无锡市第一中学高一数学试卷（2019.4）参考答案
1. x－2y+4=0； 2. 5 ； 3. 120o ； 4. ； 5. 4x+3y=0或x-y+7=0；
6.； 7. -2； 8.2； 9.； 10.5；
11.； 12. ； 13. ； 14.
15. （本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
（1）若a=14，b=40，cosB=，求cosC；
（2）若a=3，b=，B=2A，求边的长．
（1）△ABC，,
,
,
6分 （先公式再计算，没有公式的体现,酌情扣1分左右）
（2），，
当c=3时，a=c=3，
则矛盾，不合题意，舍去，，故c=5. 6分 （若不舍解，酌情扣分）
16. （本题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD
的中点，N是PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAB;
(2)若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD.
(3)若底面ABCD是矩形，PA=AB，求证：平面PMC⊥平面PBC.
（1）取PB中点E，连结AE，NE
△PBC中，EN綊BC,AM綊BC，得EN綊AM，四边形ENMA是平行四边形，
MN//AE，MN平面PAB，AE平面PAB，所以MN//平面PAB
4分（逻辑段，条件不全，酌情扣分）
（2）在平面PAD内，过A作AF⊥PM，垂足为F，
∵平面PMC⊥平面PAD，平面PMC平面PAD=PM，AF⊥PM，AF平面PAD
∴AF⊥平面PMC，∵CM平面PMC，∴AF⊥CM，
∵PA⊥平面ABCD，CM平面ABCD，∴AP⊥CM，
∵PAAF=A，PA，AF平面PAD，∴CM⊥平面PAD，∵ADPAD，∴CM⊥AD.
4分（逻辑段，条件不全，酌情扣分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，CB平面ABCD，∴PA⊥CB，
∵矩形ABCD∴CB⊥AB，又∵PA，AB平面PAB，PAAB=A∴CB⊥平面PAB
∵AE平面PAB，∴CB⊥AE
又由（1）∵PA=AB,E是PB中点，∴AE⊥PB，
∵MN//AE，∴MN⊥CB，MN⊥PB,PBCB=B,PB,CB平面PBC，∴MN⊥平面PBC
∵MN平面PMC, ∴平面PMC⊥平面PBC
4分（逻辑段，条件不全，酌情扣分）
17. （本题满分14分）
在 △ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知向量 = (a，sinC－sinB)，
= (b + c，sinA + sinB)，且
(1) 求角 C 的大小
(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周长的取值范围.
（1）由，得：a（sinA + sinB）＝（b + c）（sinC－sinB）
由正弦定理，得：a（a+ b）＝（b + c）（c－b）
化为：a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理，得：cosC＝－，
所以，C＝
6分(先公式再计算，酌情扣分)
（2）因为C＝，所以，B＝－A，由B＞0，得：0＜A＜，
由正弦定理，得：，
△ABC 的周长为：a+ b＋c＝＝
＝＝，
由0＜A＜，得：，
所以，周长C＝∈
8分（酌情扣分）
18. （本题满分14分）
如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1；
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.
(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.
连结A1B，交AB1于点O，连结OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
7分 (酌情扣分)
(2)法一:由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
得BC1∥D1O，同理AD1∥DC1，
∴＝，＝，
又∵＝1，∴＝1，即＝1.
7分 (酌情扣分)
19. （本题满分14分）
某地拟在一个U形水面PABQ(∠A＝∠B＝90°)上修一条堤坝EN(E在AP上，N在BQ上)，围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉两条分隔线ME，MN将所围区域分成3个部分(如图)，每部分种植不同的水生植物．已知AB＝a，EM＝BM，∠MEN＝90°，设所拉分隔线总长度为l.
(1) 设∠AME＝2θ，用θ表示l的函数表达式，并写出定义域；
(2) 求l的最小值．
19. 解：(1) ∵ EM＝BM，∠B＝∠MEN＝90°，MN为公共边，
∴ △BMN≌△EMN，∴ ∠BNM＝∠MNE.
∵ ∠AME＝2θ，∴ ∠BNM＝∠MNE＝θ.(2分)
设MN＝x.
∵ 在△BMN中，BM＝xsin θ，∴ EM＝BM＝xsin θ，(4分)
∴ 在△EAM中，AM＝EMcos 2θ＝xsin θcos 2θ.
∵ AM＋BM＝a，
∴ xsin θcos 2θ＋xsin θ＝a，x＝，(6分)
∴ l＝EM＋MN＝＝
＝＝，θ∈.(8分)
(2) 令f(θ)＝sin θ(1－sin θ)，sin θ∈.
∴ f(θ)≤，当且仅当sin θ＝，即θ＝时取得最大值，(12分)
此时lmin＝2a.(14分)
20. （本题满分14分）
已知a，b，c(0，+∞)
(1)若a=6，b=5，c=4分别是△ABC边BC，CA，AB的长，证明：cosAQ.
(2)若a，b，c分别是△ABC边BC，CA，AB的长，当a，b，cQ时，证明：cos2AQ.
(3)若存在λ(－2，2)，满足c2=a2+b2+λab，证明：a，b，c可以是一个三角形的三边长.
(1) 证明：Q
（2）证明：∵a，b，cQ ，∴a2，b2，c2，bcQ
∴Q，
∴Q
7分(酌情给)
（3）∵a，b(0，+∞)，λ(－2，2)，∴λab(－2ab，2ab)，
∴c2－a2－b2(－2ab，2ab)，∴c2(a2+b2－2ab，a2+b2+2ab)，
即c2((a－b)2，(a+b)2)，∵c(0，+∞)
∴c(|a－b|，a+b)
∴|a-b|
即满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a，b，c可以是一个三角形的三边长，得证.
7分(酌情给)
无锡市第一中学2018-2019学年度第二学期期中试卷
高 一 数 学 2019.4
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1.经过点(－2，3)且与直线2x+y－5=0垂直的直线方程是 ▲ .
2.在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则AC边的长为 ▲ .
3.直线(m+1)x－(1－2m)y＋4m＝0经过一定点，则该定点的坐标是 ▲ .
4.设△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3a＝5b，则∠C=▲．
5.过点(－3，4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_____▲______.
6.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则sinC＝__▲___．
7.直线ax+2y+a+1=0与直线2x+ay+3=0平行，则a=_▲__．
8.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__▲__．
9.直线l过点P(1，5)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_____▲_____.
10.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首
创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90o榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30，则正四棱柱的高为▲___.
11.已知△ABC的三边长为3个连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，则此三角形的面积为____▲_____.
12. 在△ABC中，，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC=__▲_
13.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在的平面，且PA＝AB＝2，过点A作平面α⊥PB，分别交PB，PC于E，F，当三棱锥P－AEF的体积最大时，tan∠BAC＝▲.
14. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以线段AB为腰作等腰直角三角形ABC(C、O两点在直线AB的两侧)．当∠AOB变化时， OC≤m恒成立，则m的最小值为____▲____．
二、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
（1）若a=14，b=40，cosB=，求cosC；
（2）若a=3，b=，B=2A，求边的长．
16. （本题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD
的中点，N是PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB;
（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD.
（3）若底面ABCD是矩形，PA=AB，求证：平面PMC⊥平面PBC.
17. （本题满分14分）
在 △ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知向量 = (a，sinC－sinB)，
= (b + c，sinA + sinB)，且
（1）求角 C 的大小
（2）若 c = 3, 求 △ABC 的周长的取值范围.
18. （本题满分14分）
如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.
（1）当等于何值时，BC1∥平面AB1D1；
（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.
19. （本题满分14分）
某地拟在一个U形水面PABQ(∠A＝∠B＝90°)上修一条堤坝EN(E在AP上，N在BQ上)，围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉两条分隔线ME，MN将所围区域分成3个部分(如图)，每部分种植不同的水生植物．已知AB＝a，EM＝BM，∠MEN＝90°，设所拉分隔线总长度为l.
（1）设∠AME＝2θ，用θ表示l的函数表达式，并写出定义域；
（2）求l的最小值．
20. （本题满分14分）
已知a，b，c(0，+∞)
( 1 ) 若a=6，b=5，c=4分别是△ABC边BC，CA，AB的长，证明：cosAQ.
( 2 ) 若a，b，c分别是△ABC边BC，CA，AB的长，当a，b，cQ时，证明：cos2AQ.
( 3 ) 若存在λ(－2，2)，满足c2=a2+b2+λab，证明：a，b，c可以是一个三角形的三边长.
