， ，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且 ，当 时，则AE的长为________．
6. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
7. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
类型二 位似与位似图形作图
1. 下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（?? ）
A.??B.?C.??D.?
2．如图，位似图形由三角尺与其灯光下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为________㎝．
3．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 与 是关于点 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。
（1）在图中画出位似中心点 ， 与 的相似比是________;
（2）以点 为位似中心，再画一个 ，使它与 的相似比等于
4. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，1)，B(-1,1)．
（1）以O为位似中心，和第二象限内作出△ABC的位似图形△A1B1C1， 使得△A1B1C1与△ABC的位似比是2：1；
（2）直接写出A1 ， B1 ， C1的坐标．
类型三 相似三角形与其它几何图形的综合应用
1.（20198温州模拟）如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ．
2.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP?AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
3．小明通过观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，要求尺规作图线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明算出OC的值和tan∠AOD是多少？
4. 如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN＝∠POQ＝α（α为锐角）．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，设OM＝x，ON＝y（y＞x≥0），△AOM的面积为s，且cosα，OA是方程2z2﹣21z+10＝0的两根．
（1）当∠MAN旋转30°时，求点N移动的距离；
（2）求证：AN2＝ON?MN；
（3）试求y与x的函数关系及自变量的x的取值范围．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十二 平面几何之相似和位似问题
考点扫描☆聚焦中考
相似和位似问题，是每年中考的重点考试内容之一，考查的知识点包括相似三角形的性质与判定、位似和相似三角形与其它几何图形的综合应用三方面，总体来看，难度系数偏高，少量题以选择填空为主，大都是综合性的解析题。解析题主要以证明计算为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从三方面进行相似与位似问题探讨：
（1）相似三角形的性质与判定；
（2）位似及其作图；
（3）相似三角形与其它图形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（?? ）
A.?????B.??? ?C.??? ?D.?
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出，又BD=2AD，故， ， 。
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵BD=2AD，
∴ ， ， ，
故答案为：B．
例2如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A． 28cm2 B． 27cm2 C． 21cm2 D． 20cm
分析： 根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
解答： 解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF=xcm，得到：
解得：x=4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
点评： 本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
例3如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，DE．AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ADF∽△CEF；
（2）若AD=4，AB=6，求 的值．
【考点】平行线的判定，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由角平分线的定义证明∠DAC=∠CAB，从而得出△ADC∽△ACB； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等量代换证明∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；进而得到△AFD∽△CFE，，根据相似三角形的性质得出AD：CE=AF：CF；进而得出答案。
【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）解：∵E为AB的中点，
∴CE= AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA；
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF；
∵CE= AB=3，AD=4，
∴ = = ，
∴ =
例4如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O; （2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1； （3）连接B′O并延长，使OB″=OB′,连接A′O并延长，使OA″=OA′.连接 C″O并延长，使 OC″=OC′,连接A″B″； A″ C″；B″ C″，则△A″B″C″为所求：从网格中即可求出△A″B″C″各顶点的坐标。
【解答】（1）解：如图所示，图中点O为所求： （2）解：△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1 （3）解：如图所示，△A″B″C″为所求： A″（6，0）；B″（3，﹣2）； C″（4，﹣4）
例5如图 :
（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD＝3，AE＝4．填空：
①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）________；
②AC＝________；DE＝________．
（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．
（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】（1）①由已知条件DE∥BC，可证△ABC∽△ADE；②利用勾股定理求出DE的长，再证明△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质，就可求出AC的长。
（2） 利用旋转的性质，可证∠BAD＝∠CAE，由（1） 可证 ＝ ，再根据相似三角形的判定定理，可证得△ADB和△AEC相似。
（3）利用勾股定理，在Rt△ADB中，求出BD的长，再由BE=BD+DE或 BE＝BD﹣DE ，分别求出BE。
【答案】 （1）相似；；
（1）①∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：相似；
②∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝90°，
∴DE＝ ＝，
∵△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AC＝ ，
故答案为： ；
（2）解：△ADB∽△AEC，
理由如下：由旋转变换的性质可知，∠BAD＝∠CAE，
由（1）得， ＝ ，又∠BAD＝∠CAE，
∴△ADB∽△AEC
（3）解：如图2，在Rt△ADB中，BD＝ ＝4，
∵点B、D、E在同一条直线上，
∴BE＝BD+DE＝4+，
如图3，BE＝BD﹣DE＝4-，
综上所述，将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，线段BE的长为4+或4﹣．
考点过关☆专项突破
类型一 相似三角形的性质与判定
1. (嘉兴模拟)如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2）
【考点】相似三角形的性质；坐标与图形性质．
【分析】根据相似三角形对应边成比例求出CB、AC的关系，从而得到=，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD、BD，再求出OD，最后写出点C的坐标即可．
【解答】解：∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵△COB∽△CAO，
∴====，
∴CO=2CB，AC=2CO，
∴AC=4CB，
∴=，
过点C作CD⊥y轴于点D，
∵AO⊥y轴，
∴AO∥CD，
∴△AOB∽△CDB，
∴===，
∴CD=AO=，
BD=OB=，
∴OD=OB+BD=2+=，
∴点C的坐标为（，）．
故选B．
2. 如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP?AC D． =
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
C、∵∠A=∠A，AB2=AP?AC，即=，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据=和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
3. 如图，?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AF⊥AB，交线段BE于点F，G为AE上一点，AG：GE=1：5，连结GF并延长交边BC于点H．若GE：BH=1：2，且AB=6，则BH= 10 ；△AFG的面积= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】设AG=a，根据已知求出AB=AE=6a=6，求出a=1，即可得出BH=10，AG=1，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求得∠NAF=30°，进而求得∠DAB=120°，从而求得∠FBM=30°，求出FM的长，求出FN的长，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解；过F点作MN⊥BC，则MN⊥AD，设AG=a，
∵AG：GE=1：5，GE：BH=1：2，
∴EG=5a，BH=10a，AE=6a，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=6，
∴a=1，
∴AG=1，GE=5，AE=6，BH=10，
∵BE是∠ABE的平分线，
∵FA⊥AB，FM⊥BC，
∴FM=FA，
在Rt△ABF与Rt△MBF中
∴Rt△ABF≌Rt△MBF（HL），
∴BM=AB=6，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BFH，
∴===，
∵FA=FM，
∴FN：FA=1：2，
∴在Rt△AFN中，∠EAF=30°，
∵∠FAB=90°，
∴∠DAB=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠MBF=30°，
∵在Rt△MBF中，FM=tan30°BM=×6=2，
∴FN=，
∴△AFG的面积为×AG×FN=×1×=，
故答案为：10，．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，角的平分线的性质，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角等于30°，作出辅助线是本题的关键．
4. (2019杭州萧山区模拟)如图1为两个边长为1的正方形组成的2×1格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，则tan∠BPD＝ ，如果是n个边长为1的正方形组成的n×1格点图，如图2，那么tan∠BPD＝ ．
【分析】（1）作BH⊥DP于H点，设小正方形的边长为1，根据勾股定理可计算出CD＝，AB＝，再根据三角形面积公式可计算出DH＝，由BC∥AD得到△APD∽△BPC，利用相似比得到PD＝2PC，所以PD＝CD＝，接着在Rt△PHC中，根据勾股定理计算出PH＝，最后利用正切的定义求解．
（2）类比（1）的解题过程，即可解答．
【解答】解：作DH⊥BP于H点，如图，
设小正方形的边长为1，则AD＝2，
在Rt△BCD中，CD＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝，
∵DH?AB＝AD?BD，
∴DH＝，
∵AD∥BC，
∴△APD∽△BPC，
∴，
即DP＝2PC，
∴PD＝CD＝，
在Rt△PHD中，PH＝＝，
∴tan∠BPD＝＝3．
如果是n个边长为1的正方形组成的n×1格点图，那么tan∠BPD＝．
故答案为：3，．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
5. 如图，等边三角形ABC中， ，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且 ，当 时，则AE的长为________．
【答案】 2或4或 或
【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【分析】由题意分四种情况：① 如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．根据等边三角形的性质及已知条件，利用（ASA）可证明△ABD与△BCE全等，利用全等三角形的对应边相等可得DB=EC=1,进而求出AE的长.② 如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时 作EF//AB交BC的延长线于F．由平行线的性质及已知条件可判断△从CEF是等边三角形，设EC=CF=EF=x，根据两角对应相等，可判断△ABD与△BFE相似， 由相似三角形的对应边成比例可求x的值，进而可求AE的长.③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．根据等边三角形的性质及已知条件，利用（ASA）可证明△ABD与△BCE全等，利用全等三角形的对应边相等可得DB=EC=1,进而求出AE的长.④如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时 作 EF//AB交BC于F，则△EFC是等边三角形．设EC=CF=EF=x，根据两角对应相等，可判断△ABD与△BFE相似， 由相似三角形的对应边成比例可求x的值，进而可求AE的长.
【解析】【解答】解：分四种情形：
如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．
是等边三角形，
， ，
，
≌ ，
，△
．
如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时 作 交BC的延长线于F．
， ，
是等边三角形，设 ，
， ，
∽ ，
，
，
，
如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．
， ， ，
≌ ，
，
．
如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时 作 交BC于F，则 是等边三角形．
设 ，
由 ∽ ，可得 ，
，
，
，
综上所述，满足条件的AE的值为2或4或 或 ．
故答案为2或4或 或 ．
6. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．
【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
7. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴=，设BD=x，
∴（）2=x（x+2），
∵x＞0，
∴x=﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴==，
∴CD=×2=﹣．
类型二 位似与位似图形作图
1. 下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（?? ）
A.??B.?C.??D.?
【考点】位似变换
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，且对应线段互相平行，这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
【解析】【解答】A选项中将两个三角形的点B与点E，点C与点F，点A与点D连接起来，线段BE、CF与AD的延长线相交于一点O，且对应线段互相平行，所以这两个三角形是位似图形； B选项中将两个图形的对应点连接起来，所有连线相交于一点，且对应线段互相平行，所以这两个图形是位似图形；
C选项中将两个箭头的对应点连接起来，对应点的连线不能相交于一点，且对应线段不平行，所以这两个箭头不是位似图形；
D选项中将两个五边形的对应点连接起来，对应点的连接相交于一点，且对应线段互相平行，所以这两个五边形是位似图形。
故答案为：C
2．如图，位似图形由三角尺与其灯光下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为________㎝．
【解答】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm，∴投影三角形的对应边长为：8÷=20cm．故答案为：B．
【分析】根据位似图形对应边的比等于位似比，即可得出答案。
3．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 与 是关于点 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。
（1）在图中画出位似中心点 ， 与 的相似比是________;
（2）以点 为位似中心，再画一个 ，使它与 的相似比等于
【答案】 （1）1:2 （2）解：如图2，△A1B1C1为所作．
【考点】位似变换，作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）如图1，点O为所作；
∴OA：OA′=6：12=1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
故答案为1：2；
【分析】（1）根据位似图形的性质：每对对应点所在的直线一定经过位似中心，故过任意两对对应点作直线，其交点就是位似中心；然后利用方格纸的特点分别找出一对对应点到位似中心的距离，再求出其比值，该值就是两个图形的位似比； （2）连接AO并延长至带你A'。使OA1=2OA，点A1就是点A的对应点，同理作出B1,C1 ， 并顺次连接即可。
4. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，1)，B(-1,1)．
（1）以O为位似中心，和第二象限内作出△ABC的位似图形△A1B1C1， 使得△A1B1C1与△ABC的位似比是2：1；
（2）直接写出A1 ， B1 ， C1的坐标．
【解析】【分析】根据位似图形的定义和性质作图即可得出△A1B1C1 ， 再由△A1B1C1与△ABC的位似比是2：1，结合位似图形的性质即可求得各点坐标.
【答案】 （1）解：如图
（2）解：A1(-8,2),B1(-2,2),C1(-4,8)
【考点】作图﹣位似变换
类型三 相似三角形与其它几何图形的综合应用
1.（20198温州模拟）如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ．
【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：
第1步：利用角平分线的性质，得到BD＝CD；
第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；
第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD＝BD＝KD＝CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；
第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出的值．
【解答】解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵＝＝＝＝，
∴BD＝CD．
如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD＝BD＝CD．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴＝＝，
∴CK＝CD，
∴KD＝CD．
∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK＝∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1＝∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，
又∵∠DKM＝∠3（对顶角）
∴∠DMK＝∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN＝DG＝2FD．
∵点H为AC中点，AC＝4CM，
∴＝．
∵MN∥AD，
∴＝，即，
∴＝．
故答案为：．
方法二：
如右图，有已知易证△DFE≌△GFE，
故∠5＝∠B+∠1＝∠4＝∠2+∠3，又∠1＝∠2，
所以∠3＝∠B，则可证△AGH∽△ADB
设AB＝5a，则AC＝4a，AH＝2a，
所以AG/AD＝AH/AB＝2/5，而 AD＝AG+GD，故GD/AD＝3/5，
所以AG：GD＝2：3，F是GD的中点，
所以AG：FD＝4：3．
【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．
2.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP?AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．
（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；
【解答】（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．
②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，
∴，即，所以AP?AF=12
（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．
①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=6，
∴OA=，
点P的路径是．
②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．
所以，点P经过的路径长为或3．
3．小明通过观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，要求尺规作图线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明算出OC的值和tan∠AOD是多少？
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）利用基本尺规作图的一般步骤画出相等CD；
（2）连接AC、DB、AD，根据勾股定理求出AE，根据相似三角形的性质求出OD、OF，根据正切的定义计算即可．
【解答】解：（1）如图1所示：
线段CD即为所求；
（2）如图2所示：连接AC、DB、AD．
∵AD=DE=2，
∴AE=2．
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=，
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO，
∴CO：DO=2：3．
∴CO=CD=×2=．
∴DO=．
∴OF=﹣=．
tan∠AOD===5．
4. 如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN＝∠POQ＝α（α为锐角）．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，设OM＝x，ON＝y（y＞x≥0），△AOM的面积为s，且cosα，OA是方程2z2﹣21z+10＝0的两根．
（1）当∠MAN旋转30°时，求点N移动的距离；
（2）求证：AN2＝ON?MN；
（3）试求y与x的函数关系及自变量的x的取值范围．
【考点】相似三角形的判定与性质，旋转的性质，几何图形的动态问题
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，就可得到OA的值及cosα的值，就可求出α的度数，再利用旋转的性质，然后求出ON的长，就可得出结论。 （2）根据有两组角对应相等的两三角形相似，可证△OAN∽△ANM，再利用相似三角形的性质，可证得结论。 （3）过A作AD⊥OP，垂足为D，在Rt△OAD中，利用解直角三角形分别求出OD，AD的长，再用含y的代数式表示出DN，在Rt△ADN中， 利用勾股定理求出AN2=75+（y﹣5）2 ， 再由（1）得AN2＝ON?MN，代入就可求出y与x的函数解析式，然后求出自变量x的取值范围即可。
【答案】 （1）解：解方程2z2﹣21z+10＝0，
得，z1＝ ，z2＝10，
∴cosα＝ ，OA＝10，
∴α＝60°，
∵∠MAN＝∠POQ＝α，当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置时，△OAN是等边三角形，
ON＝OA＝10，
当∠MAN旋转30°时，△OAN是直角三角形，
∵OA＝10，∠AON＝60°，
得ON＝20，
故点N移动的距离为10
（2）证明：∵∠MAN＝∠POQ＝α，∠MNA＝∠ONA，
∴△OAN∽△ANM，
∴ ＝ ，
即AN2＝ON?MN
（3）解：过A作AD⊥OP，垂足为D，
在Rt△OAD中，OD＝OA?cos60°＝10×＝5，AD＝OA?sin60°＝5 ，
∴DN＝ON﹣OD＝y﹣5，
在Rt△ADN中，AN2＝AD2+DN2＝75+（y﹣5）2 ，
又由（1）得AN2＝ON?MN，即y2﹣10y+100＝y（y﹣x），
整理得y＝ ，
∵y＞0，
故10﹣x＞0，即x＜10．
∵x≥0，
∴x的取值范围是0≤x＜10．
