预习课本P58～59，思考并完成以下问题
1．钟摆、潮汐等具有周期现象，能不能用三角函数模型来解决？
2．在数学建模过程中，描绘散点图的作用是什么？
解三角函数应用问题的基本步骤
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是50( )
(2)某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为70( )
答案：(1)× (2)×
2．如果单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数解析式为s＝6sin，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析：选D 单摆来回摆动一次即完成了一个周期运动，而周期T＝＝1，所以来回摆动一次所需的时间为1 s.
3．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
解析：选D 该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以C是错误的．
4．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流为________ A.
答案：
三角函数模型在物理中的应用
[典例] 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin.
(1)作出函数的图像；
(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
(4)单摆来回摆动一次需多长时间？
[解] (1)利用“五点法”可作出其图像．
(2)因为当t＝0时，
s＝6sin＝3，
所以此时离开平衡位置3 cm.
(3)离开平衡位置6 cm.
(4)因为T＝＝1，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
[活学活用]
电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ).
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图像如图所示，试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
解：(1)由图，可知A＝300.
∵T＝－＝，∴ω＝＝100π，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝，∴I＝300sin.
(2)由题意，知≤，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
三角函数模型在实际生活中的应用
[典例] 青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图像．
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式．
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？
[解] (1)由表中数据，知周期T＝12.
∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
所以A＝0.5，b＝1，
所以振幅为，
y＝cos t＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，cos t＋1＞1，cos t＞0，
所以2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z.
即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z.①
因为0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2.
得0≤t＜3,9＜t＜15,21＜t≤24.
所以在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.
[一题多变]
1．[变设问]若本例条件不变，则凌晨2点的浪高是多少？
解：由y＝cost＋1，得t＝2时，y＝.
故凌晨2点的浪高是.
2．[变条件]本例若增加条件，冲浪比赛只能在白天进行，且浪高不小于1.25米，求适合比赛的时间段．
解：由题意，令cos t＋1≥，即cos t≥，
则－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z，
解得－2＋12k≤t≤2＋12k，k∈Z，
当k＝1时，10≤t≤14.
即适合比赛的时间段是上午10点到下午2点．
求解三角函数模型在实际生活中的应用步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
层级一 学业水平达标
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．x轴上 B．最低点
C．最高点 D．不确定
解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选C 根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
－5.9
－3.2
2.2
9.3
15.1
20.3
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acos
B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝asin－3
解析：选C 当x＝1时图像处于最低点，且易知平衡位置时k＞0.
4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳上各点的位置，经过周期后，乙点的纵坐标将如同( )
A．甲 B．丙
C．丁 D．戊
解析：选C 因为绳波从乙点传到戊点正好是一个周期，经过周期，绳波正好从乙点传到丁点．又在绳波的传播过程中，绳上各点只是上下振动，即纵坐标在变，横坐标不变，所以经过周期，乙点位置将移至它关于x轴的对称点处，即横坐标不变，纵坐标与图中的丁点相同．
5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
解析：选C 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.
6．一根长a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，t∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________．
解析：T＝＝.
答案：
7.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图像，则当t＝秒时，电流强度是________安．
解析：由图像可知，A＝10，周期T＝2×＝，所以ω＝＝100π，所以I＝10sin.
当t＝秒时，I＝10sin＝5(安)．
答案：5
8.如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
解析：设函数解析式为
y＝Asin(ωx＋φ)，
由图像知A＝2，T＝，
∴＝，解得ω＝.
又×＋φ＝，∴φ＝，
∴y＝2sin.
答案：y＝2sin
9.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解：(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，
即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，
由60.5＝40.5－40cost0，得
cost0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
层级二 应试能力达标
1．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图像，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 由y＝－sin 的图像知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7，故选C.
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析：选C 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M，N的小球，做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1和s2分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝10cos 2t，则当时间t＝时，s1和s2的大小关系为( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
解析：选C 当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，s2＝10cos＝10cos＝10×＝－5.故s1＝s2，选C.
4.如图为一半径为3 m的水轮，水轮的圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选B 易知水轮的角速度为ω＝＝，且A＝3.
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温为________ ℃.
解析：据题意得28＝a＋A,18＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以y＝23＋5cos，令x＝10，则y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
6．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，即sin150ωπ＋＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，得150ωπ＋＝2π－，
解得ω＝.故ω的最小值为.
答案：
7.如果某地某天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.如图所示．
(1)求这一天6～14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)由题图可知这段时间的最大温差为20 ℃.
(2)观察题图可知，从6～14时的图像是
y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，
∴A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.
∵×＝14－6，∴ω＝.∴y＝10sin＋20.
将x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴所求解析式为y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
解：(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2＜10.3，
有sin＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12.
令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与－30°角的终边相同的角可表示为( )
A．k·360°＋30°(k∈Z) B．k·360°＋150°(k∈Z)
C．k·360°＋330°(k∈Z) D．k·360°＋390°(k∈Z)
解析：选C 与－30°角的终边相同的角可表示为β＝k·360°－30°(k∈Z)，又当k＝1时，β＝330°.故选C.
2．已知sin α＝，则cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C cos＝sin α＝.
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时的x的值分别为( )
A．y＝3，x＝
B．y＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．y＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．y＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：选C 当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3.
4．用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B ∵“五点法”作图的五个点的横坐标是当2x＝0，，π，π，2π时相应的x值．
∴此时x＝0，，，，π.
5．为了得到y＝cos 4x，x∈R的图像，只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
解析：选B 因为ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．
6．把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
解析：选A 把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x＋1的图像，向左平移1个单位长度，得y＝cos(x＋1)＋1的图像，再向下平移1个单位长度得y＝cos(x＋1)的图像．则得到的函数为y＝cos(x＋1)，令x＝0，得y＝cos 1>0，排除C、D；又令x＝－1，得y＝cos＝0，排除B.故选A.
7．若＜θ＜，则下列关系成立的是( )
A．sin θ＞cos θ＞tan θ B．tan θ＞cos θ＞sin θ
C．sin θ＞tan θ＞cos θ D．tan θ＞sin θ＞cos θ
解析：选D ∵θ∈，
∴tan θ＞1,1＞sin θ＞cos θ＞0，故选D.
8．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：选D 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
9．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是( )
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
解析：选A a＝tan＝－tan＝－，
b＝cosπ＝cos＝，
c＝sin＝－，
故b＞a＞c.
10．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，所得的图像对应的函数( )
A．是非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．是奇函数 D．是偶函数
解析：选D 把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度得到的图像对应的函数为y＝sin＝sin＝－cos 2x，为偶函数．
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析：选D 由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，可知k＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图像的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.
12．已知ω＞0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 函数y＝cos x的单调递增区间为，k∈Z，由－π＋2kπ≤ωx＋≤2kπ，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，
因为f(x)在上单调递增，
所以，解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z.
又4k－－≤0，且2k－＞0，
解得k＝1，所以ω∈.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．函数y＝cos x的值域为________．
解析：当x∈时，－≤cos x≤1，所以值域为.
答案：
14．已知角α终边上的一点A(，－1)，则＝________.
解析：原式＝＝－sin α，而sin α＝－，所以原式＝.
答案：
15.如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图像可知A＝2，T＝＝π，即＝π，解得ω＝2.又是“五点法”作图的第五个点，即2·＋φ＝2π，解得φ＝.故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
16．将函数y＝cos的图像向左平移φ(φ＞0)个单位长度后所得函数图像关于坐标原点对称，则φ的最小值是________．
解析：函数y＝cos的图像向左平移φ个单位长度后得到的图像所对应的函数是y＝cos＝cos，由题意得该函数是奇函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋，k∈Z.又φ＞0，所以当k＝0时，φ取得最小值.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角α的终边经过单位圆上的点P，－.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
解：(1)∵点P在单位圆上，
∴由正弦的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·＝＝，
由余弦的定义得cos α＝，故所求式子的值为.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tanx＋.求：
(1)f(x)的最小正周期；
(2)f(x)的定义域和单调区间．
解：(1)对于函数f(x)＝tan，
它的最小正周期T＝＝2.
(2)令x＋≠kπ＋，得x≠2k＋，k∈Z，
故函数的定义域为；
令kπ－<x＋得2k－所以函数f(x)的递增区间为，k∈Z.
19．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2sin2ωx＋＋1(0＜ω＜1)，若点是函数f(x)图像的一个对称中心．
(1)试求ω的值．
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图像．
解：(1)因为点是函数f(x)图像的一个对称中心，所以－＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－3k＋，k∈Z.
因为0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，x∈[－π，π]．
列表如下，
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
f(x)
0
－1
1
3
1
0
则函数f(x)在区间[－π，π]上的图像如图所示．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(2x)cos x，求g的值．
解：(1)由题图可知A＝2，ω＝＝，
∴解析式为f(x)＝2sin，
且由f(x)的图像过点，
得2sin＝2，
又－<φ<，得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵g(x)＝f(2x)cos x＝×2sincos x
＝sincos x，
∴g＝sincos＝sincos
＝(－1)×＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0＜φ＜π)的最小值为－2，其图像相邻的最高点和最低点的横坐标差的绝对值是3π，且图像过点(0,1)，求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)函数f(x)在区间上的最值．
解：(1)∵＝3π，∴T＝6π，∴ω＝＝＝.
由题意，知A＝2，则f(x)＝2cos.
又图像过点(0,1)，∴2cos φ＝1.
∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴f(x)＝2cos.
(2)∵－≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴当x＋＝0，即x＝－π时，f(x)max＝2；
当x＋＝，即x＝0时， f(x)min＝1.
22．(本小题满分12分)据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
解：(1)由题可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝＝.
又解得
即f(x)＝2sin＋7.
又f(x)过点(3,9)，∴2sin＋7＝9，
∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
(2)令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴＋2kπ＜x－＜＋2kπ，k∈Z，
可得＋8k＜x＜＋8k，k∈Z.
又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2,3,4,10,11,12，
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．
课件19张PPT。“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十三)”
(单击进入电子文档)“阶段质量检测”见“阶段质量检测(一)”
(单击进入电子文档)课时跟踪检测（十三） 三角函数的简单应用
层级一 学业水平达标
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．x轴上 B．最低点
C．最高点 D．不确定
解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选C 根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
－5.9
－3.2
2.2
9.3
15.1
20.3
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acos
B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝asin－3
解析：选C 当x＝1时图像处于最低点，且易知平衡位置时k＞0.
4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳上各点的位置，经过周期后，乙点的纵坐标将如同( )
A．甲 B．丙
C．丁 D．戊
解析：选C 因为绳波从乙点传到戊点正好是一个周期，经过周期，绳波正好从乙点传到丁点．又在绳波的传播过程中，绳上各点只是上下振动，即纵坐标在变，横坐标不变，所以经过周期，乙点位置将移至它关于x轴的对称点处，即横坐标不变，纵坐标与图中的丁点相同．
5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
解析：选C 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.
6．一根长a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，t∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________．
解析：T＝＝.
答案：
7.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图像，则当t＝秒时，电流强度是________安．
解析：由图像可知，A＝10，周期T＝2×＝，所以ω＝＝100π，所以I＝10sin.
当t＝秒时，I＝10sin＝5(安)．
答案：5
8.如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
解析：设函数解析式为
y＝Asin(ωx＋φ)，
由图像知A＝2，T＝，
∴＝，解得ω＝.
又×＋φ＝，∴φ＝，
∴y＝2sin.
答案：y＝2sin
9.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解：(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，
即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，
由60.5＝40.5－40cost0，得
cost0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
层级二 应试能力达标
1．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图像，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 由y＝－sin 的图像知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7，故选C.
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析：选C 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M，N的小球，做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1和s2分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝10cos 2t，则当时间t＝时，s1和s2的大小关系为( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
解析：选C 当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，
s2＝10cos＝10cos＝10×＝－5.故s1＝s2，选C.
4.如图为一半径为3 m的水轮，水轮的圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选B 易知水轮的角速度为ω＝＝，且A＝3.
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温为________ ℃.
解析：据题意得28＝a＋A,18＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以y＝23＋5cos，令x＝10，则y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
6．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，即sin＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，得150ωπ＋＝2π－，
解得ω＝.故ω的最小值为.
答案：
7.如果某地某天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.如图所示．
(1)求这一天6～14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)由题图可知这段时间的最大温差为20 ℃.
(2)观察题图可知，从6～14时的图像是
y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，
∴A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.
∵×＝14－6，∴ω＝.∴y＝10sin＋20.
将x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴所求解析式为y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
解：(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2＜10.3，
有sin＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12.
令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.
