2019年数学北师大版必修4新一线同步（讲义+课时跟踪检测）：阶段质量检测（一） 三角函数
文档属性
| 名称 | 2019年数学北师大版必修4新一线同步（讲义+课时跟踪检测）：阶段质量检测（一） 三角函数 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 96.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-27 17:56:56 | ||
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文档简介
阶段质量检测（一） 三角函数
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与－30°角的终边相同的角可表示为( )
A．k·360°＋30°(k∈Z) B．k·360°＋150°(k∈Z)
C．k·360°＋330°(k∈Z) D．k·360°＋390°(k∈Z)
解析：选C 与－30°角的终边相同的角可表示为β＝k·360°－30°(k∈Z)，又当k＝1时，β＝330°.故选C.
2．已知sin α＝，则cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C cos＝sin α＝.
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时的x的值分别为( )
A．y＝3，x＝
B．y＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．y＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．y＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：选C 当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3.
4．用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B ∵“五点法”作图的五个点的横坐标是当2x＝0，，π，π，2π时相应的x值．
∴此时x＝0，，，，π.
5．为了得到y＝cos 4x，x∈R的图像，只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
解析：选B 因为ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．
6．把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
解析：选A 把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x＋1的图像，向左平移1个单位长度，得y＝cos(x＋1)＋1的图像，再向下平移1个单位长度得y＝cos(x＋1)的图像．则得到的函数为y＝cos(x＋1)，令x＝0，得y＝cos 1>0，排除C、D；又令x＝－1，得y＝cos＝0，排除B.故选A.
7．若＜θ＜，则下列关系成立的是( )
A．sin θ＞cos θ＞tan θ B．tan θ＞cos θ＞sin θ
C．sin θ＞tan θ＞cos θ D．tan θ＞sin θ＞cos θ
解析：选D ∵θ∈，
∴tan θ＞1,1＞sin θ＞cos θ＞0，故选D.
8．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：选D 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
9．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是( )
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
解析：选A a＝tan＝－tan＝－，
b＝cosπ＝cos＝，
c＝sin＝－，
故b＞a＞c.
10．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，所得的图像对应的函数( )
A．是非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．是奇函数 D．是偶函数
解析：选D 把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度得到的图像对应的函数为y＝sin＝sin＝－cos 2x，为偶函数．
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析：选D 由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，可知k＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图像的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.
12．已知ω＞0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 函数y＝cos x的单调递增区间为，k∈Z，由－π＋2kπ≤ωx＋≤2kπ，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，
因为f(x)在上单调递增，
所以，解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z.
又4k－－≤0，且2k－＞0，
解得k＝1，所以ω∈.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．函数y＝cos x的值域为________．
解析：当x∈时，－≤cos x≤1，所以值域为.
答案：
14．已知角α终边上的一点A(，－1)，则＝________.
解析：原式＝＝－sin α，而sin α＝－，所以原式＝.
答案：
15.如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图像可知A＝2，T＝＝π，即＝π，解得ω＝2.又是“五点法”作图的第五个点，即2·＋φ＝2π，解得φ＝.故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
16．将函数y＝cos的图像向左平移φ(φ＞0)个单位长度后所得函数图像关于坐标原点对称，则φ的最小值是________．
解析：函数y＝cos的图像向左平移φ个单位长度后得到的图像所对应的函数是y＝cos＝cos，由题意得该函数是奇函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋，k∈Z.又φ＞0，所以当k＝0时，φ取得最小值.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角α的终边经过单位圆上的点P
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
解：(1)∵点P在单位圆上，
∴由正弦的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·＝＝，
由余弦的定义得cos α＝，故所求式子的值为.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tan.求：
(1)f(x)的最小正周期；
(2)f(x)的定义域和单调区间．
解：(1)对于函数f(x)＝tan，
它的最小正周期T＝＝2.
(2)令x＋≠kπ＋，得x≠2k＋，k∈Z，
故函数的定义域为；
令kπ－<x＋得2k－所以函数f(x)的递增区间为，k∈Z.
19．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2sin＋1(0＜ω＜1)，若点是函数f(x)图像的一个对称中心．
(1)试求ω的值．
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图像．
解：(1)因为点是函数f(x)图像的一个对称中心，所以－＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－3k＋，k∈Z.
因为0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，x∈[－π，π]．
列表如下，
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
f(x)
0
－1
1
3
1
0
则函数f(x)在区间[－π，π]上的图像如图所示．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(2x)cos x，求g的值．
解：(1)由题图可知A＝2，ω＝＝，
∴解析式为f(x)＝2sin，
且由f(x)的图像过点，
得2sin＝2，
又－<φ<，得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵g(x)＝f(2x)cos x＝×2sincos x
＝sincos x，
∴g＝sincos＝sincos
＝(－1)×＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0＜φ＜π)的最小值为－2，其图像相邻的最高点和最低点的横坐标差的绝对值是3π，且图像过点(0,1)，求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)函数f(x)在区间上的最值．
解：(1)∵＝3π，∴T＝6π，∴ω＝＝＝.
由题意，知A＝2，则f(x)＝2cos.
又图像过点(0,1)，∴2cos φ＝1.
∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴f(x)＝2cos.
(2)∵－≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴当x＋＝0，即x＝－π时，f(x)max＝2；
当x＋＝，即x＝0时， f(x)min＝1.
22．(本小题满分12分)据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
解：(1)由题可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝＝.
又解得
即f(x)＝2sin＋7.
又f(x)过点(3,9)，∴2sin＋7＝9，
∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
(2)令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴＋2kπ＜x－＜＋2kπ，k∈Z，
可得＋8k＜x＜＋8k，k∈Z.
又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2,3,4,10,11,12，
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与－30°角的终边相同的角可表示为( )
A．k·360°＋30°(k∈Z) B．k·360°＋150°(k∈Z)
C．k·360°＋330°(k∈Z) D．k·360°＋390°(k∈Z)
解析：选C 与－30°角的终边相同的角可表示为β＝k·360°－30°(k∈Z)，又当k＝1时，β＝330°.故选C.
2．已知sin α＝，则cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C cos＝sin α＝.
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时的x的值分别为( )
A．y＝3，x＝
B．y＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．y＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．y＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：选C 当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3.
4．用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B ∵“五点法”作图的五个点的横坐标是当2x＝0，，π，π，2π时相应的x值．
∴此时x＝0，，，，π.
5．为了得到y＝cos 4x，x∈R的图像，只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
解析：选B 因为ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．
6．把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
解析：选A 把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x＋1的图像，向左平移1个单位长度，得y＝cos(x＋1)＋1的图像，再向下平移1个单位长度得y＝cos(x＋1)的图像．则得到的函数为y＝cos(x＋1)，令x＝0，得y＝cos 1>0，排除C、D；又令x＝－1，得y＝cos＝0，排除B.故选A.
7．若＜θ＜，则下列关系成立的是( )
A．sin θ＞cos θ＞tan θ B．tan θ＞cos θ＞sin θ
C．sin θ＞tan θ＞cos θ D．tan θ＞sin θ＞cos θ
解析：选D ∵θ∈，
∴tan θ＞1,1＞sin θ＞cos θ＞0，故选D.
8．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：选D 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
9．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是( )
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
解析：选A a＝tan＝－tan＝－，
b＝cosπ＝cos＝，
c＝sin＝－，
故b＞a＞c.
10．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，所得的图像对应的函数( )
A．是非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．是奇函数 D．是偶函数
解析：选D 把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度得到的图像对应的函数为y＝sin＝sin＝－cos 2x，为偶函数．
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析：选D 由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，可知k＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图像的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.
12．已知ω＞0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 函数y＝cos x的单调递增区间为，k∈Z，由－π＋2kπ≤ωx＋≤2kπ，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，
因为f(x)在上单调递增，
所以，解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z.
又4k－－≤0，且2k－＞0，
解得k＝1，所以ω∈.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．函数y＝cos x的值域为________．
解析：当x∈时，－≤cos x≤1，所以值域为.
答案：
14．已知角α终边上的一点A(，－1)，则＝________.
解析：原式＝＝－sin α，而sin α＝－，所以原式＝.
答案：
15.如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图像可知A＝2，T＝＝π，即＝π，解得ω＝2.又是“五点法”作图的第五个点，即2·＋φ＝2π，解得φ＝.故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
16．将函数y＝cos的图像向左平移φ(φ＞0)个单位长度后所得函数图像关于坐标原点对称，则φ的最小值是________．
解析：函数y＝cos的图像向左平移φ个单位长度后得到的图像所对应的函数是y＝cos＝cos，由题意得该函数是奇函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋，k∈Z.又φ＞0，所以当k＝0时，φ取得最小值.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角α的终边经过单位圆上的点P
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
解：(1)∵点P在单位圆上，
∴由正弦的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·＝＝，
由余弦的定义得cos α＝，故所求式子的值为.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tan.求：
(1)f(x)的最小正周期；
(2)f(x)的定义域和单调区间．
解：(1)对于函数f(x)＝tan，
它的最小正周期T＝＝2.
(2)令x＋≠kπ＋，得x≠2k＋，k∈Z，
故函数的定义域为；
令kπ－<x＋
19．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2sin＋1(0＜ω＜1)，若点是函数f(x)图像的一个对称中心．
(1)试求ω的值．
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图像．
解：(1)因为点是函数f(x)图像的一个对称中心，所以－＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－3k＋，k∈Z.
因为0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，x∈[－π，π]．
列表如下，
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
f(x)
0
－1
1
3
1
0
则函数f(x)在区间[－π，π]上的图像如图所示．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(2x)cos x，求g的值．
解：(1)由题图可知A＝2，ω＝＝，
∴解析式为f(x)＝2sin，
且由f(x)的图像过点，
得2sin＝2，
又－<φ<，得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵g(x)＝f(2x)cos x＝×2sincos x
＝sincos x，
∴g＝sincos＝sincos
＝(－1)×＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0＜φ＜π)的最小值为－2，其图像相邻的最高点和最低点的横坐标差的绝对值是3π，且图像过点(0,1)，求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)函数f(x)在区间上的最值．
解：(1)∵＝3π，∴T＝6π，∴ω＝＝＝.
由题意，知A＝2，则f(x)＝2cos.
又图像过点(0,1)，∴2cos φ＝1.
∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴f(x)＝2cos.
(2)∵－≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴当x＋＝0，即x＝－π时，f(x)max＝2；
当x＋＝，即x＝0时， f(x)min＝1.
22．(本小题满分12分)据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
解：(1)由题可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝＝.
又解得
即f(x)＝2sin＋7.
又f(x)过点(3,9)，∴2sin＋7＝9，
∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
(2)令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴＋2kπ＜x－＜＋2kπ，k∈Z，
可得＋8k＜x＜＋8k，k∈Z.
又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2,3,4,10,11,12，
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．