知识讲解 高考冲刺：热点分析三：守恒

高考冲刺：热点分析三：守恒
编稿：张金虎 审稿：张金虎

【高考展望】
最近几年高考热点为：动量守恒定律及其应用、机械能守恒定律及其应用、能量守恒定律及其应用、电荷守恒定律及其应用、质量数守恒及其应用。主要内容包括动量、冲量、功、功率、机械能等基本概念；动量定理和动能定理两大定理；动量守恒定律、机械能守恒定律和能量转化和守恒定律三大定律．
功能的关系和能量守恒定律是自然界中适用范围非常广泛的物理规律，是高中物理的主干和重点知识，从能量角度分析处理物理问题是高中物理中处理物理问题的重要方法，也是历年高考热点。
用动量的观点分析物理问题是力学三大思路之一，也是历年高考考查的重点、热点，在试题中往往表现为灵活性强、综合性大、能力要求高，如对动量定理的考查绝大多数问题设置的情景是短暂且是变力作用的过程，直接用冲量的概念无法解决，只能依据动量定理，通过动量的变化求解某一变力的冲量或合力的冲量．
机械能守恒定律、能量守恒定律与动量守恒定律结合，大大增加了试题的难度，是高中物理的重点，也是高考考查的重点之一，每年的高考中必有这方面的试题，而且常常是动量与能量，或者动量、能量与平抛运动、圆周运动、热学、电磁学、原子物理等知识的综合题，试题的情景常常是物理过程较复杂的，或者是作用时间很短的，如变加速运动、碰撞、爆炸、打击、弹簧形变等．

【方法点拨】
对定律的考查，主要是运用守恒定律确定相互作用的各物体作用完成以后的运动状态，即作用完成以后各个物体速度的大小和方向，或者是动量的大小和方向，因此在复习中应予以足够的重视，既要加强对定理定律的理解，把握其实质内涵，又要在实战中理顺思路，仔细琢磨，达到熟能生巧的目的．
复习时不仅要搞清楚定理、定律的来龙去脉，适用的条件，更要具备能够将复杂的过程分解成一个个子过程的能力，所以在专题复习中要在过程分析上下功夫，来提高自己的分析问题和解决综合题的能力．

【典型例题】类型一、机械能守恒定律的应用问题
应用机械能守恒定律解题的一般思路：
(1)选择适当的研究对象(物体或系统)，明确哪些物体参与了动能和势能的相互转化，选择合适的初、末状态；
(2)对物体进行受力分析和运动分析，明确各个力做功的情况及初末状态的速度，判断机械能是否守恒，只有符合守恒条件才能应用机械能守恒定律解题；
(3)选择适当的机械能守恒定律表述形式列守恒方程，对多过程问题可分阶段列式，也可对全过程列式．(必要时应选取重力势能为零的参考平面)

例1．如图所示，将一质量为的小球自水平平台右端点以初速度水平抛出，小球飞离平台后由点沿切线落入竖直光滑圆轨道，并沿轨道恰好通过最高点，圆轨道的形状为半径的圆截去了左上角的圆弧，为其竖直直径，(，，重力加速度)求：

(1)小球经过点的速度大小；
(2)小球运动到轨道最低点时轨道对小球的支持力大小；
(3)平台末端点到点的竖直高度.
【思路点拨】本题是一个多过程的机械能守恒问题，涉及运动的分解、平抛运动、圆周运动、牛顿运动定律等知识，是一个综合性习题．

【答案】(1)　(2)　(3)
【解析】 (1)小球恰运动到点，重力提供向心力，即

解得：

(2)从点到点机械能守恒，由机械能守恒定律有

解得：

在点小球受重力、支持力，它们的合力提供向心力，即

解得：

(3)从点到点机械能守恒，则

代入数据得：

点的竖直分速度为

平台末端点到点的竖直高度

代入数据得
.
【总结升华】本题是一个多过程的机械能守恒问题，涉及运动的分解、平抛运动、圆周运动、牛顿运动定律等知识，是一个综合性习题．以下变式题是有关连接体的机械能守恒问题，注意与单个物体机械能守恒相区别．

举一反三:
【高清课堂：高考热点分析之三 守恒 例1】
【变式1】一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为和的小球和。支架的两直角边长度分别为和，支架可绕固定轴在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时边处于水平位置，由静止释放，则下列叙述错误的是（ ）

A．球的最大速度为
B．球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为
D．、两球的最大速度之比

【答案】BCD
【解析】由机械能守恒可知，两球总重力势能最小时，二者的动能最大，根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为，故选项BD正确。与竖直方向的夹角为时，由机械能守恒得：

可得：


由数学知识可知，当时，有最大值，故选项C是正确的.

【变式2】 如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球和.球质量为，静置于地面；球质量为，用手托住，高度为，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放后，可能达到的最大高度为(　　)

A．　　　　B． C． D．

【答案】B
【解析】 在落地前，组成的系统机械能守恒，且两物体速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：

.
球落地时，球高度为，之后球向上做竖直上抛运动，此过程中机械能守恒，

，
所以可能达到的最大高度为，B项正确．

【变式3】(2015 天津卷) 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)

A. 圆环的机械能守恒
B. 弹簧弹性势能变化了
C. 圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D. 圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变

【答案】B　
【解析】圆环在下滑过程中，弹簧对其做负功，故圆环机械能减小，选项A错误；圆环下滑到最大的距离时，由几何关系可知，圆环下滑的距离为，圆环的速度为零，由能量守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加量等于圆环重力势能的减小量，为，故选项B正确；由圆环下滑过程中，所受合力为零时，加速度为零，速度最大，而下滑至最大距离时，物体速度为零，加速度不为零，所以选项C错误；在下滑过程中，圆环的机械能与弹簧弹性势能之和保持不变，即系统机械能守恒，所以选项D错误。故选B。
类型二、能量守恒问题
1．注意的含义；
2．系统的一种能量减少，另一种能量必然增加．

例2．(2015 浙江卷) 如图所示，用一块长L1=1.0m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H=0.8m，长L2=1.5 m。斜面与水平桌面的倾角θ可在0~60°间调节后固定。将质量m=0.2kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1=0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。(重力加速度取g=10m/s2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

(1) 求θ角增大到多少时,物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)
(2) 当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘,求物块与桌面间的动摩擦因数μ2；(已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
(3) 继续增大θ角，发现θ=53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离xm。

【答案】(1) tan θ≥0.05　(2) 0.8　(3) 1.9m
【解析】(1)为使小物块下滑mgsinθ≥μ1mgcosθ　 ①
θ满足的条件tanθ≥0.05 ②
(2)克服摩擦力做功
Wf =μ1mgL1cosθ+μ2mg(L2－L1cosθ) ③
由动能定理得mgL1sinθ－Wf =0 ④
代入数据得μ2= 0.8　 ⑤
(3) 由动能定理得 ⑥
代入数据得v =1m/s ⑦

t =0.4s ⑧
x1=vt
x1=0.4m ⑨
xm=x1+L2=1.9m ⑩

举一反三:
【变式】如图所示，质量为的物体以某一速度从点冲上倾角为的斜面，运动的加速度为，物块在斜面上上升的最大高度为，则这个过程中

A．重力势能增加了
B．机械能损失了
C．动能损失了
D．重力势能增加了
【答案】AB　
【解析】 重力势能增加量
，
A对、D错；
动能增加为
，
即动能损失为，C错；
机械能改变为
，
即机械能损失了，B对．
类型三、能量守恒定律的综合应用
做功的过程就是能量转化的过程，功是能量转化的量度．
1．重力所做的功等于重力势能的减少量；弹簧的弹力所做的功等于弹性势能的减少量；
2．合外力所做的功等于动能的增加量；
3．电场力所做的功等电势能的减少量；
4．只有重力或弹簧的弹力做功，则势能和动能相互转化，机械能守恒；
5．除重力和弹簧的弹力以外的其他力所做的功等于机械能的增加量，即；
6．克服一对滑动摩擦力所做的净功等于机械能的减少量，即 (为相对滑动的距离)；
7．克服安培力所做的功等于电能的增加量．

例3.如图所示，挡板固定在足够高的水平桌面上，小物块和大小可忽略，它们分别带有和的电荷量，质量分别为和.两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与连接，另一端连接一轻质小钩．整个装置处于场强为、方向水平向左的匀强电场中．开始时静止，已知弹簧的劲度系数为，不计一切摩擦及间的库仑力，所带的电荷量保持不变，不会碰到滑轮．

(1)若在小挂钩上挂一质量为的不带电物块并由静止释放，可使物块恰好能离开挡板，求物块下落的最大距离；
(2)若的质量改为，则当刚离开挡板时，的速度为多大？
【思路点拨】用到能量的转化和守恒定律，即电势能和机械能的转化。

【答案】(1)　(2)
【解析】 (1)开始平衡时有：

解得：

当刚离开挡板时有：

解得：

故下落的最大距离为

由以上各式得：

(2)由能量守恒定律知下落的过程中，的重力势能的减少量等于的电势能的增加量、弹性势能的增加量和系统动能增加量的和．
当的质量为时有：

当的质量为时有：

联立以上各式得：

【总结升华】 本题用到能量的转化和守恒定律，即电势能和机械能的转化，是能量守恒定律的一个综合应用．

举一反三:
【变式】小物块的质量为，物块与坡道间的动摩擦因数为，水平面光滑；坡道顶端距水平面高度为，倾角为；物块从坡道进入水平滑道时，在底端点处无机械能损失，重力加速度为.将轻弹簧的一端连接在水平滑道处并固定墙上，另一自由端恰位于坡道的底端点，如图2－6－7所示．物块从坡顶由静止滑下，求：

(1)物块滑到点时的速度大小；
(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；
(3)物块被弹回到坡道上升的最大高度．

【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)从到运用功能关系有：

解得：

(2)在水平轨道上，由能量守恒，有：

联立解得：

(3)设物体能上升的最大高度为，物体被弹回的过程中由功能关系，有

解得：
．
类型四、动量守恒
1．应用动量守恒定律应注意的问题
(1)选取正方向：若系统内物体作用前后都在同一直线上运动，这时应规定正方向，将矢量运算转化为代数运算．
(2)动量是状态量，对应着一个瞬时时刻．动量守恒是指该相互作用过程中的任一时刻的总动量恒定．
(3)动量表达式中的速度必须是相对同一惯性参考系的速度，在研究地面上物体间相互作用的过程时，通常取地球为参考系．
2．动量守恒的三种情况
(1)系统所受的合外力为零，动量守恒；
(2)内力远大于外力，动量近似守恒；
(3)某方向的合外力为零，该方向上的动量守恒．

例4．如图所示，一质量为的平板车放在光滑水平面上，在其右端放一质量为的小木块，，间动摩擦因数为，现给和以大小相等、方向相反的初速度，使开始向左运动，开始向右运动，最后不会滑离，求：

(1) 最后的速度大小和方向．
(2)从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动的位移大小．

【答案】(1)，方向向右　(2)
【解析】 (1)最终具有相同的速度，设此速度为，选择向右的方向为正方向．则据动量守恒定律可得：

解得：
，方向向右．
(2)从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，木块速度为零，平板车速度为，由动量守恒定律得：

这一过程平板车向右运动, 由能量守恒定律得：

解得：．
【总结升华】　本题是两个物体相互作用过程动量守恒的最常规的试题，旨在帮助同学们通过试题理解运用动量守恒定律解题时要选择正方向，在有些解答中，可能你看不到诸如“选择……为正方向”的字眼，但是方程的列出一定是选择了正方向的，如果没有写也只能说是省略了．

举一反三:
【变式】如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为、，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为.为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度．(不计水的阻力)
　　　　

【答案】
【解析】 设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为，抛出货物后船的速度为，甲船上的人接到货物后船的速度为，由动量守恒定律：


为避免两船相撞应满足　

联立以上各式得：
．

类型五、弹性碰撞与非弹性碰撞
一个质量为的物体以速度碰撞一个质量为的静止的物体，碰后它们的速度分别为，在碰撞过程中，动量守恒，其表达式为：
.
1．若碰撞是弹性碰撞，那么动能也守恒，其表达式为：
，
碰后的速度
，
，
若它们的质量相等，那么它们碰撞后将交换速度．
2．若碰撞为完全非弹性碰撞，碰撞后两物体的速度相同，则
.
3．若碰撞为一般的非弹性碰撞，则碰撞后速度关系满足以下两个关系式：
，
．
4．若碰撞为非弹性碰撞，则碰撞过程中将发生能量转化，系统的机械能与其他形式的能相互转化，通常为机械能转化为内能．

例5．在光滑的水平面上，质量为的小球以速率向右运动．在小球的前方点处有一质量为的小球处于静止状态，如图所示．小球与小球发生正碰后小球均向右运动．小球被在点处的墙壁弹回后与小球在点相遇，.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比.
　　　　　　
【思路点拨】通过分析碰撞前后的运动，找出碰撞前后物体的速度关系，再利用动量守恒规律和动能守恒规律列方程求解．

【答案】
【解析】 从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球和的速度大小保持不变，对小球：
对小球：
，
而
，
由以上三式得：
则两球碰撞后的速度大小之比为

两球碰撞过程动量守恒，有：

由于是弹性碰撞，碰撞过程机械能守恒，有

解得：
．
【总结升华】 本题属于弹性碰撞问题，碰撞中动量守恒，机械能也守恒(因势能未变，表现为动能守恒)，先通过分析碰撞前后的运动，找出碰撞前后物体的速度关系，再利用动量守恒规律和动能守恒规律列方程求解．对弹性碰撞模型，要求能够记忆表达式及结果，可缩短解题的时间．

举一反三:
【高清课堂：高考热点分析之三 守恒 例5】
【变式1】图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块相连，静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与相同滑块，从导轨上的点以某一初速度向滑行，当滑过距离时，与相碰，碰撞时间极短，碰后紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后恰好返回出发点并停止。滑块和与导轨的滑动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为，求从出发时的初速度 。


【答案】
【解析】解：令质量皆为，刚接触时速度为（碰前），由功能关系，有
? ①
碰撞过程中动量守恒，令碰后共同运动的速度为，有
?②
碰后先一起向左运动，接着一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设的共同速度为，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，利用功能关系，有
?③
此后开始分离，单独向右滑到P点停下，由功能关系有
?④
由以上各式，解得
．


【变式2】如图所示，三个木块的质量均为.置于光滑的水平桌面上，之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连．将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把和紧连，使弹簧不能伸展，以至于可视为一个整体，现以初速沿的连线方向朝运动，与相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使与分离，已知离开弹簧后的速度恰为.求弹簧释放的势能．
　　　　
【答案】
【解析】 设碰后和的共同速度的大小为，由动量守恒得：

设离开弹簧时，的速度大小为，由动量守恒得：

设弹簧的弹性势能为，从细线断开到与弹簧分开的过程中机械能守恒，有

由以上各式得弹簧所释放的势能为：
．
类型六、动量与能量问题的综合应用
例6．装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击．通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因．质量为、厚度为的钢板静止在水平光滑桌面上．质量为的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿．现把钢板分成厚度均为、质量均为的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图所示．若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度．设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞．不计重力影响．


【答案】
【解析】 设子弹初速度为，射入厚度为的钢板后，最终钢板和子弹的共同速度为，由动量守恒得
①
解得

此过程中动能损失为
②
解得

分成两块钢板后，设子弹穿过第一块钢板时两者的速度分别为和，由动量守恒得
③
因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，射穿第一块钢板的动能损失为，由能量守恒得
④
联立①②③④式，且考虑到必须大于，得
⑤
设子弹射入第二块钢板并留在其中后两者的共同速度为，由动量守恒得
⑥
损失的动能为
⑦
联立①②⑤⑥⑦式得
⑧
因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，由⑧式可得，射入第二钢板的深度为
⑨
【总结升华】　本题在子弹打击钢板的过程，由子弹和钢板组成的系统受到了阻力，但比子弹打击钢板的作用力小得多，所以可以认为这个打击过程中动量守恒．子弹与钢板作用过程中有机械能损失，损失的机械能转化为子弹和钢板的内能．

举一反三:
【高清课堂：高考热点分析之三 守恒 例２】
【变式1】质量为的均匀木块静止在光滑水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全相同步枪的射击手。首先左侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为，然后右侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为，如图所示。设子弹均未射穿木块，且两颗子弹与木块之间的作用力大小均相同。当两颗子弹均相对于木块静止时，下列判断正确的是（ ）
　　　　
A．木块静止， B．木块向右运动，
C．木块静止， D．木块向左运动，

【答案】C
【解析】设子弹速度为，质量为，已知木块质量为．
左侧射手开枪后，子弹射入木块与木块一起向右运动。木块与子弹共同速度设为，由动量守恒：

　　
由能量守恒得：

右侧射手开枪后，射出的子弹与木块与及左侧射手射出的第一颗子弹共同的速度设为，由动量守恒：

由能量守恒得：

解得：


．
即
．

【高清课堂：高考热点分析之三 守恒 例２】
【变式2】如图所示，固定容器及可动活塞P都是绝热的，中间有一导热的固定隔板B，B的两边分别盛有气体甲和乙。现将活塞P缓慢地向B移动一段距离。已知气体的温度随其内能的增加而升高，则在移动P的过程中（ ）

A．外力对乙做功，甲的内能不变
B．外力对乙做功，乙的内能不变
C．乙传递热量给甲，乙的内能增加
D．乙的内能增加，甲的内能不变

【答案】C

【变式3】一质量为的物体静止于光滑水平地面上，其截面如图所示．图中为粗糙的水平面，长度为；为一光滑斜面，斜面和水平面通过与和均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接．现有一质量为的木块以大小为的水平初速度从点向左运动，在斜面上上升的最大高度为，返回后在到达点前与物体相对静止．重力加速度为.求：

(1)木块在段受到的摩擦力；
(2)木块最后距点的距离.

【答案】(1)　(2)
【解析】 (1)设木块和物体第一次达到的共同速度为，两物体从开始到第一次到达共同速度过程，由动量和能量守恒得：


由以上两式得：

(2)木块返回后与物体第二次达到的共同速度与第一次相同(动量守恒)，对全过程应用能量守恒得：

由以上各式得：
．

【变式4】如图所示，质量、长的长木板静止在光滑的水平面上，在长木板的右端固定了根轻质弹簧，质量的小滑块静止于木板的右端，质量的小滑块以的初速度向左运动并压缩弹簧(与弹簧不粘连)，当长木板达到某一速度时与左侧的挡板碰撞，碰后长木板立即停止，这时才开始在上滑动，它刚好能滑到长木板的左端，均可视为质点，之间的动摩擦因数为，取.则：

(1) 与挡板碰撞前瞬间的速度为多大？
(2)在整个过程中，弹簧弹性势能的最大值为多少？

【答案】　(1)　(2)
【解析】 (1)当小滑块在上滑动时，由动能定理得：

解得：

(2)从小滑块与弹簧开始接触至与挡板刚碰撞时，由动量守恒定律得：

解得：

因为，所以，当与挡板碰撞时，弹簧已在恢复形变，此后继续压缩弹簧，当的速度减小到零时，弹簧的弹性势能

解得：

在与挡板碰撞前，设当三者共速时，共同的速度为，弹簧的弹性势能为，
由动量守恒定律，得：

由机械能守恒定律，得：

解得：
．
因为
．
所以，弹簧弹性势能的最大值
．

类型七、质量数守恒和电荷守恒定律
【高清课堂：高考热点分析之三 守恒 例6】
例7． 云室处在磁感强度为的匀强磁场中，一静止的质量为的原子核在云室中发生一次衰变，粒子的质量为，电量为，其运动轨迹在与磁场垂直的平面内。现测得粒子运动的轨道半径为。试求在衰变过程中的质量亏损（注：涉及动量守恒问题时，亏损质量不计）
【答案】
【解析】该衰变放出粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,其轨道半径与运动速度的关系由洛伦兹力和牛顿定律可得
.
动量守恒定律是自然界中的普遍规律,对粒子相互作用也适用,核衰变过程遵守动量守恒定律,衰变过程质量亏损很小,亏损质量忽略不计时得:
.
又衰变过程粒子和剩余核的动能都来自于亏损质量即
,
联立解得:
.

例8． 有3个完全一样的金属小球，，带电荷量，带电荷量，球不带电，今将固定起来，然后让反复与球接触，最后移去球，求间的相互作用力变为原来的多少?
【思路点拨】两个完全相同的带电球体，相互接触后电荷量平分，如果原来两球带异种电荷，则先中和然后再把剩余的电荷量平分．

【答案】
【解析】 与反复接触，最后三球电荷量均分，
即，
间的作用力，
原来间作用力，
所以．
【总结升华】本题考查电荷守恒定律和库仑定律，库仑力与两个点电荷电荷量间的关系，注意对电荷的转移要全面分析．两个完全相同的带电球体，相互接触后电荷量平分，如果原来两球带异种电荷，则先中和然后再把剩余的电荷量平分．




PAGE



第6页 共20页