2019年数学北师大版必修4新一线同步（讲义+课时跟踪检测）：阶段质量检测（三） 三角恒等变形

阶段质量检测（三） 三角恒等变形
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若α＝，则tan αcos α＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．－
C．－ D.
解析：选C　tan αcos α＝sin α＝sin＝－sin
＝－.
2．函数y＝的最小正周期为(　　)
A．2π B．π
C. D.
解析：选C　y＝＝
＝tan.∴T＝.
3．已知sin＝，cos＝－，则角α的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C　sin α＝2sin cos＝－<0，
cos α＝2cos2－1＝2×2－1＝－<0.
∴α为第三象限角．
4．化简：·＝(　　)
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
解析：选D　原式＝
＝＝cos α.
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　cos 2α＝sin＝sin ＝2sincos，代入原式，得6sin·cos＝sin.∵α∈，∴cos＝，∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.
6．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，所以(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θ·cos θ＝.又因为θ∈，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－，故选B.
7．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C　在△ABC中，
tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，
∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．
8．已知cos＝m，则cos x＋cos＝(　　)
A．2m B．±2m
C.m D．±m
解析：选C　∵cos＝m，
∴cos x＋sin x＝m，
∴cos x＋sin x＝2m.
又cos x＋cos＝cos x＋sin x
＝(cos x＋sin x)，
∴cos x＋cos＝m.
9．已知8sin α＋5cos β＝6，sin(α＋β)＝，则8cos α＋5sin β＝(　　)
A．±10 B．10
C．－10 D．±20
解析：选A　设8cos α＋5sin β＝x，则(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝62＋x2，从而有64＋25＋80(sin α·cos β＋cos αsin β)＝36＋x2，
∴89＋80×＝36＋x2.∴x2＝100，∴x＝±10.
10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)的值为(　　)
A. B.
C. D．－
解析：选B　因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，所以|a|＝|b|＝1.又a与b的夹角为，所以a·b＝1×1×cos＝.又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，所以cos(α－β)＝.
11．已知函数f(x)＝(0＜x≤)，则(　　)
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
解析：选D　因为f(x)＝＝＝＝－tan x,0＜x≤，所以函数f(x)的最小值为－，无最大值，故选D.
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵P(1,4)，∴|OP|＝7，
∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则tan α＝________.
解析：sin α＋cos α＝?1＋2sin αcos α＝?
sin αcos α＝－＜0，又α∈(0，π)，所以sin α＞0，
cos α＜0，因为sin α＋cos α＝，所以sin α＝，
cos α＝－，所以tan α＝－.
答案：－
14.＝________.
解析：∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°
＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，
∴原式＝－1.
答案：－1
15．△ABC中，若cos A＝，cos B＝，则cos C＝________.
解析：因为A，B为三角形的内角，
且cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝，
所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－×＋×
＝－＋＝.
答案：
16．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以其最小正周期为＝π.
答案：π
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17(本小题满分10分)已知tan α＝，
求的值．
解：＝
＝＝
＝＝＝.
∵tan α＝，∴原式＝＝－3.
18．(本小题满分12分)已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解：因为tan α＝，tan β＝，所以tan 2β＝＝，
tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tan α＝<1，tan β＝<1，
所以α，β∈，所以α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1.
(1)求f的值．
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1
＝4coscos＋1＝－2cos＋1
＝－2cos＋1＝2sin＋1，
所以f＝2sin＋1＝＋1.
(2)由(1)，知f(x)＝2sin＋1，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
20．(本小题满分12分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cossin 2x－sincos 2x
＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质得，
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.
21．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝，因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sinωx－(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.
(1)若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值；
(2)求函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
解：(1)因为g(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2.
由f(α)＝，得cos 2α＝，
即cos 2α＝，
所以2α＝2kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，
所以α∈.
(2)函数y＝f(x)＋g(x)
＝cos 2x＋sin
＝cos 2x＋sin 2xcos－cos 2xsin
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．