2019年数学北师大版必修4新一线同步（讲义+课时跟踪检测）：模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝tan，x∈R的最小正周期为 (　　)
A.　　　　 　　 　　 　 　 B．π
C．2π D．4
解析：选C　T＝＝＝2π.
2．已知圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　本题考查弧度制与角度制的互化以及弧长公式的应用．因为圆心角α＝60°＝，圆的半径为1，根据弧长公式，可知弧长为×1＝，故选A.
3．cos－sin的值是 (　　)
A. B．－
C．0 D.
解析：选A　cos－sin＝cos＋sin＝.
4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝＝＝＝.
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为 (　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C　a·b＝－10，则(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，所以c·a＝－，设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.
6．已知函数y＝a－bcos，(b＞0)在0≤x≤π上的最大值为，最小值为－，求2a＋b的值为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　∵0≤x≤π，∴－≤x－≤，
∴－≤cos≤1.
∵b＞0并且在0≤x≤π上的最大值为，最小值为－，
∴解得：a＝，b＝，∴2a＋b＝3.
7．有下列命题：
①在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD为平行四边形；
②在四边形ABCD中，若∥，且≠，则四边形ABCD为梯形；
③在△ABC中，若||＝||＝||，则△ABC为正三角形；
④若P是△ABC所在平面内一点，且||＝||＝||，则点P为△ABC的内心．
其中正确命题的个数为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　当||＝||＝||时，P为△ABC的外心，故④错误，①②③均正确．
8．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A　∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.
9．如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝ (　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，
所以p·(b－a)
＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)
＝－(b－a)2＋(|b|2－|a|2)
＝－(|a|2＋|b|2－2a·b)
＝－(1＋1－0)
＝－.
10．若sin θ＋cos θ＝，则tan的值是 (　　)
A．2－ B．－2－
C．2＋ D．－2＋
解析：选B　∵sin2θ＋cos2θ＝1，且sin θ＋cos θ＝，
∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝1，则tan＝＝－2－.
11．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为 (　　)
A.－1 B．1
C. D．2
解析：选B　由题意，知a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0，知(a＋b)·c≥c2＝1.因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.
12．定义行列式运算＝a1b2－a2b1，将函数f(x)＝的图像向左平移t(t>0)个单位，所得图像对应的函数为奇函数，则t的最小值为 (　　)
A.　　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选A　由行列式的定义知f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2cos向左平移t个单位后，得到的图像对应函数为y＝2cos.因为该函数为奇函数，所以2t＋＝＋kπ，k∈Z.得t＝＋，k∈Z，可知t的最小值为，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析：∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，
∴角α的终边在第三象限．
又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.
又|OP|＝，∴
解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.
答案：2
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
解析：原式＝－＋＝.
答案：
15．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为________．
解析：因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝＝＝－2.
答案：－2
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分) 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量＝(x,3)．
(1)若∥，求实数x的值；
(2)若⊥，求实数x的值．
解：(1)依题意，＝(3,8)－(1,2)＝(2,6)．
∵∥，＝(x,3)，∴2×3－6x＝0，∴x＝1.
(2)∵⊥，＝(x,3)，∴2x＋6×3＝0，∴x＝－9.
18．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求的值．
解：(1)由题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，
因此tan α＝2，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－.
(2)
＝×
＝×tan
＝×tan β
＝×
＝.
19．(本小题满分12分)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在上的图像．
解：(1)由题意，知A＝，T＝4×＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又φ∈，
∴φ＝，∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
－




2x＋
0

π

2π
y
0

0
－
0
描点、连线，得题中函数在上的图像如图所示．
20．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1)．
(1)若a⊥b，求的值；
(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．
解：(1)由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0，
所以sin θ＝2cos θ，
所以＝＝.
(2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得，
|a－b|＝
＝＝2，
即1－2cos θ＋sin θ＝0，①
又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，②
由①②可解得
所以sin＝(sin θ＋cos θ)
＝＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若f(x)在区间上的最大值与最小值的和为，求a的值．
解：(1)因为f(x)＝sin 2x＋＋a
＝sin＋a＋，
所以T＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，－≤sin≤1.
因为函数f(x)在上的最大值与最小值的和为＋＝，
所以a＝0.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin x·cos x＋sinsin，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x＝x0为f(x)的一个零点，求cos 2x0的值．
解：(1)f(x)＝sin2x＋sin 2x－cos 2x－cos ＝＋sin 2x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝2sin＋，
∴f(x)的最小正周期为π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为－＋kπ，＋kπ(k∈Z)．
(2)由f(x0)＝2sin＋＝0，
得sin＝－<0.
又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤，
∴－≤2x0－<0，∴cos＝，
∴cos 2x0＝cos2x0－＋
＝coscos－sinsin
＝×－×＝.