回扣验收特训（二） 平面向量
1.如图所示，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选C 连接BP，则＝＋＝b＋，①
＝＋＝a＋－.②
由①＋②，得2＝a＋b－.③
又＝＝(－)＝，④
将④代入③，得2＝a＋b－，
解得＝a＋b.
2．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λ0，则m＝ ( )
A．0 B．2
C．0或2 D．0或－2
解析：选C ∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，
∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，
即∴故选C.
3．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)．若∥，则实数m的值为 ( )
A. B．－
C．－ D．－3
解析：选D ＝－＝(3,1)，由∥，得3(m＋1)＝2m，解得m＝－3，故选D.
4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.故选C.
5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为 ( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D ∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，
∴a与c的夹角为60°.
又|a－c|＝＝＝，
故|a－c|min＝.
6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin B＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由sin B＝1，得B＝，所以在△ABC中，cos C＝.又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q，得2a－b＝0，a＝，故cos C＝，所以C＝.
7．对于向量a，b，当且仅当________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|>||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
8．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．
解析：依题意得|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，|b|＝2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝.
答案：
9．已知向量a＝(2,5)，b＝，且a⊥(a＋2b)，则y＝________.
解析：由题意，知a ＋2b＝，因为a⊥(a＋2b)，所以5＋5(5＋2y)＝0，解得y
＝－3.
答案：－3
10．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)．
则有
解得
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
因此＝(－2，－4)．
11.如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．
证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a.
由于与共线，因此存在实数m，使得＝m(a＋b)．
又与共线，因此存在实数n，使得＝n ＝n.
由＝＋＝＋n，
得m(a＋b)＝a＋n，
整理得(m＋n－1)a＋b＝0.
由于向量a，b不共线，所以有
解得
所以＝.
同理＝ ，
所以＝，所以AR＝RT＝TC，
所以R，T为AC的三等分点．
12．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，θ∈，向量b＝(，－1)．
(1)若a⊥b，求θ的值；
(2)若|2a－b|解：(1)∵a⊥b，∴cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝.
又θ∈，∴θ＝.
(2)∵2a－b＝(2cos θ－，2sin θ＋1)，
∴|2a－b|2＝(2cos θ－)2＋(2sin θ＋1)2
＝8＋8＝8＋8sin.
又θ∈，∴θ－∈.
∴sin∈.
∴|2a－b|2的最大值为16.
∴|2a－b|的最大值为4.
又|2a－b|∴m>4.，即实数m的取值范围为(4，＋∞)．
复习课(二) 平面向量
平面向量的有关概念及线性运算
1．考情
本考点多以选择、填空题形式考查，着重考查向量的有关概念辨别、平面向量的线性运算及共线向量定理，难度中档．
2．知识归纳整合
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定，在解题时注意它们的特殊性．如“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a与c为任意向量，两者不一定平行．
(2)共线向量也叫平行向量，两向量所在的直线可以共线也可以平行．
(3)相等向量一定是平行向量．
(4)向量a的单位向量为.
(5)λa依然是一个向量，与a的方向相同(λ>0)或相反(λ<0)．
[典例] (1)下列命题中，正确命题的个数是 ( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝ ( )
A． B．
C. D.
(3)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．
[解析] (1)根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
(2)由向量的加法法则，得＝(＋)，＝(＋)，因此＋＝－(＋)－(＋)＝－(＋)＝(＋)＝×2＝，故选B.
[答案] (1)D (2)B
(3)解：设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b，
＝－＝tb－a.
要使A，B，C三点共线，只需＝λ，
即－a＋b＝λ(tb－a)．
又非零向量a，b不共线，∴∴
∴当t＝时，三向量终点在同一条直线上．
[类题通法]
(1)辨别向量概念问题时：一要紧扣相关定义，二要注意零向量易忽视．
(2)平面向量的线性运算：
①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是 ( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析：选B 因为|a－b|＝|a＋b|，由向量的加法和减法法则，知以a，b为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a⊥b.
2.
如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝ ( )
A．a－b B.a－b
C．a＋b D.a＋b
解析：选D 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB 且＝ ＝a，所以＝＋＝b＋a.
3.
如图，在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于点G，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选C 设＝ma＋nb(m，n∈R)，则＝mAB―→＋4n，∵F，G，B三点共线，∴m＋4n＝1.连接AC，则＝－＝－(＋)＝(m－1)a＋(n－1)b，＝－＝－－＝－a－b.∵C，G，E三点共线，∴＝，即3m－2n＝1.
联立解得∴＝a＋b.
平面向量的坐标运算
1．考情
本考点多以选择题、填空题形式考查，着重考查平面向量的坐标运算及共线向量定理的坐标表示及数量积的坐标运算，难度中档．
2．知识归纳整合
(1)向量加法、减法、数乘向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
a∥b?x1y2－x2y1＝0，
a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)向量坐标与起点、终点坐标的关系及向量的模
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
[典例] (1)(四川高考)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝ ( )
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
(3)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
①若·＝0，求c的值；
②若c＝5，求cos A的值．
[解析] (1)∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.
(2)法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A.
[答案] (1)B (2)A
(3)解：①＝(－3，－4)，＝(c－3，－4)．
由·＝0，可得
－3(c－3)＋16＝25－3c＝0，
所以c＝.
②∵＝(－3，－4)，
＝(c－3，－4)＝(2，－4)，
∴cos A＝＝＝.
[类题通法]
(1)向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．
(2)对向量坐标运算注意a∥b，a·b的坐标运算形式易混淆．
1．已知向量a＝(1,2)，(a＋b)∥b，则b可以为 ( )
A．(1,2) B．(1，－2)
C．(2,1) D．(2，－1)
解析：选A 设b＝(x，y)，则a＋b＝(x＋1，y＋2)，因为(a＋b)∥b，所以(x＋1)y－x(y＋2)＝0，化简得y－2x＝0，只有A满足．
2．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么 ( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D ∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A，B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．
3．(江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
平面向量的数量积
1．考情
本考点在各种题型均有考查，在解答题中常与三角函数交汇考查，着重考查数量积的计算、模、夹角及垂直问题，难度中档．
2．知识归纳整合
(1)平面向量数量积
①a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ.规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
②a·b的几何意义：
a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
(2)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
[典例] (1)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝ ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)如果向量a和b满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，那么a和b的夹角θ的大小为 ( )
A．30° B．45°
C．75° D．135°
(3)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
①若|a－b|＝，求证：a⊥b；
②设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
[解析] (1)由题意，得·＝·＝－| |2＋·－·＋·＝－×()2＋××1×cos 135°－××2×cos 135°＋2×1×cos 0°＝－－＋1＋2＝2.
(2)由a·(a－b)＝0，∴a2－a·b＝0，
∴a·b＝1.
又cos θ＝＝＝，且0°≤θ ≤180°，
∴θ＝45°.
[答案] (1)B (2)B
(3)解：①证明：由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
②因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以
由此得，cos α＝cos(π－β)，
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.
代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝，
而α＞β，所以α＝，β＝.
[类题通法]
(1)平面向量数量积的计算方法：
①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cos θ求解．
②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．
(3)计算|a|时注意|a|＝，易出错．
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|＝ ( )
A．1 B.
C. D．3
解析：选C 由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos 〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝＝.
2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3 的最小值为________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)．设P(0，y)(0≤y≤h)，则＝(2，－y)，＝(1，h－y)，∴|＋3 |＝≥＝5.故|＋3|的最小值为5.
答案：5
3．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
解析：·＝·＝[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)＝(－1,2)·(1,2)＝3.
答案：3
1.如图所示，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选C 连接BP，则＝＋＝b＋，①
＝＋＝a＋－.②
由①＋②，得2＝a＋b－.③
又＝QB―→＝(－)＝，④
将④代入③，得2＝a＋b－，
解得＝a＋b.
2．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λ0，则m＝ ( )
A．0 B．2
C．0或2 D．0或－2
解析：选C ∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，
∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，
即∴故选C.
3．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)．若∥，则实数m的值为 ( )
A. B．－
C．－ D．－3
解析：选D ＝－＝(3,1)，由∥，得3(m＋1)＝2m，解得m＝－3，故选D.
4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.故选C.
5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为 ( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D ∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，
∴a与c的夹角为60°.
又|a－c|＝＝＝，
故|a－c|min＝.
6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin B＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由sin B＝1，得B＝，所以在△ABC中，cos C＝.又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q，得2a－b＝0，a＝，故cos C＝，所以C＝.
7．对于向量a，b，当且仅当________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|>||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
8．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．
解析：依题意得|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，|b|＝2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝.
答案：
9．已知向量a＝(2,5)，b＝，且a⊥(a＋2b)，则y＝________.
解析：由题意，知a ＋2b＝，因为a⊥(a＋2b)，所以5＋5(5＋2y)＝0，解得y
＝－3.
答案：－3
10．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)．
则有
解得
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
因此＝(－2，－4)．
11.
如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．
证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a.
由于与共线，因此存在实数m，使得＝m(a＋b)．
又与共线，因此存在实数n，使得＝n ＝n.
由＝＋＝＋n，
得m(a＋b)＝a＋n，
整理得(m＋n－1)a＋b＝0.
由于向量a，b不共线，所以有
解得
所以＝.
同理＝A，
所以＝，所以AR＝RT＝TC，
所以R，T为AC的三等分点．
12．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，θ∈，向量b＝(，－1)．
(1)若a⊥b，求θ的值；
(2)若|2a－b|解：(1)∵a⊥b，∴cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝.
又θ∈，∴θ＝.
(2)∵2a－b＝(2cos θ－，2sin θ＋1)，
∴|2a－b|2＝(2cos θ－)2＋(2sin θ＋1)2
＝8＋8＝8＋8sin.
又θ∈，∴θ－∈.
∴sin∈.
∴|2a－b|2的最大值为16.
∴|2a－b|的最大值为4.
又|2a－b|∴m>4.，即实数m的取值范围为(4，＋∞)．
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