回扣验收特训（三） 三角恒等变形
1．已知cos＝，且α∈，则tan α＝ ( )
A. B.
C．－ D．±
解析：选B 由cos＝知－sin α＝，
∴sin α＝－，故α∈，
∴cos α＝－，∴tan α＝.
2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－.
∴tan 2θ＝＝＝.故选B.
3．若α∈，且3cos 2α＝4sin，则sin 2α的值为 ( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C ∵3cos 2α＝4sin，
∴3(cos2α－sin2α)＝2(cos α－sin α)．
∴cos α＋sin α＝，∴(cos α＋sin α)2＝，
即1＋sin 2α＝.
∴sin 2α＝－.故选C.
4．化简＝ ( )
A．1 B.
C．2 D．－1
解析：选C ＝＝＝＝2.
5．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图像关于直线x＝0对称，则 ( )
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数
解析：选B f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，
∵图像关于直线x＝0对称，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ(k∈Z)．又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2cos 2x.其最小正周期T＝＝π，且在上单调递减，故选B.
6．若a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，f(x)＝a·b＋4cos2x＋2sin xcos x．如果存在m∈R，对任意x∈R都有f(x)≥f(m)，则f(m)等于 ( )
A．2＋2 B．3
C．0 D．2－2
解析：选C 若a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，则f(x)＝a·b＋4cos2x＋2sin xcos x＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋2sin xcos x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2(1＋cos 2x)＋sin 2x
＝－cos 2x＋2cos 2x＋sin 2x＋2
＝2＋2
＝2sin＋2.
由x∈R，知sin∈，即有f(x)∈，则f(x)的最小值为0.存在m∈
R，对任意x∈R都有f(x)≥f(m)，则f(m)为f(x)的最小值，则有f(m)＝0.故选C.
7．已知sin α＝，且α∈，f(x)＝sin，则f＝________.
解析：∵sin α＝，且α∈，∴cos α＝，f＝sin＝sin＝＝.
答案：
8．设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin，|f(x)|≤2，所以a≥2.
答案：[2，＋∞)
9．在△ABC中，若sin(π－A)＝，tan(π＋B)＝，则cos C＝________.
解析：∵sin(π－A)＝，∴sin A＝.
∵tan(π＋B)＝，∴tan B＝，sin B＝，cos B＝.又∵sin A＝，∴cos A＝或－.
当cos A＝－时，
此时A＋B>π，故舍去．
∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.
答案：
10．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解：(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，
∴f＝Asin＝Asin ＝A·＝，
∴A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sin，
∴f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin
＝3
＝3×2sin θcos＝3sin θ＝，∴sin θ＝.
∵θ∈，
∴cos θ＝＝，
∴f＝3sin＝3sin
＝3cos θ＝.
11．已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，
即cos2θ＝，∴sin2θ＝.
又∵θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，
∴cos φ＝sin φ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又∵0<φ<，∴cos φ＝.
12．已知函数f(x)＝2cos x·(sin x－cos x)，x∈R.
(1)求函数f(x)图像的对称中心；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．
解：(1)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1.
令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
因此，函数f(x)的图像的对称中心为，k∈Z .
(2)因为f(x)＝sin－1在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又f＝－1，f＝－1，
f＝sin－1＝－cos－1＝－2，
故函数f(x)在区间上的最大值为－1，最小值为－2.
复习课(三) 三角恒等变形
三角函数化简与求值
1．考情
本考点在考查中各种题型都有，着重考查三角恒等变形求值．尤其是给角求值，给值求值(变角求值)．难度中档．
2．知识归纳整合
(1)同角三角函数基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
②商数关系：tan α＝.
(2)两角和与差的三角函数式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；
tan(α±β)＝.
其公式变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
tan αtan β＝1－.
(3)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
其公式变形为：
sin2α＝；
cos2α＝.
[典例] (1)已知tan α＝，则sin αcos α的值为________．
(2)＝ ( )
A．－ B．－
C. D.
(3)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝ ( )
A. B．－
C. D．－
[解析] (1)sin αcos α＝＝
＝＝.
(2)原式＝
＝＝sin 30°＝，故选C.
(3)∵0<α<，∴<＋α<，
所以由cos＝，得sin＝，
又－<β<0，且cos＝，
则<－<，∴sin＝，
故cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
[答案] (1) (2)C (3)C
[类题通法]
化简求值的思路：
(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分．
(2)观察名，尽可能使函数统一名称．
(3)观察结构，利用公式，整体化简．
1．化简：·＝________.
解析：原式＝tan(90°－2α)·＝··＝··＝.
答案：
2．已知cos＝－，θ∈，则sin＝________.
解析：由题得θ＋∈，∴sin＝，
∴sin 2θ＝－cos＝1－2cos2＝，
cos 2θ＝sin＝2sincos＝－，
因此sin＝sin 2θcos－cos 2θsin ＝.
答案：
3．已知tan＝，tan＝2，
求：(1)tan； (2)tan(α＋β)．
解：(1)tan
＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
三角恒等变形与三角函数的综合应用
本考点多以解答题形式考查，着重考查三角恒等变形方法与三角函数的图像和性质，三角恒等变形的主要作用是化简函数f(x)为y＝Asin(ωx＋φ)形式．难度中档．
[典例] 已知函数f(x)＝2cos2x＋4sin cos ·cos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间 上的值域．
[解] (1)f(x)＝2cos2x＋4sin cos cos x
＝2cos2x＋2sin xcos x
＝cos 2x＋1＋sin 2x
＝2sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的值域为[0,3]．
[类题通法]
以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数表达式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．
1．函数y＝2cos2－1(x∈R)的图像的一条对称轴经过点 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由二倍角公式得y＝cos，经检验在A、B、C、D四个选项中，只有选项D中横坐标使已知函数取得最值，故选D.
2．设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图像向左平移个单位得函数y＝g(x)的图像，则 ( )
A．g(x)在上单调递减
B．g(x)在上单调递减
C．g(x)在上单调递增
D．g(x)在上单调递增
解析：选A ∵f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝，T＝＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝sin，∴将y＝f(x)的图像向左平移个单位得函数y＝g(x)的图像，
则y＝g(x)＝sin＝sin
＝cos 2x，
令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
当k＝0时，x∈，即g(x)在上单调递减．
3．设函数f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图像是由y＝f(x)的图像向右平移个单位长度得到．求y＝g(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2＝sin＋2，
依题意得＝，故ω＝.
(2)依题意得
g(x)＝sin＋2＝sin＋2.
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)解得，
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故g(x)的单调增区间为(k∈Z).
三角函数与平面向量的综合问题
本考点在考查中各种题型都有，着重考查利用平面向量共线、垂直、模或夹角等条件，给出三角函数关系，然后求解三角函数的有关问题，难度中档．
[典例] 在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(2sin θ，1)，b＝，θ∈R.
(1)若a·b＝0，求tan θ的值；
(2)若a∥b，且θ∈，求θ的值．
[解] (1)由a·b＝0，得2sin θ＋sin＝0，
即2sin θ＋sin θcos＋cos θsin ＝0，
整理得sin θ＋cos θ＝0，所以tan θ＝－.
(2)由a∥b，得2sin θsin＝1，
即2sin2θcos＋2sin θcos θsin＝1，
所以(1－cos 2θ)＋sin 2θ＝1，
整理得sin 2θ－cos 2θ＝，
所以sin＝.
又θ∈，所以2θ－∈，
所以2θ－＝，即θ＝.
[类题通法]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
1．设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．若a与b－2c垂直，则tan(α＋β)为 ( )
A．2 B.
C．－2 D．－
解析：选A 由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，
∴4cos αsin β＋4sin αcos β－2(4cos αcos β－4sin αsin β)＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，故tan(α＋β)＝2.
2．已知向量a＝(sin α，cos 2α)，b＝(1－2sin α，－1)，α∈，若a·b＝－，则tan α的值为________．
解析：a·b＝sin α(1－2sin α)－cos 2α＝sin α－2sin2α－1＋2sin2α＝－，即sin α＝－.又α∈，∴cos α＝－，∴tan α＝.
答案：
3．已知向量a＝(cos x＋sin x,2sin x)，b＝(cos x－sin x，cos x)，令f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的值．
解：f(x)＝(cos x＋sin x)(cos x－sin x)＋2sin x·cos x＝cos2x－sin2x＋2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＝sin.
(1)由最小正周期公式得T＝＝π.
(2)由x∈，得2x＋∈.
令2x＋＝，得x＝，
即当x＝时，函数f(x)取得最小值－.
1．已知cos＝，且α∈，则tan α＝ ( )
A. B.
C．－ D．±
解析：选B 由cos＝知－sin α＝，
∴sin α＝－，故α∈，
∴cos α＝－，∴tan α＝.
2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ ( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－.
∴tan 2θ＝＝＝.故选B.
3．若α∈，且3cos 2α＝4sin，则sin 2α的值为 ( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C ∵3cos 2α＝4sin，
∴3(cos2α－sin2α)＝2(cos α－sin α)．
∴cos α＋sin α＝，∴(cos α＋sin α)2＝，
即1＋sin 2α＝.
∴sin 2α＝－.故选C.
4．化简＝ ( )
A．1 B.
C．2 D．－1
解析：选C ＝＝＝＝2.
5．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图像关于直线x＝0对称，则 ( )
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数
解析：选B f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，
∵图像关于直线x＝0对称，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ(k∈Z)．又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2cos 2x.其最小正周期T＝＝π，且在上单调递减，故选B.
6．若a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，f(x)＝a·b＋4cos2x＋2sin xcos x．如果存在m∈R，对任意x∈R都有f(x)≥f(m)，则f(m)等于 ( )
A．2＋2 B．3
C．0 D．2－2
解析：选C 若a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，则f(x)＝a·b＋4cos2x＋2sin xcos x＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋2sin xcos x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2(1＋cos 2x)＋sin 2x
＝－cos 2x＋2cos 2x＋sin 2x＋2
＝2＋2
＝2sin＋2.
由x∈R，知sin∈，即有f(x)∈，则f(x)的最小值为0.存在m∈
R，对任意x∈R都有f(x)≥f(m)，则f(m)为f(x)的最小值，则有f(m)＝0.故选C.
7．已知sin α＝，且α∈，f(x)＝sin，则f＝________.
解析：∵sin α＝，且α∈，∴cos α＝，f＝sin＝sin＝＝.
答案：
8．设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin，|f(x)|≤2，所以a≥2.
答案：[2，＋∞)
9．在△ABC中，若sin(π－A)＝，tan(π＋B)＝，则cos C＝________.
解析：∵sin(π－A)＝，∴sin A＝.
∵tan(π＋B)＝，∴tan B＝，sin B＝，cos B＝.又∵sin A＝，∴cos A＝或－.
当cos A＝－时，此时A＋B>π，故舍去．
∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.
答案：
10．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解：(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，
∴f＝Asin＝Asin ＝A·＝，
∴A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sin，
∴f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin
＝3
＝3×2sin θcos＝3sin θ＝，∴sin θ＝.
∵θ∈，
∴cos θ＝＝，
∴f＝3sin＝3sin
＝3cos θ＝.
11．已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，
即cos2θ＝，∴sin2θ＝.
又∵θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，
∴cos φ＝sin φ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又∵0<φ<，∴cos φ＝.
12．已知函数f(x)＝2cos x·(sin x－cos x)，x∈R.
(1)求函数f(x)图像的对称中心；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．
解：(1)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1.
令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
因此，函数f(x)的图像的对称中心为，k∈Z .
(2)因为f(x)＝sin－1在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又f＝－1，f＝－1，
f＝sin－1＝－cos－1＝－2，
故函数f(x)在区间上的最大值为－1，最小值为－2.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝tan，x∈R的最小正周期为 ( )
A. B．π
C．2π D．4
解析：选C T＝＝＝2π.
2．已知圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选A 本题考查弧度制与角度制的互化以及弧长公式的应用．因为圆心角α＝60°＝，圆的半径为1，根据弧长公式，可知弧长为×1＝，故选A.
3．cos－sin的值是 ( )
A. B．－
C．0 D.
解析：选A cos－sin＝cos＋sin＝.
4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝＝＝＝.
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为 ( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C a·b＝－10，则(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，所以c·a＝－，设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.
6．已知函数y＝a－bcos，(b＞0)在0≤x≤π上的最大值为，最小值为－，求2a＋b的值为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵0≤x≤π，∴－≤x－≤，
∴－≤cos≤1.
∵b＞0并且在0≤x≤π上的最大值为，最小值为－，
∴解得：a＝，b＝，∴2a＋b＝3.
7．有下列命题：
①在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD为平行四边形；
②在四边形ABCD中，若∥，且≠，则四边形ABCD为梯形；
③在△ABC中，若||＝||＝||，则△ABC为正三角形；
④若P是△ABC所在平面内一点，且||＝||＝||，则点P为△ABC的内心．
其中正确命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 当||＝||＝||时，P为△ABC的外心，故④错误，①②③均正确．
8．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A ∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.
9．如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，
所以p·(b－a)
＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)
＝－(b－a)2＋(|b|2－|a|2)
＝－(|a|2＋|b|2－2a·b)
＝－(1＋1－0)
＝－.
10．若sin θ＋cos θ＝，则tan的值是 ( )
A．2－ B．－2－
C．2＋ D．－2＋
解析：选B ∵sin2θ＋cos2θ＝1，且sin θ＋cos θ＝，
∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝1，则tan＝＝－2－.
11．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为 ( )
A.－1 B．1
C. D．2
解析：选B 由题意，知a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0，知(a＋b)·c≥c2＝1.因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.
12．定义行列式运算＝a1b2－a2b1，将函数f(x)＝的图像向左平移t(t>0)个单位，所得图像对应的函数为奇函数，则t的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由行列式的定义知f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2cos向左平移t个单位后，得到的图像对应函数为y＝2cos.因为该函数为奇函数，所以2t＋＝＋kπ，k∈Z.得t＝＋，k∈Z，可知t的最小值为，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析：∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，
∴角α的终边在第三象限．
又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.
又|OP|＝，∴
解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.
答案：2
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
解析：原式＝－＋＝.
答案：
15．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为________．
解析：因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝＝＝－2.
答案：－2
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分) 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量＝(x,3)．
(1)若∥，求实数x的值；
(2)若⊥，求实数x的值．
解：(1)依题意，＝(3,8)－(1,2)＝(2,6)．
∵∥，＝(x,3)，∴2×3－6x＝0，∴x＝1.
(2)∵⊥，＝(x,3)，∴2x＋6×3＝0，∴x＝－9.
18．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求的值．
解：(1)由题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，
因此tan α＝2，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－.
(2)
＝×
＝×tan
＝×tan β
＝×
＝.
19．(本小题满分12分)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在上的图像．
解：(1)由题意，知A＝，T＝4×＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又φ∈，
∴φ＝，∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
0
－
0
描点、连线，得题中函数在上的图像如图所示．
20．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1)．
(1)若a⊥b，求的值；
(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．
解：(1)由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0，
所以sin θ＝2cos θ，
所以＝＝.
(2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得，
|a－b|＝
＝＝2，
即1－2cos θ＋sin θ＝0，①
又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，②
由①②可解得
所以sin＝(sin θ＋cos θ)
＝＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若f(x)在区间上的最大值与最小值的和为，求a的值．
解：(1)因为f(x)＝sin 2x＋＋a
＝sin＋a＋，
所以T＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，－≤sin≤1.
因为函数f(x)在上的最大值与最小值的和为＋＝，
所以a＝0.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin x·cos x＋sinsin，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x＝x00≤x0≤为f(x)的一个零点，求cos 2x0的值．
解：(1)f(x)＝sin2x＋sin 2x－cos 2x－cos ＝＋sin 2x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝2sin＋，
∴f(x)的最小正周期为π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为－＋kπ，＋kπ(k∈Z)．
(2)由f(x0)＝2sin＋＝0，
得sin＝－<0.
又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤，
∴－≤2x0－<0，∴cos＝，
∴cos 2x0＝cos2x0－＋
＝coscos－sinsin
＝×－×＝.
课件27张PPT。
“回扣验收特训”见“回扣验收特训（三）”
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