第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
预习课本P53～54，思考并完成以下问题
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是T＝吗？
2．φ为何值时y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数？
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的对称轴与对称中心 是什么？
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
奇偶性
φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；φ＝＋kπ(k∈Z)时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调性
单调递增区间可由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到，单调递减区间可由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到
对称性
对称轴方程x＝＋(k∈Z)
对称中心(k∈Z)
[点睛] (1)对于y＝Asin(ωx＋φ)其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．
(3)y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不存在φ使得y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数( )
(2)y＝sin的一个对称中心为( )
(3)y＝sin的一个递增区间为( )
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．函数y＝2sin－1的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选C 由3x－＝kπ＋(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，当k＝1时，x＝，故选C.
3．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么( )
A．T＝2，θ＝ B．T＝1，θ＝π
C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝
解析：选A T＝＝2，又当x＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，要使上式取得最大值，可取θ＝.
4．函数y＝2sin＋1的最小值为________．
解析：∵x∈R，∴ymin＝－2＋1＝－1.
答案：－1
函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域问题
[典例] 求函数y＝2sin，x∈的值域．
[解] ∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
①当2x＋∈时，
y＝sin在上是增加的，
∴≤sin≤1，∴≤2sin≤2.
②当2x＋∈时，
y＝sin在上是减少的，
∴－≤sin≤1，
∴－≤2sin≤2.
综上所述，函数y＝2sin，x∈的值域为[－，2]．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤
(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；
(2)作出y＝sin u(注意u的取值范围)的图像；
(3)结合图像求出值域．
[活学活用]
已知函数f(x)＝asin＋1(a>0)，当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，求a的值．
解：－≤x≤－?－≤2x≤－?－≤2x＋≤?－1≤sin≤?f(x)max＝a＋1，
∴a＋1＝2，即a＝2.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
题点一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间求法
1．求函数y＝2sin＋1的单调递减区间．
解：因为函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)，所以2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求函数的单调递减区间为
(k∈Z)．
题点二：函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性问题
2．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由y＝sin是偶函数知＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋3kπ，k∈Z，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝.
题点三：y＝Asin(ωx＋φ)的周期性问题
3．若f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω＝( )
A．1 B．5
C．10 D．20
解析：选C 由T＝＝，得ω＝10.
题点四：y＝Asin(ωx＋φ)的对称性问题
4．已知函数f(x)＝sin－1最小正周期为，则f(x)的图像的一条对称轴的方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选A 已知函数f(x)的最小正周期为T＝＝，∴ω＝3，则其对称轴方程为3x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，故选A.
5．在函数y＝2sin的图像的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
解析：由4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的图像的对称中心坐标为(k∈Z)．取k＝1，得满足条件．
答案：
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于(x0,0)中心对称?f(x0)＝0?ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于直线x＝x0轴对称?f(x0)＝A或f(x0)＝－A?ωx0＋φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)求单调区间实际上是解不等式2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋或2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)．
y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
[典例] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[解] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值．
即sin φ＝±1.
依题设0≤φ≤π，
∴解得φ＝.
由f(x)的图像关于点M对称，可知
sin＝0，
解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π，
∴ω≤2.又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；
当k＝2时，ω＝2.
∴φ＝，ω＝2或ω＝.
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用的注意点
(1)对于平移问题，应特别注意要提取x的系数，即将ωx＋φ变为ω后再观察x的变化．
(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将ωx＋φ看作整体，代入一般表达式解出x的值．
(3)对于值域问题同样是将ωx＋φ看作整体，不同的是根据x的范围求ωx＋φ的范围，再依据图像求值域．
(4)对于奇偶性问题，由φ来确定，φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数．
[活学活用]
已知函数f(x)＝3sin的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ值；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心．
解：(1)∵x＝是f(x)的图像的一条对称轴，
∴sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵0＜φ＜，∴φ＝.
(2)由(1)知y＝3sin.
由题意得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)，
故该函数的对称中心为(k∈Z)．
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B 由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
2．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
解析：选C ①中，y＝cos|2x|＝cos 2x，周期T＝π，①符合；
②中，画出y＝|cos x|的图像知周期T＝π，②符合；
③中，周期T＝π，③符合；
④中，周期T＝，④不符合．
∴符合条件的函数为①②③.
3．函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度后，所得图像的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选B 函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度后，所得图像对应函数的解析式为y＝sin，当x＝时，y＝1，所以x＝是函数y＝sin的图像的一条对称轴．故选B.
4．函数y＝2sin的图像( )
A．关于原点对称 B．关于点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x＝对称
解析：选B 因为正弦函数y＝sin x关于(kπ，0)(k∈Z)对称，由2x＋＝kπ，得x＝－，当k＝0时，可知是函数的一个对称中心．
5．同时具有性质“周期为π，图像关于直线x＝对称，在上是增函数”的函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
解析：选A ∵周期为π，∴ω＝2，排除选项D.
图像关于x＝对称，
即函数在x＝处取得最值，排除选项C.
又x∈，2x－∈，则函数y＝
sin在上为增函数．故选A.
6．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是______________．
解析：由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x，
2kπ＋≤2x≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)在一个周期内，当x＝时，函数f(x)取得最大值2，当x＝时，函数f(x)取得最小值－2，则函数解析式为___________________________．
解析：由题意可知A＝2.＝－＝，
∴T＝π，∴＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sin.
答案：f(x)＝2sin
8．若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
解析：由0≤x≤，0＜ω＜1，得0≤ωx≤＜，
因为函数f(x)在上是增加的，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，
又因为0≤＜，所以＝，解得ω＝.
答案：
9．求函数y＝3cos－2的单调递增区间．
解：由于函数y＝cos x的单调递增区间为
(k∈Z)，所以2kπ－π≤x－≤2kπ，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋.
故所求函数的单调递增区间为(k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是π.
(1)求ω；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)函数的最小正周期为T＝＝π，所以ω＝2.
(2)令t＝2x－，则y＝2sin t.
因为x∈，所以t∈，
因为y＝2sin t在上单调递增，在上单调递减，所以当t＝时，y取得最大值2.
又当t＝－时，y＝－2；当t＝时，y＝2.
所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－2.
层级二 应试能力达标
1．函数y＝sin(ωx－φ)，在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y轴交点的纵坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
将点代入y＝sin(2x＋φ)得sin＝1，
又|φ|＜，∴φ＝，故y＝sin.
令x＝0，则y＝.
2．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(ω＞0,0＜θ＜π)，其图像与直线y＝2交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则( )
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
解析：选A 依题意得T＝＝π，∴ω＝2，又函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，而0＜θ＜π，∴θ＝.
3．若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值M D．可以取得最小值－M
解析：选C 法一：由已知，得M＞0，当x∈[a，b]时，－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，则g(x)在[a，b]上即不是增函数，也不是减函数，且当ωx＋φ＝2kπ时，g(x)可以取得最大值M.
法二：由题意知[a，b]是f(x)的增区间，ω＞0，所以本题也可采用特殊值法．令ω＝1，φ＝0，则f(x)＝Msin x．设区间[a，b]为.∵M＞0，∴g(x)＝Mcos x在上不具备单调性，但有最大值M.
4．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＜f(π)．则下列结论正确的是( )
A．f＝－1
B．f＞f
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的单调递增区间是，k∈Z
解析：选D ∵f(x)≤对x∈R恒成立，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.
∵f＜f(π)，
即sin(π＋φ)＝－sin φ＜sin(2π＋φ)＝sin φ，
∴sin φ＞0.∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
不妨取φ＝，则f＝sin 2π＝0，∴A错；
∵f＝sin＝sin＝－sin＜0，
f＝sin＝sin＞0，∴B错；
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴D对．
5．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1,1]上的单调增区间为________．
解析：由题知＝2，得ω＝π，
∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z，又x∈[－1,1]，所以－≤x≤，所以函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为.
答案：
6．设函数y＝1－3sin，当x＝________时，函数的最大值为4.
解析：由－≤x≤0知－≤2x＋≤，
当2x＋＝－，即x＝－时．
y＝sin取最小值－1，
故y＝1－3sin取最大值4.
答案：－
7．函数f(x)＝Asin＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0,2π)，f＝2，求α的值．
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin＋1.
(2)f＝2sin＋1＝2，
即sin＝.
∵0＜α＜2π，∴－＜α－＜，
∴α－＝或α－＝，故α＝或α＝π.
8．已知函数f(x)＝2sin＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调递减区间．
解：(1)∵f(x)为偶函数，∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cos ωx＋1.
又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为，
∴T＝＝2×，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos 2x＋1，
∴f＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到函数f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图像，
所以g(x)＝f＝2cos ＋1
＝2cos＋1.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
∴函数g(x)的单调递减区间是
(k∈Z)．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十二)”
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课时跟踪检测（十二） 函数y = A sin (ωx+φ)的性质
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B 由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
2．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
解析：选C ①中，y＝cos|2x|＝cos 2x，周期T＝π，①符合；
②中，画出y＝|cos x|的图像知周期T＝π，②符合；
③中，周期T＝π，③符合；
④中，周期T＝，④不符合．
∴符合条件的函数为①②③.
3．函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度后，所得图像的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选B 函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度后，所得图像对应函数的解析式为y＝sin，当x＝时，y＝1，所以x＝是函数y＝sin的图像的一条对称轴．故选B.
4．函数y＝2sin的图像( )
A．关于原点对称 B．关于点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x＝对称
解析：选B 因为正弦函数y＝sin x关于(kπ，0)(k∈Z)对称，由2x＋＝kπ，得x＝－，当k＝0时，可知是函数的一个对称中心．
5．同时具有性质“周期为π，图像关于直线x＝对称，在上是增函数”的函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
解析：选A ∵周期为π，∴ω＝2，排除选项D.
图像关于x＝对称，
即函数在x＝处取得最值，排除选项C.
又x∈，2x－∈，则函数y＝
sin在上为增函数．故选A.
6．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是______________．
解析：由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x，
2kπ＋≤2x≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)在一个周期内，当x＝时，函数f(x)取得最大值2，当x＝时，函数f(x)取得最小值－2，则函数解析式为___________________________．
解析：由题意可知A＝2.＝－＝，
∴T＝π，∴＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sin.
答案：f(x)＝2sin
8．若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
解析：由0≤x≤，0＜ω＜1，得0≤ωx≤＜，
因为函数f(x)在上是增加的，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，
又因为0≤＜，所以＝，解得ω＝.
答案：
9．求函数y＝3cos－2的单调递增区间．
解：由于函数y＝cos x的单调递增区间为
(k∈Z)，所以2kπ－π≤x－≤2kπ，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋.
故所求函数的单调递增区间为(k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是π.
(1)求ω；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)函数的最小正周期为T＝＝π，所以ω＝2.
(2)令t＝2x－，则y＝2sin t.
因为x∈，所以t∈，
因为y＝2sin t在上单调递增，在上单调递减，所以当t＝时，y取得最大值2.
又当t＝－时，y＝－2；当t＝时，y＝2.
所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－2.
层级二 应试能力达标
1．函数y＝sin(ωx－φ)，在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y轴交点的纵坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
将点代入y＝sin(2x＋φ)得sin＝1，
又|φ|＜，∴φ＝，故y＝sin.
令x＝0，则y＝.
2．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(ω＞0,0＜θ＜π)，其图像与直线y＝2交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则( )
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
解析：选A 依题意得T＝＝π，∴ω＝2，又函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，而0＜θ＜π，∴θ＝.
3．若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值M D．可以取得最小值－M
解析：选C 法一：由已知，得M＞0，当x∈[a，b]时，－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，则g(x)在[a，b]上既不是增函数，也不是减函数，且当ωx＋φ＝2kπ时，g(x)可以取得最大值M.
法二：由题意知[a，b]是f(x)的增区间，ω＞0，所以本题也可采用特殊值法．令ω＝1，φ＝0，则f(x)＝Msin x．设区间[a，b]为.∵M＞0，∴g(x)＝Mcos x在上不具备单调性，但有最大值M.
4．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＜f(π)．则下列结论正确的是( )
A．f＝－1
B．f＞f
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的单调递增区间是，k∈Z
解析：选D ∵f(x)≤对x∈R恒成立，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.
∵f＜f(π)，
即sin(π＋φ)＝－sin φ＜sin(2π＋φ)＝sin φ，
∴sin φ＞0.∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
不妨取φ＝，则f＝sin 2π＝0，∴A错；
∵f＝sin＝sin＝－sin＜0，
f＝sin＝sin＞0，∴B错；
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴D对．
5．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1,1]上的单调增区间为________．
解析：由题知＝2，得ω＝π，
∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z，又x∈[－1,1]，所以－≤x≤，所以函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为.
答案：
6．设函数y＝1－3sin，当x＝________时，函数的最大值为4.
解析：由－≤x≤0知－≤2x＋≤，
当2x＋＝－，即x＝－时．
y＝sin取最小值－1，、
故y＝1－3sin取最大值4.
答案：－
7．函数f(x)＝Asin＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0,2π)，f＝2，求α的值．
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin＋1.
(2)f＝2sin＋1＝2，
即sin＝.
∵0＜α＜2π，∴－＜α－＜，
∴α－＝或α－＝，故α＝或α＝π.
8．已知函数f(x)＝2sin＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调递减区间．
解：(1)∵f(x)为偶函数，∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cos ωx＋1.
又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为，
∴T＝＝2×，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos 2x＋1，
∴f＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到函数f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图像，
所以g(x)＝f＝2cos ＋1
＝2cos＋1.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
∴函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
