第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
预习课本P43～52，思考并完成以下问题
1．函数y＝Asin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图像，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
2．将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图像怎样变换，能得到y＝sin x的图像？
3. 函数y＝sin ωx, x∈R（ω＞0且ω≠1）的图像，可由正弦曲线y=sin x, x∈R怎样变换得到？
1．振幅变换
(1)在函数y＝Asin x(A>0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．
(2)对于函数y＝Asin x(A>0，A≠1)的图像可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
[点睛] 对于函数y＝sin(ωx＋φ)与y＝Asin(ωx＋φ)之间的图像变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩，只改变振幅，不改变周期及相位．
2．相位变换
(1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．
(2)对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
[点睛] 进行平移变换时要注意仅是图像上的点的横坐标发生变化，纵坐标不变．
3．周期变换
(1)在函数y＝sin ωx(ω>0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率．
(2)对于函数y＝sin ωx(ω>0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
[点睛] 对于函数y＝sin(x＋φ)与y＝sin(ωx＋φ)之间的图像变换称为周期变换，它实质上是横向的伸缩，此时，y＝sin(ωx＋φ)的周期为T＝，其振幅不变．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由函数y＝sin的图像得到y＝sin x的图像，必须向左平移( )
(2)把函数y＝sin x的图像上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图像( )
(3)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知f(x)＝2sin的图像经过点(0,1)，则f(x)的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A T＝＝6，将点(0,1)代入得sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝.
3．将函数y＝sin 2x的图像向左平移个单位长度再向上平移1个单位长度，所得图像的函数解析式是( )
A．y＝cos 2x B．y＝2cos 2x
C．y＝1＋sin D．y＝1＋cos 2x
解析：选D 将函数y＝sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 2，即y＝sin＝cos 2x的图像，再向上平移1个单位长度，所得图像的函数解析式为y＝1＋cos 2x.
4．将y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，(纵坐标不变)得________的图像．
答案：y＝sin 4x
用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
[典例] 用“五点法”作出函数y＝2sin在一个周期内的图像．
[解] 用“五点法”作图．列表：
x
－
＋
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
描点作图，如下图：
“五点法”作图列表的方法
作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期上的图像．
(1)计算相位，将x＝a，x＝a＋代入ωx＋φ，计算出相位的区间[M，N]，再从区间[M，N]内确定“五点”的横坐标，令ωx＋φ等于上述的横坐标求出x；
(2)确定函数值：利用ωx＋φ的取值求出相应的函数值y；
列出表格后描点(x，y)，连线得到函数的图像．
[活学活用]
用“五点法”作出函数y＝sin在[0，π]上的图像．
解：列出x，y的对应值表：
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示．
三角函数的图像变换
[典例] 说明y＝2sin的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到．
[解] 把y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，再把y＝sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图像，最后把y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图像．
[一题多变]
1．[变条件]要得到y＝2sin的图像，可由y＝2sin的图像如何变换．
解：由y＝2sin可向左平移个单位即得y＝2sin＝2sin的图像．
2．[变条件]要得到y＝2sin的图像，可由y＝2cos x的图像如何变换．
解：∵y＝2cos x＝2sin，
∴先将y＝2sin的图像的各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变．
得y＝2sin，再将得到的图像向右平移个单位即得y＝2sin的图像．
3．[变条件、变设问]把函数y＝f(x)的图像向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图像，则y＝f(x)的解析式为( )
A．y＝sin＋1 B．y＝sin＋1
C．y＝sin－1 D．y＝sin－1
解析：选B 将函数y＝sin x的图像上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin 2x的图像，将所得图像向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin 2x＋1的图像，再将所得图像向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2＋1＝sin2x－＋1的图像．故选B.
三角函数图像变换的策略
(1)已知变换前后的解析式求变换方式时，较简洁的作法是：若ω＝1，则可以先进行左右平移变换，再进行其他的变换；若ω≠1，则先进行左右伸缩变换，再进行其他的变换．
(2)对于函数y＝Acos(ωx＋φ)的图像平移规律与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像平移规律相同．
(3)确定平移方向、单位时要先提取ω，即ωx＋φ＝ω后观察x的变化，确定平移方向及单位．
(4)注意由哪一个函数向哪一个函数平移，平移的函数顺序不能出错．
已知y＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图像求解析式
[典例] 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的函数图像如图，求函数的一个解析式．
[解] 由图像知A＝，又图像过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为“五点作图法”中的第一点与第三点)，
则有解得.
∴该函数的一个解析式为y＝sin.
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像求解析式
(1)A：由最大值或最小值确定A.
(2)ω：由图中已知相位的差确定周期，从而求ω.
(3)φ：一般情况下，求出A，ω后，利用曲线上一点求φ，如已知曲线与x轴的交点x0，则令ωx0＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝－ωx0＋kπ，k∈Z，再利用φ的范围求φ的值．
[活学活用]
函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像如图，则点(ω，φ)的
坐标是________．
解析：由图像可知A＝2，T＝＝2×＝，
∴ω＝4.
又由图像可知当x＝－时，f(x)＝2，
∴4×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋.
∵0＜φ＜π，∴φ＝，因此点(ω，φ)的坐标是.
答案：
层级一 学业水平达标
1．函数y＝3sin的相位和初相分别为( )
A．－x＋， B．x＋，
C．x－，－ D．x＋，
解析：选B y＝3sin＝－3sin＝3sin＝3sin，故相位为x＋，初相为.
2．将函数y＝2sin的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的，则得到的这个新函数的解析式是( )
A．y＝sin B．y＝4sin x
C．y＝sin x D．y＝2sin
解析：选C 用2x代替原函数中的x，用2y代替原函数中的y，得2y＝2sin＝2sin x，即y＝sin x.
3．函数y＝sin在区间上的图像的简图是( )
解析：选A 采用排除法，当x＝0时，y＝sin＝－，排除B、D.当x＝－时，y＝sin＝－，排除C，故选A.
4.知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图像如图，则函数的解析式为( )
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
解析：选B ∵周期T＝2×＝4π，
∴＝4π，∴ω＝.
又A＝2，∴f(x)＝2sin.
∵f＝2，∴×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵φ∈(－π，π)，∴当k＝0时，φ＝.故选B.
5．把函数y＝cos x的图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图像沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图像对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos
解析：选B y＝cos x的图像上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图像；
再把y＝cos 2x的图像沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos ＝cos＝－sin 2x的图像．
6．将函数f(x)＝2sin的图像上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g(x)，则g(x)的最小正周期是________．
解析：由题意知g(x)＝2sin，∴T＝π.
答案：π
7.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图像如图所示，则f＝________.
解析：由T＝－，得T＝，
∴ω＝3.
又ω×＋φ＝0，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝－.
答案：－
8．要得到y＝cos的图像，且使平移的距离最短，则需将y＝sin 2x的图像向________平移________个单位长度即可．
解析：y＝sin 2x＝cos＝cos 2，向左平移个单位长度得到y＝cos 2＝cos的图像．
答案： 左
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的最小正周期为，最小值为－2，图像过，求该函数的解析式．
解：因为函数的最小正周期为，所以T＝＝，
即ω＝3.又因为函数的最小值为－2，
所以A＝2，所以函数解析式可写为y＝2sin(3x＋φ)，
又因为函数图像过点，
所以2sin＝0，解得φ＝kπ－.
因为|φ|＜π，所以φ＝或－，所以函数解析式为
y＝2sin或y＝2sin.
10．已知函数y＝sin，x∈R.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用五点法作出它的简图；
(3)该函数的图像可由y＝sin x(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：(1)函数y＝sin的振幅为，周期为π，初相为.
(2)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0
－
0
描点、连线得到函数的简图如图所示．
(3)变换过程如下：
先将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝sin的图像，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图像，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图像．
层级二 应试能力达标
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.
2．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图像的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 将原函数图像向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图像，再把y＝sin的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin的图像．
3．若曲线y＝Asin ωx＋a(A＞0，ω＞0)在区间上截直线y＝2与y＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是( )
A．a＝，A＞ B．a＝1，A＞1
C．a＝，A≤ D．a＝1，A≤1
解析：选A ∵y＝Asin ωx＋a的图像截y＝2与y＝－1的弦相等，∴a＝，A＞.
4．将函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图像．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0＜φ＜，故φ＝.
5．将函数y＝cos x的图像向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y＝cos的图像，则φ＝_______________________________________________________________.
解析：由题易得φ＝2kπ－，因为0≤φ＜2π，
所以φ＝.
答案：
6.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一段图像如图所示，则函数解析式为______________．
解析：图中给出了第三、第五个关键点，于是得
解得ω＝3，φ＝.又∵A＝2，
∴所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
7．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式．
(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动个单位长度，求y＝g(x)的表达式．
解：(1)根据表中已知数据，得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin＝5sin 2x.
∴g(x)＝5sin 2x.
8．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像上相邻最近的最高点与最低点的坐标分别为和，求该函数的一个解析式．
解：由题意，得A＝＝3.
设该函数的最小正周期为T，则＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝2，∴该函数的解析式为y＝3sin(2x＋φ)．
又∵点在该函数图像上，∴3＝3sin，
∴sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．令k＝0，得φ＝－.
故该函数的一个解析式为y＝3sin.
课件24张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十一)”
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课时跟踪检测（十一） 函数y=A sin (ωx+φ)的图像
层级一 学业水平达标
1．函数y＝3sin的相位和初相分别为( )
A．－x＋， B．x＋，
C．x－，－ D．x＋，
解析：选B y＝3sin＝－3sin＝3sin＝3sin，故相位为x＋，初相为.
2．将函数y＝2sin的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的，则得到的这个新函数的解析式是( )
A．y＝sin B．y＝4sin x
C．y＝sin x D．y＝2sin
解析：选C 用2x代替原函数中的x，用2y代替原函数中的y，得2y＝2sin＝2sin x，即y＝sin x.
3．函数y＝sin在区间上的图像的简图是( )
解析：选A 采用排除法，当x＝0时，y＝sin＝－，排除B、D.当x＝－时，y＝sin＝－，排除C，故选A.
4.知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图像如图，则函数的解析式为( )
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
解析：选B ∵周期T＝2×＝4π，
∴＝4π，∴ω＝.
又A＝2，∴f(x)＝2sin.
∵f＝2，∴×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵φ∈(－π，π)，∴当k＝0时，φ＝.故选B.
5．把函数y＝cos x的图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图像沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图像对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos
解析：选B y＝cos x的图像上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图像；
再把y＝cos 2x的图像沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos ＝cos＝－sin 2x的图像．
6．将函数f(x)＝2sin的图像上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g(x)，则g(x)的最小正周期是________．
解析：由题意知g(x)＝2sin，∴T＝π.
答案：π
7.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图像如图所示，则f＝________.
解析：由T＝－，得T＝，
∴ω＝3.
又ω×＋φ＝0，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝－.
答案：－
8．要得到y＝cos的图像，且使平移的距离最短，则需将y＝sin 2x的图像向________平移________个单位长度即可．
解析：y＝sin 2x＝cos＝cos 2，向左平移个单位长度得到y＝cos 2＝cos的图像．
答案： 左
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的最小正周期为，最小值为－2，图像过，求该函数的解析式．
解：因为函数的最小正周期为，所以T＝＝，
即ω＝3.又因为函数的最小值为－2，
所以A＝2，所以函数解析式可写为y＝2sin(3x＋φ)，
又因为函数图像过点，
所以2sin＝0，解得φ＝kπ－.
因为|φ|＜π，所以φ＝或－，所以函数解析式为
y＝2sin或y＝2sin.
10．已知函数y＝sin，x∈R.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用五点法作出它的简图；
(3)该函数的图像可由y＝sin x(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：(1)函数y＝sin的振幅为，周期为π，初相为.
(2)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0
－
0
描点、连线得到函数的简图如图所示．
(3)变换过程如下：
先将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝sin的图像，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图像，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图像．
层级二 应试能力达标
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.
2．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图像的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 将原函数图像向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图像，再把y＝sin的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin的图像．
3．若曲线y＝Asin ωx＋a(A＞0，ω＞0)在区间上截直线y＝2与y＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是( )
A．a＝，A＞ B．a＝1，A＞1
C．a＝，A≤ D．a＝1，A≤1
解析：选A ∵y＝Asin ωx＋a的图像截y＝2与y＝－1的弦相等，∴a＝，A＞.
4．将函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图像．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0＜φ＜，故φ＝.
5．将函数y＝cos x的图像向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y＝cos的图像，则φ＝_______________________________________________________________.
解析：由题易得φ＝2kπ－，因为0≤φ＜2π，
所以φ＝.
答案：
6.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一段图像如图所示，则函数解析式为______________．
解析：图中给出了第三、第五个关键点，于是得
解得ω＝3，φ＝.又∵A＝2，
∴所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
7．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式．
(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动个单位长度，求y＝g(x)的表达式．
解：(1)根据表中已知数据，得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin＝5sin 2x.
∴g(x)＝5sin 2x.
8．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像上相邻最近的最高点与最低点的坐标
分别为和，求该函数的一个解析式．
解：由题意，得A＝＝3.
设该函数的最小正周期为T，则＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝2，∴该函数的解析式为y＝3sin(2x＋φ)．
又∵点在该函数图像上，∴3＝3sin，
∴sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．令k＝0，得φ＝－.
故该函数的一个解析式为y＝3sin.
