回扣验收特训（一） 三角函数
1．sin ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B sin ＝sin＝sin＝－sin ＝－.
2．设角α的终边与单位圆相交于点P，则sin α－cos α的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C 由三角函数的定义，得sin α＝－，cos α＝，∴sin α－cos α＝－－＝－，故答案为C.
3．已知|sin θ|＝，且π＜θ＜，则tan 的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D ∵|sin θ|＝，
∴sin θ＝－，cos θ＝－ ＝－，
于是tan＝＝＝
＝＝－.
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图像，再把所得函数的图像向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图像，即曲线C2.
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的相邻两对称中心的距离为π，且f＝f(－x)，则函数y＝f是( )
A．偶函数且在x＝0处取得最大值
B．偶函数且在x＝0处取得最小值
C．奇函数且在x＝0处取得最大值
D．奇函数且在x＝0处取得最小值
解析：选A 由f(x)的图像的相邻两对称中心的距离为π，得ω＝1.又由f＝f(－x)，知图像关于直线x＝对称，从而得φ＝，所以f(x)＝Asin.从而y＝f＝Acos x，显然应选A.
6．已知函数f(x)＝Asin的部分图像如图所示，P，Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2,0)．若∠PRQ＝，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是( )
A．2， B.，
C.， D．2，
解析：选A 由题意，x＝2时，y＝f(x)取最大值A，
∴sin＝1.又0<φ<，∴φ＝.
若∠PRQ＝，则∠SRQ＝.
而周期为＝12，故Q(8，－A)，
∴＝tan，∴A＝2，y＝f(x)的最大值及φ的值分别是2，.
7．若α＝2 018°，则与α具有相同终边的最小正角为________．
解析：与α具有相同终边的角为β＝k·360°＋2 018°，当k＝－5时，β为最小正角，即218°.
答案：218°
8．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是________．
解析：由题意知＝，∴ω＝4.∴f＝tan ＝.
答案：
9．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
解析：将y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位后得到y＝cos的图像，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝.
答案：
10．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
11．化简：
(1)＋；
(2)cos＋cos(k∈Z)．
解：(1)原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
(2)当k＝2n，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos＝2cos；
当k＝2n＋1，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝－cos－cos＝－2cos.
12．函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图像如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝.
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1故<πx0＋<.
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx
＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx
＝cos πx－sin πx－sin πx＝cos πx－sin πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
复习课(一) 三角函数
角的概念与弧度制
1．考情
本考点主要以选择、填空题形式考查，着重考查象限角概念与扇形的弧长和面积公式，难度低档．
2．知识归纳整合
(1)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
(2)弧度制：
①弧度数公式：|α|＝.
②角度与弧度的互化：π rad ＝180°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|r.面积公式S＝lr.
[典例] (1)与终边相同的角的表达式中，正确的是 ( )
A．2kπ＋45°，k∈Z B．k·360°＋，k∈Z
C．k·360°－315°，k∈Z D．kπ＋，k∈Z
(2)一圆内切于中心角为，半径为R的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
[解析] (1)∵＝405°，∴与终边相同的角可表示为k·360°－315°，k∈Z.
(2)
一圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切，如图，由圆的半径r＝(R－r)sin，∴r＝R ，
∴π·2∶·R2＝2∶3.
[答案] (1)C (2)B
[类题通法]
1．关于角度与弧度的互化
角度与弧度的互化关键是掌握互化公式，或是由π＝180°简单推导互化公式，对于常见的角度、弧度建议识记其互化关系．
2．关于弧度值公式的应用
在涉及扇形的面积、弧长、圆心角等问题时， 往往要用到弧度值公式的变形使用，以及扇形面积的两种表达式确定未知量或直接求面积．
1．若角α，β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系( )
A．α＝－β B．α＝－2×360°＋β
C．α＝180°＋β D．α＝(2k＋1)·180°＋β(k∈Z)
解析：选D ∵α，β的终边在同一直线上，
∴α＝k·360°＋180°＋β
＝(2k＋1)·180°＋β(k∈Z)．
2．若1 rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为( )
A. B．sin
C. D．2sin
解析：选C 1 rad的圆心角所对弧长等于半径r的长．
∴sin ＝，∴l＝r＝.
3．一个半径是R的扇形，其周长为4R，则这个扇形的面积是 ( )
A．2R2 B．2
C.R2 D．R2
解析：选D ∵弧长l＝4R－2R＝2R，
∴S扇＝lR＝×2R×R＝R2.
三角函数的定义、诱导公式
1．考情
本考点主要以选择、填空题形式考查，着重考查三角函数的定义及诱导公式化简求值，难度中档以下．
2．知识归纳整合
(1)假设角α的顶点是直角坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α终边上任一点Q(x，y)，OQ的长度为r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝，我们可以用这个公式来计算正弦函数、余弦函数和正切函数的值．
(2)诱导公式：
对诱导公式无需死记硬背，关键是记忆它们的结构特征，有记忆口诀如下：“奇变偶不变，符号看象限．”具体可理解为：求2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，－α，＋α，－α，＋α的三角函数值，可归结为求k·±α(k∈Z)的三角函数值．
[典例] (1)角α的终边上存在一点P，且<0，求sin α＋cos α的值．
(2)已知＝3＋2，求
·的值．
[解] (1)由点P的坐标知，点P在第二或第四象限；由<0知，α是第三或第四象限角．故角α是第四象限角，所以m<0.P到原点的距离r＝ ＝ ＝－，所以sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴sin α＋cos α＝－＋＝.
(2)＝＝3＋2，
所以tan θ＝.
故原式＝＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋1＝.
[类题通法]
(1)利用三角函数定义解题时要注意角的终边落在射线上还是直线上，注意分类讨论．
(2)利用诱导公式求值一般按“负化正”“大化小”“小化锐”“锐求值”的步骤进行．
1．若sin(π＋α)＝，且α是第三象限角，则＝( )
A．1 B．7
C．－7 D．－1
解析：选B 由sin(π＋α)＝，得sin α＝－.
又α是第三象限角，所以cos α＝－，
所以＝
＝＝7.
2．已知sin＝，则cos的值为 ( )
A. B．－ C. D．－
解析：选D ∵＋α－＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.
3．已知单位圆上一点P，设以OP为终边的角为θ(0<θ<2π)，求θ的正弦值、余弦值．
解：∵P在单位圆上，∴y2＋＝1.
∴y＝±.
当y＝时，sin α＝，cos α＝－.
当y＝－时，sin α＝－，cos α＝－.
三角函数的图像与性质
1．考情
本考点多在选择、填空题中考查，有时在解答题中涉及，着重考查三角函数的奇偶性、单调性、周期性及最值问题，难度中档．
2．知识归纳整合
(1)正弦函数：
单调增区间(k∈Z)；
单调减区间(k∈Z)；
对称轴x＝kπ＋ ，k∈Z，
对称中心(kπ，0)，k∈Z.
(2)余弦函数：
单调增区间(k∈Z)；
单调减区间(k∈Z)；
对称轴x＝kπ，对称中心，k∈Z.
(3)正切函数：
定义域；
单调增区间(k∈Z)，
渐近线：x＝kπ＋，
对称中心(k∈Z)．
[典例] (1)用“五点法”作函数y＝－2sin x，x∈的图像时，五个关键点的坐标为( )
A．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
B．(0，－2)，，(π，2)，，(2π，－2)
C．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
D．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
(2)函数f(x)＝2x－tan x在上的图像大致为 ( )
(3)函数y＝－cos2x＋cos x(x∈R)的值域是________．
[解析] (1)因为y＝sin x(x∈)的五个关键点的坐标依次为：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，所以y＝－2sin x(x∈)的五个关键点的坐标依次为：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，所以选C.
(2)函数f(x)＝2x－tan x 为奇函数，所以图像关于原点对称，故排除A、B.当x→时，f(x)→－∞，所以排除D，选C.
(3)y＝－cos2x＋cos x＝－2＋.
∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝时，ymax＝.当cos x＝－1时，ymin＝－2.∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.
[答案] (1)C (2)C (3)
[类题通法]
求解与三角函数的图像与性质的有关问题时，应结合三角函数的图像去解决，同时要熟记有关性质结论．
1．函数f(x)＝ ( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：选A 要使f(x)有意义，需满足即x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域为，关于原点对称．又f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)＝是奇函数．
2．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上是单调函数，则ω应满足的条件是 ( )
A．0<ω≤1 B．ω≥1
C．0<ω≤1或ω＝3 D．0<ω≤3
解析：选C ①若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递减．
令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，则＋≤x≤＋(k∈Z)，∴≤且≥，∴ω＝3.
②若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增．
令－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，则－＋≤x≤＋(k∈Z)，∴－≤且≥，又ω>0，∴0<ω≤1.
综上可得，0<ω≤1或ω＝3.故选C.
3．函数y＝cos x－1图像的对称中心为________________．
解析：y＝cos x图像的对称中心为，k∈Z，由y＝cos x的图像向下平移1个单位长度，得到y＝cos x－1的图像．所以y＝cos x－1图像的对称中心为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
1．考情
本考点在考查时各种题型都有，着重考查y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换、性质及其简单应用，考查时常涉及到简单的三角变换，难度中档．
2．知识归纳整合
函数y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤
[典例] (1)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是 ( )
A. B.
C. D.
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像，则g(x)的单调递增区间为 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
[解析] (1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，向右平移φ个单位，得y＝sin关于y轴对称，则－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z，所以φ的最小正值为.
(2)A＝1，T＝×＝π＝，∴ω＝2.
∵2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.
将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到的图像的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故选C.
[答案] (1)C (2)C
[类题通法]
(1)由y＝Asin ωx的图像得y＝Asin(ωx＋φ)的图像时注意平移单位为.
(2)求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时应先检查是否满足ω>0.
1．要得到函数y＝cos x的图像，只需将函数y＝sin图像上的所有点的( )
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
解析：选C ∵y＝cos x＝sin，
∴y＝sin的图像
y＝sin的图像
y＝sin＝cos x的图像．
2.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )
A．A＝3，T＝，φ＝－
B．A＝1，T＝，φ＝
C．A＝1，T＝，φ＝－
D．A＝1，T＝，φ＝－
解析：选C 由图像，知A＝＝1，＝－＝，则T＝，ω＝＝＝.由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.令k＝0，得φ＝－.
3．已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：法一：(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝×－＝.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
1．sin ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B sin ＝sin＝sin＝－sin ＝－.
2．设角α的终边与单位圆相交于点P，则sin α－cos α的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C 由三角函数的定义，得sin α＝－，cos α＝，∴sin α－cos α＝－－＝－，故答案为C.
3．已知|sin θ|＝，且π＜θ＜，则tan 的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D ∵|sin θ|＝，
∴sin θ＝－，cos θ＝－ ＝－，
于是tan＝＝＝
＝＝－.
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图像，再把所得函数的图像向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图像，即曲线C2.
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的相邻两对称中心的距离为π，且f＝f(－x)，则函数y＝f是( )
A．偶函数且在x＝0处取得最大值
B．偶函数且在x＝0处取得最小值
C．奇函数且在x＝0处取得最大值
D．奇函数且在x＝0处取得最小值
解析：选A 由f(x)的图像的相邻两对称中心的距离为π，得ω＝1.又由f＝f(－x)，知图像关于直线x＝对称，从而得φ＝，所以f(x)＝Asin.从而y＝f＝Acos x，显然应选A.
6．已知函数f(x)＝Asin的部分图像如图所示，P，Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2,0)．若∠PRQ＝，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是( )
A．2， B.，
C.， D．2，
解析：选A 由题意，x＝2时，y＝f(x)取最大值A，
∴sin＝1.又0<φ<，∴φ＝.
若∠PRQ＝，则∠SRQ＝.
而周期为＝12，故Q(8，－A)，
∴＝tan，∴A＝2，y＝f(x)的最大值及φ的值分别是2，.
7．若α＝2 018°，则与α具有相同终边的最小正角为________．
解析：与α具有相同终边的角为β＝k·360°＋2 018°，当k＝－5时，β为最小正角，即218°.
答案：218°
8．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是________．
解析：由题意知＝，∴ω＝4.∴f＝tan ＝.
答案：
9．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
解析：将y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位后得到y＝cos的图像，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝.
答案：
10．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
11．化简：
(1)＋；
(2)cos＋cos(k∈Z)．
解：(1)原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
(2)当k＝2n，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos＝2cos；
当k＝2n＋1，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝－cos－cos＝－2cos.
12．函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图像如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝.
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1故<πx0＋<.
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx
＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx
＝cos πx－sin πx－sin πx＝cos πx－sin πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
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