无锡市一中2018-2019学年度第二学期期中考试卷
高二数学（文）
命题： 审核：
一．填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1.已知集合，则 ▲ .
2.若复数（为虚数单位），则 ▲ .
3.命题“”的否定是 ▲ .
4.“”是“”的 ▲ 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）
5.若幂函数的图象不经过第二象限，则 ▲ .
6.已知，可知函数的一个周期为.类比上述结论，设为常数，且，则函数的一个周期为 ▲ .
7.如图，函数的图象在点处的切线是，则 ▲ .
8.已知，则 ▲ .
9.如图，在三角形内作的平行线段，且互不重合，发现时，可以确定1个梯形；时，可以确定3个梯形；时，可以确定6个梯形；时，可以确定10个梯形；由此可以归纳出时，可以确定 ▲ 个梯形.
10.已知，表示关于的方程的较大的根，则 ▲ .
11.函数在区间上为减函数，则的取值范围是 ▲ .
12.定义在上的函数满足且当 时,则= ▲ .
13.函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ▲ .
14.对于函数，若对于任意的为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是 ▲ .
二．解答题（本大题共6道题,计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. (本小题满分14分)
已知复数，，是虚数单位）．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）设是的共轭复数，复数5在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．
▲ ▲ ▲
16. (本小题满分14分)
已知集合，，其中.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
17. (本小题满分14分)
已知函数为其定义域内的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）求不等式的解集.
18. (本小题满分16分)
为了保护环境，2018年起国家加大了对工厂废气污水的检查力度，并已经对废气污水处理的企业给予适当补偿，某医药企业引进污水处理设备，经测算2019 年月处理污水成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨污水，可得到价值为100元的可利用资源，若污水处理不获利，国家将给予补偿。
(1)当时，企业是否需要国家补贴，什么情况下企业需要申请国家补贴？
(2)每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
19．(本小题满分16分)
对于函数，若图象上存在4个不同的点，且满足与关于原点对称，与关于原点对称，则称为“局部奇函数”.
已知三次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
20. (本小题满分16分)
已知函数.
若，求的单调区间和极值；
若为定义域上的减函数，求实数的取值范围；
若，对于任意的，都存在，使得，求实数的取值范围.
无锡市一中2018-2019学年度第二学期期中考试卷答案
高二数学（文）
命题： 审核：
一．填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1.已知集合，则 ▲ .
2.若复数（为虚数单位），则 ▲ . 5
3.命题“”的否定是 ▲ .
4.“”是“”的 ▲ 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分又不必要”） 充分不必要
5.若幂函数的图象不经过第二象限，则 ▲ .0
6.已知，可知函数的一个周期为.类比上述结论，设为常数，且，则函数的一个周期为 ▲ .
7.如图，函数的图象在点处的切线是，则 ▲ .
8.已知，则 ▲ .1
9.如图，在三角形内作的平行线段，且互不重合，发现时，可以确定1个梯形；时，可以确定3个梯形；时，可以确定6个梯形；时，可以确定10个梯形；由此可以归纳出时，可以确定 ▲ 个梯形.
10.已知，表示关于的方程的较大的根，则的解析式为 ▲ .
11.函数在区间上为减函数，则的取值范围是 ▲ .
12.定义在R上的函数满足且当 时,则= ▲ .-1
13.函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ▲ .
14.对于函数，若对于任意的为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是 ▲ .[1,4]
二．解答题（本大题共6道题,计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. (本小题满分14分)
已知复数，，是虚数单位）．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）设是的共轭复数，复数5在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．
▲ ▲ ▲
解：（1）...................(3分)
因为是纯虚数，所以，所以...................(7分)
由（1）得，所以
则..................(9分)
因为5在复平面上对应的点在第一象限，所以..................(12分)
即...................(14分)
16. (本小题满分14分)
已知集合，，其中.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
▲ ▲ ▲
解：（1）因为，所以，解得或..................(2分)
又因为，所以，解得 ..................(4分)
综上：实数的取值范围为...................(6分)
(2)因为，所以..................(7分)
因为，所以，
..................(8分)
当，即时，，所以（舍）..................(9分)
当，即时，，所以，解得..................(11分)
当，即时，，所以，解得..................(13分)
综上：实数的取值范围为..................(14分)
17. (本小题满分14分)
已知函数为其定义域内的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）求不等式的解集；
（3）证明：为无理数．
▲ ▲ ▲
解（1）因为为其定义域内奇函数，
所以 ，
即 ．．．（1分）
即
所以．（2分）
当时，对数无意义，故舍去，
所以（3分）
注：用特殊值方法或利用定义域求得要检验
的定义域为
，
..................(5分)
因为，所以
所以，所以在上单调递增..................(7分)
(3)因为为奇函数，所以.................(8分)
所以，..................(12分)
所以，解集为..................(14分)
18. (本小题满分16分)
为了保护环境，2018年起国家加大了对工厂废气污水的检查力度，并已经对废气污水处理的企业给予适当补偿，某医药企业引进污水处理设备，经测算2019 年月处理污水成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨污水，可得到价值为100元的可利用资源，若污水处理不获利，国家将给予补偿。
(1)当时，企业是否需要国家补贴，什么情况下企业需要申请国家补贴？
(2)每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
▲ ▲ ▲
解：当时，设该污水处理项目获利为s
当时
……5分
时企业需要申请国家补贴 ……6分
(2)由题意，可知污水的每吨处理成本为：
＝
当x∈[120,200]时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，
所以当x＝120时，取得最小值240. ……10分
当x∈（200,500]时，
当且仅当
，取得最小值……14分
（利用函数求导列表也可以）
因为，所以当每月的处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．……16分
19．(本小题满分16分)
对于函数，若图象上存在4个不同的点，且满足与关于原点对称，与关于原点对称，则称为“局部奇函数”.
已知三次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
▲ ▲ ▲
解：（1）若为“局部奇函数”，所以有两个不同的根，
所以，即..................(2分)
当，满足；..................(3分)
当，无解，不是“局部奇函数”；..................(4分)
当，，满足，为“局部奇函数”。..................(6分)
（2）若为“局部奇函数”，所以有两个不同的根，
所以，..................(8分)
令
即在上有两个不同的根..................(10分)
当，无解（舍）；..................(11分)
当，令，
所以 ，即..................(15分)
综上：实数的取值范围为。..................(16分)
20. (本小题满分16分)
已知函数.
若，求的单调区间和极值；
若为定义域上的减函数，求实数的取值范围；
若，若对于任意的，都存在，使得，求实数的取值范围.
▲ ▲ ▲
解：（1），
令，所以..................(1分)
列表
单调增区间：,单调减区间：，..................(2分)
极小值：0；极大值为..................(3分)
由题得，
..................(4分)
所以，对恒成立，
(时，舍..................(5分)
(，解得..................(7分)
任意的，都存在，使得，
设集合
由题得 ..................(9分)
当时，，，显然与矛盾；..................(10分)
当时，，由（1）知，当，，
当，，
(当，即，由知，而，所以不是B的子集；..................(12分)
(当，即，有，且此时在上单调递减，
故，因而；
由，有在上的取值范围包含，则，
所以；..................(14分)
(当，即，有，且此时在上单调递减，
故，，所以不是B的子集..................(15分)
综上：实数的取值范围...................(16分)
