预习课本P73～75，思考并完成以下问题
1．向量的定义是什么？
2．向量的表示方法有哪些？
3．相等向量定义是什么？
4．什么是共线向量？
1．向量的概念及表示方法
(1)向量的定义
既有大小又有方向的量统称为向量．
(2)向量的表示方法
①具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A为起点，以B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.
②向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示向量的方向．
③向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用，，，…来表示．
[点睛] 用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
2．与向量有关的概念
名称
定义
记法
零向量
长度为零的向量称为零向量
0
单位向量
长度为单位1的向量叫作单位向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量
向量a与b相等，记作a＝b
共线向量
(平行向量)
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量平行
a与b平行或共线，记作a∥b
[点睛] (1)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(2)共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a≥0 ( )
(2)长度为1的向量是单位向量，它们一定是共线向量 ( )
(3)共线向量的方向必须相同 ( )
(4)单位向量的模都相等( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．下列各量中不是向量的是 ( )
A．浮力 B．风速
C．位移 D．路程
解析：选D 路程没有方向．
3．下列说法正确的是 ( )
A．零向量是长度为0、没有方向的向量
B．任意两个单位向量长度相等、方向相同
C．平行向量方向相同
D．两个相等的向量起点不同时终点一定不同
解析：选D 零向量是长度为0、方向任意的向量，A不正确；任意两个单位向量长度相等，但方向不确定，B不正确；平行向量方向相同或相反，C不正确；相等向量长度相等且方向相同，当且仅当起点相同时，终点相同，D正确．
4．如果对于任意的向量a，均有a∥b，则b为________．
答案：0
向量有关概念的辨析
[典例] 给出下列四个命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③在?ABCD中，一定有＝；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确的命题的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑤不正确．所以不正确的是①②④，正确的是③.
[答案] C
1．判断一个量是否为向量应从两个方面入手
(1)是否有大小；
(2)是否有方向．
2．理解零向量和单位向量
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
[活学活用]
下列命题正确的是 ( )
A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＜|b|，则a＜b
C．若|a|＝0，则a＝0 D．若a＝b，则a，b是共线向量
解析：选D 对于A，a∥b说明a与b的方向相同或相反，也不一定有|a|＝|b|，故A不正确；对于B，向量不能比较大小，故B不正确；对于C，零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故C不正确；D正确，相等向量是共线向量.
向量的表示
[典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1) ，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2) ，使||＝4，点B在点A正东；
(3) ，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
[活学活用]
已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．
(1)作出向量，，，；
(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由图知，D地在A地的东南方向，距A地1 000 km.
共线向量或相等向量
[典例] 如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
[解] (1)依据图形可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，.
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
[活学活用]
如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，
图中与平行的向量有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C 根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．
层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是 ( )
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量与向量是两平行向量
D．单位向量都相等
解析：选C A项考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上．故A项错误．
由于零向量与任一向量平行，因此，若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．故B项错误．
由于向量与方向相反，所以二者是平行向量．故C项正确．
单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同．故D项错误．
2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量 ( )
A．都相等 B．都共线
C．都不共线 D．模都相等
解析：选D 正n边形n条边相等，故这n个向量的模都相等．
3. 如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，
F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列
等式成立的是 ( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：
A中，与方向不同，故＝错误；
B中，与方向不同，故＝错误；
C中，与方向相反，故＝错误；
D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故＝正确．
4. 如图，在圆O中，向量，，是 ( )
A．有公共起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等向量
解析：选C 向量，有公共起点O，不与有公共起点，因而A错；圆O未必是单位圆，故，，未必是单位向量，B错；，，方向不相同，不是相等向量，D错．
5．某人先向正东方向走了4 km，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km，此时他距离出发点 ( )
A. km B．2 km
C．3 km D．5 km
解析：选D 设他距离出发点的距离为x km，由题意，知x2＝42＋32，解得x＝5
(负值舍去)．
6．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案：①③④
7．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量．
解析：模为1个单位的向量有2个，如，；模为2个单位的向量有2个，如，；模为3个单位的向量有2个，如，，故共有6个．
答案：6
8．如图，已知小正方形的边长为1，向量，的长度分别是________．
解析：根据题图易得||＝＝，
||＝＝.
答案：，
9.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：＝.
解：(1)由共线向量满足的条件得与向量共线的向量有： ，，，，，，，，，，.
(2)证明：在?ABCD中，AD綊BC.
又E，F分别为AD，BC的中点，∴ED綊BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE綊FD，∴＝.
10．已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，判断四边形ABCD的形状．
解：∵在四边形ABCD中，＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵tan D＝，∴B＝D＝60°.
又||＝||，∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
层级二 应试能力达标
1．下列说法正确的是 ( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C 向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为 ( )
A． B.
C．1 D．2
解析：选C 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.
3．向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为 ( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B 根据共线向量定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.
4．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为 ( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：选C 由＝知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又由||＝||知四边形为菱形．
5．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：平行向量又叫做共线向量，而与不共线向量，都共线的向量只能是零向量．
答案：0
6．设a0，b0是单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a0|＋|b0|＝2.
答案：③
7. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶
2千米到 D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，
从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，.
(2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝.
所以AD綊BC，
则四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
8．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)当点C在点C1或C2时，||取得最小值
＝；当点C在点C5或C6 时，
||取得最大值＝，故||的
最大值为，最小值为.
课件24张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十四)”
(单击进入电子文档)
课时跟踪检测（十四） 从位移、速度、力到向量
层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是 ( )
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量与向量是两平行向量
D．单位向量都相等
解析：选C A项考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上．故A项错误．
由于零向量与任一向量平行，因此，若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．故B项错误．
由于向量与方向相反，所以二者是平行向量．故C项正确．
单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同．故D项错误．
2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量 ( )
A．都相等 B．都共线
C．都不共线 D．模都相等
解析：选D 正n边形n条边相等，故这n个向量的模都相等．
3. 如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，
F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列
等式成立的是 ( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：
A中，与方向不同，故＝错误；
B中，与方向不同，故＝错误；
C中，与方向相反，故＝错误；
D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故＝正确．
4. 如图，在圆O中，向量，，是 ( )
A．有公共起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等向量
解析：选C 向量，有公共起点O，不与有公共起点，因而A错；圆O未必是单位圆，故，，未必是单位向量，B错；，，方向不相同，不是相等向量，D错．
5．某人先向正东方向走了4 km，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km，此时他距离出发点 ( )
A. km B．2 km
C．3 km D．5 km
解析：选D 设他距离出发点的距离为x km，由题意，知x2＝42＋32，解得x＝5
(负值舍去)．
6．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案：①③④
7．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量．
解析：模为1个单位的向量有2个，如，；模为2个单位的向量有2个，如，；模为3个单位的向量有2个，如，，故共有6个．
答案：6
8．如图，已知小正方形的边长为1，向量，的长度分别是________．
解析：根据题图易得||＝＝，
||＝＝.
答案：，
9.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：＝.
解：(1)由共线向量满足的条件得与向量共线的向量有： ，，，，，，，，，，.
(2)证明：在?ABCD中，AD綊BC.
又E，F分别为AD，BC的中点，∴ED綊BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE綊FD，∴＝.
10．已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，判断四边形ABCD的形状．
解：∵在四边形ABCD中，＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵tan D＝，∴B＝D＝60°.
又||＝||，∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
层级二 应试能力达标
1．下列说法正确的是 ( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C 向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为 ( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选C 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.
3．向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为 ( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B 根据共线向量定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.
4．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为 ( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：选C 由＝知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又由||＝||知四边形为菱形．
5．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：平行向量又叫做共线向量，而与不共线向量，都共线的向量只能是零向量．
答案：0
6．设a0，b0是单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a0|＋|b0|＝2.
答案：③
7. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶
2千米到 D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，
从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，.
(2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝.
所以AD綊BC，
则四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
8．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)当点C在点C1或C2时，||取得最小值
＝；当点C在点C5或C6 时，
||取得最大值＝，故||的
最大值为，最小值为.
