2019年数学北师大版必修4新一线同步（讲义+课时跟踪检测）：阶段质量检测（二）平面向量

阶段质量检测（二） 平面向量
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x＝ (　　)
A．2a B．－2a
C.a D．－a
解析：选B　由题意知3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a.
2．若a为任一非零向量，b是模为1的向量，则下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1.
其中正确的是 (　　)
A．①④ B．③
C．①②③ D．②③
解析：选B　①中，|a|的大小不能确定，故①错误；②中，两非零向量是否平行取决于方向是否相同或相反，故②错误；③显然正确；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误．故选B.
3．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于 (　　)
A．－ B.
C．－或 D．0
解析：选C　由题意知1×2－m2＝0，∴m＝±.
4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝ (　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选B　因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
5．已知D是△ABC所在平面内一点，＝＋，则＝ (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意，得＝＋＝－＋＋＝(－)＝，所以选B.
6．某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为(　　)
A．90° B．30°
C．45° D．60°
解析：选D　如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
于是tan∠AOC＝＝＝＝，∴∠AOC＝60°，故选D.
7．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影为 (　　)
A．1 B.
C．－1 D.
解析：选A　设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影为|a－2b|cos θ.又cos θ＝＝＝，故|a－2b|cos θ＝|a－2b|·＝1.
8．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝ (　　)
A．20 B.
C．2 D.
解析：选C　由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，
所以a＋b＝－2e1－4e2，
所以|a＋b|＝
＝＝＝2，故选C.
9．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)使平面内的任一个向量c都可以唯一表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是 (　　)
A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)
C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．[－3,3)
解析：选B　由已知，知a与b不共线，即1×(2m－3)≠3m，∴m≠－3.
10. 如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.
设＝a，＝b， ＝xa＋yb，则(x，y)为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b，∴x＝，y＝.
11．在矩形ABCD中，＝，＝，设＝(a,0)，＝(0，b)，当⊥时，求得的值为(　　)
A．3 B．2
C. D.
解析：选D　如图，∵＝＋＝＋＝＋＝.
＝＋＝－＋
＝(0，－b)＋＝，
又∵⊥，∴－＝0，∴＝.
12．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，点P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则·的取值范围是 (　　)
A. B.
C．[－3,5] D．[1－2，1＋2]
解析：选C　建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，
其中a>0，b>0，由已知得a2＋b2＝16，x2＋y2＝1，所以·＝(a－x，
－y)·(－x，b－y)＝x2－ax＋y2－by＝1－(ax＋by)，令ax＋by＝t，
由＝≤1得－4≤t≤4，故·的取值范围是[－3,5]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝.
答案：
14．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋b)·a＝0，
即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
15．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)．
解析：∵＝＝e2，∴＝－e2.
∵＝，＋＝＝－＝e2－e1，
∴＝(e2－e1)，∴＝＋＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.
答案：－e1＋e2
16．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，
·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的射影的数量为－1，求：
(1)a与b的夹角θ；
(2)(a－2b)·b.
解：(1)由题意知，|a|＝2，|b|＝1，|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－|b|＝－1，
∴cos θ＝＝－.
由于θ∈[0，π]，∴θ＝即为所求．
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
18．(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC.
(1)以a，b为基底表示向量 与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)由已知得＝＋＝a＋b.
连接AF，∵＝＋＝a＋b，
∴＝＋＝－b＋＝a－b.
(2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6，从而·＝·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝×32＋×(－6)－×42＝－.
19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
解：(1)连接OB，设B(xB，yB)，
则xB＝||＋||·cos(π－∠OAB)＝，
yB＝||·sin(π－∠OAB)＝，
∴＝＋＝＋(－1，)＝，
∴B，C.
(2)证明：∵＝，＝，
∴＝3，∴∥.
又易知OA与BC不平行，||＝||＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
20.(本小题满分12分)如图，G是△OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，又P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
解：(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)由(1)及＝x，＝y，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy.　①
∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)＝＋.　②
由①②得＝，
而，不共线，
∴解得
∴＋＝3，即＋是定值．
21．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标．
解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k ，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
则(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝.
设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)．
∵＝(－7，－2)，∴解得
即点A的坐标为(10,7)．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
解：(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
所以＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2)因为＝(ksin θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin θ＋16.
又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
＝－2k2＋，
当k>4时，1>>0，
所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值；
由＝4，得k＝8，此时θ＝，故＝(4,8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.