备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十六 平面几何之投影与视图问题
考点扫描☆聚焦中考
投影与视图，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括投影和视图两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以计算为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从三个方面进行投影与视图问题的探讨：
（1）投影问题；
（2）三视图；
（3）关于视图的计算．
考点剖析☆典型例题
例1一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
例2由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，下面有关它的三个视图的说法正确的是（ ）
A．左视图与主视图相同 B．俯视图与主视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同
例3 (嘉兴模拟)如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是 ．
例4（2018?青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 种．
例5（2018?孝感）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为 cm2．
考点过关☆专项突破
类型一 投影
1.把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
2.如图,竹竿和旗杆在同一平面直立着,其中竹竿在太阳光下某一时刻的影子已画出.
(1)用线段表示同一时刻旗杆在太阳光下的影子;
(2)比较竹竿与旗杆影子的长短;
(3)图中是否出现了相似三角形?
3.如图,小赵、小王、小李三人站在路灯下,他们在路灯下的影子在同一直线上.
(1)确定图中路灯灯泡O所在的位置;
(2)在图中画出表示小赵身高的线段.
4.如图,下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的,哪幅图是太阳光下形成的吗?
5.如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD,它们都与地面垂直,为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米,落在地面上的影子BF的长为10米,而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米,落在地面上的影子DH的长为5米.依据这些数据,该小组的同学计算出了电线杆的高度.
(1)该小组的同学在这里利用的是___________投影的有关知识进行计算的;?
(2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程.
6.如图,花丛中有一根路灯杆AB,在光线下小明在点D处的影长DE=3 m,沿BD方向行走到达点G,测得DG=5 m,这时小明的影长GH=5 m,如果小明的身高为1.7 m,求路灯杆AB的高度.
类型二 三视图
1. 如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·吉林长春·3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
4. （2017浙江湖州）如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A．200cm2 B．600cm2 C．100πcm2 D．200πcm2
5. （2018?呼和浩特?3分）（3.00分）下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的三视图，由三视图可知小正方体的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
6. （2017湖北荆州）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000
7. （2017?新疆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
8.（2017黑龙江佳木斯）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（ ）
A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7
9. （2018·山东青岛·3分）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 种．
类型三 关于视图的计算
1．（2018·广西贺州·3分）如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（ ）
A．9π B．10π C．11π D．12π
2．（2017宁夏）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．24π D．30π
3．（2018·湖北省孝感·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积 cm2．
4.（2018?齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为 cm．
5. （2017?益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．30cm2 D．7.5cm2
6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，是某立体图形的三视图，则这个立体图形的侧面展开图的面积是 ．（结果保留π）
7. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为 cm．
8. （2018?甘肃白银，定西，武威?3分） 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为__________．
9. （2017山东滨州）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体表面积的大小为 ．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十六 平面几何之投影与视图问题
考点扫描☆聚焦中考
投影与视图，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括投影和视图两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以计算为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从三个方面进行投影与视图问题的探讨：
（1）投影问题；
（2）三视图；
（3）关于视图的计算．
考点剖析☆典型例题
例1一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】首先根据俯视图得到这个几何体为锥体，再根据主视图和左视图得出该几何体是柱体和锥体的组合体．
【解答】解：根据俯视图发现该几何体为圆锥，B、C不符合题意，
根据主视图和左视图发现该几何体为圆柱和圆锥的结合体，D符合题意，
故选D．
例2由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，下面有关它的三个视图的说法正确的是（ ）
A．左视图与主视图相同 B．俯视图与主视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
例3 (嘉兴模拟)如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是 7 ．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，从前面看的到的视图是主视图，再根据面积求出面积的和即可．
【解答】解：该几何体的主视图的面积为1×1×4=4，左视图的面积是1×1×3=3，
所以该几何体的主视图和左视图的面积之和是3+4=7，
故答案为：7．
例4（2018?青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 10 种．
【分析】先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯视图有9个位置．
【解答】解：设俯视图有9个位置分别为：
由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；
②一定有2个2，其余有5个1；
③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；
根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如下图所示：
故答案为：10．
例5（2018?孝感）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为 16π cm2．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，
故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）．
故答案为：16π．
考点过关☆专项突破
类型一 投影
1.把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行投影．
【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．
【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．
故选A．
【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．
2.如图,竹竿和旗杆在同一平面直立着,其中竹竿在太阳光下某一时刻的影子已画出.
(1)用线段表示同一时刻旗杆在太阳光下的影子;
(2)比较竹竿与旗杆影子的长短;
(3)图中是否出现了相似三角形?
解:(1)如图,线段AB即为旗杆的影子.
(2)由图可知,旗杆的影子长,竹竿的影子短.
(3)出现了相似三角形,即旗杆与其影子及太阳光线构成的△ABC和竹竿与其影子及太阳光线构成的△DEF相似.
3.如图,小赵、小王、小李三人站在路灯下,他们在路灯下的影子在同一直线上.
(1)确定图中路灯灯泡O所在的位置;
(2)在图中画出表示小赵身高的线段.
解:如图所示.(1)点O为路灯灯泡所在的位置.
(2)线段BC表示小赵的身高.
4.如图,下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的,哪幅图是太阳光下形成的吗?
解:如图,过树的顶端和对应影子的顶端分别作直线.
由上图可知,图①为太阳光下形成的,图②为灯光下形成的.
5.如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD,它们都与地面垂直,为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米,落在地面上的影子BF的长为10米,而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米,落在地面上的影子DH的长为5米.依据这些数据,该小组的同学计算出了电线杆的高度.
(1)该小组的同学在这里利用的是___________投影的有关知识进行计算的;?
(2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程.
解:(1)平行
(2)如图,连接AE,CG,过点E作EM⊥AB于M,过点G作GN⊥CD于N,
则MB=EF=2,ND=GH=3,
ME=BF=10,NG=DH=5.
所以AM=10-2=8.由平行投影可知,=,即=,
解得CD=7.即电线杆的高度为7米.
6.如图,花丛中有一根路灯杆AB,在光线下小明在点D处的影长DE=3 m,沿BD方向行走到达点G,测得DG=5 m,这时小明的影长GH=5 m,如果小明的身高为1.7 m,求路灯杆AB的高度.
解:依题意,得AB⊥BH,CD⊥BH,FG⊥BH.
在Rt△ABE和Rt△CDE中,
∵AB⊥BH,CD⊥BH,∴CD∥AB,
∴Rt△ABE∽Rt△CDE,
∴=.
同理可得Rt△ABH∽Rt△FGH,
∴=.
又∵CD=FG=1.7 m,
∴=.
∵DE=3 m,DG=5 m,GH=5 m,
∴=,解得BD=7.5m.
∴AB=·(DE+BD)==5.95(m).
则路灯杆AB的高度为5.95 m.
类型二 三视图
1. 如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图解答即可．
【解答】解：水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图左边是一个圆、右边是一个矩形，
故选：D．
2．（2018·吉林长春·3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：A.圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；
B.圆柱的柱视图是矩形，故 B错误；
C.圆台的主视图是梯形，故C错误；
D.球的主视图是圆，故D正确；故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
3．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图可得从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为4，3，2，再表示为平面图形即可．
【解答】解：根据俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数，得出主视图有3列，从左到右的列数分别是4，3，2．
故选C．
4. （2017浙江湖州）如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A．200cm2 B．600cm2 C．100πcm2 D．200πcm2
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为2，底面直径为1，
侧面积为：πdh=2×π=2π，
∵是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，
∴原几何体的侧面积=100×2π=200π，
故选D．
5. （2018?呼和浩特?3分）（3.00分）下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的三视图，由三视图可知小正方体的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解：综合三视图，这个立体图形的底层应该有3个，第二层应该有1个小正方体，
因此构成这个立体图形的小正方体的个数是3+1=4个．
故选：C．
6. （2017湖北荆州）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，
圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，
故该几何体的体积为：π×1027. （2017?新疆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．球 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据几何体的三视图，对各个选项进行分析，用排除法得到答案．
【解答】解：根据主视图是三角形，圆柱和球不符合要求，A、B错误；
根据俯视图是圆，三棱锥不符合要求，C错误；
根据几何体的三视图，圆锥符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查的是由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
8.（2017黑龙江佳木斯）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（ ）
A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．
【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，
那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．
故选D．
9. （2018·山东青岛·3分）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 4 种．
【分析】先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯视图有9个位置．
【解答】解：这个几何体的搭法共有4种：如下图所示：
故答案为：4．
【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的主视图、左视图及小立方块的个数，可知俯视图的列数和行数中的最大数字．
故选：C．
类型三 关于视图的计算
1．（2018·广西贺州·3分）如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（ ）
A．9π B．10π C．11π D．12π
【解答】解：由题意可得此几何体是圆锥，
底面圆的半径为：2，母线长为：5，
故这个几何体的侧面积为：π×2×5=10π．
故选：B．
2．（2017宁夏）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．24π D．30π
【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
【解答】解：由勾股定理得：母线l===5，
∴S侧=2πrl=πrl=π×3×5=15π．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．
3．（2018·湖北省孝感·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为 16π cm2．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，
故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）．
故答案为：16π．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4.（2018?齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为 4 cm．
【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．
【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∵EF=8cm，∠EFG=45°，
∴EQ=AB=×8=4（cm）．
故答案为：4．
5. （2017?益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．30cm2 D．7.5cm2
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据给出的空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，比例尺为1：4，可得其主视图的面积=长12×=3cm宽10×=2.5cm的长方体的面积，根据长方形面积公式计算即可求解．
【解答】解：12×=3（cm）
10×=2.5（cm）
3×2.5=7.5（cm2）
答：其主视图的面积是7.5cm2．
故选：D．
【点评】考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是能得到立体图形的三视图和学生的空间想象能力．
6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，是某立体图形的三视图，则这个立体图形的侧面展开图的面积是 65π ．（结果保留π）
【解答】解：由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，所以母线长为13，所以侧面积为πrl=π×5×13=65π．
故答案为：65π．
7. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为 4 cm．
【考点】圆锥的计算；等腰直角三角形；由三视图判断几何体．
【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形，得出2r=l，代入S侧=πrl，求出r，l，从而求得圆锥的高．
【解答】解：设底面半径为r，母线为l，
∵主视图为等腰直角三角形，
∴2r=l，
∴侧面积S侧=πrl=2πr2=16πcm2，
解得 r=4，l=4，
∴圆锥的高h=4cm，
故答案为：4．
8. （2018?甘肃白银，定西，武威?3分） 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为__________．
【答案】108
【解析】试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称。从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。利用知识点：主府长对正，主左高平齐，府左宽相等，得该几何体底面正六边形，AB=4，正六边形被分成6个全等的等边三角形，边长AC=2
该几何体的表面积为2+6=48+12
考点：1、三视图，2、等边三角形，3、正六边形
9. （2017山东滨州）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体表面积的大小为 12+15π ．
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】由几何体的三视图得出该几何体是几何体是长方体与三棱柱的组合体，结合图中数据求出组合体的表面积即可．
【解答】解：由几何体的三视图可得：
该几何体是长方体、两个扇形和一个矩形的组合体，
该组合体的表面积为：S=2×2×3+×2+×3=12+15π，
故答案为：12+15π．
