2．1 向量的加法
预习课本P76～78，思考并完成以下问题
1．向量的加法如何定义？
2．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
3．向量加法的运算律有哪两条？
1．向量的加法
三角形
法则
已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，
＝b，再作向量，则向量叫作向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四
边形法则
已知向量a，b，在平面内任取一点A,作＝a，＝b，再作平行于的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形．向量叫作向量a与b的和，表示为：＝a＋b
[点睛] (1)两个向量的和仍是一个向量．
(2)用三角形法则作两向量的和时，要注意保持两向量“首尾相接”，箭头从起点指向最后一个终点．
(3)用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．
(4)两向量共线时用三角形法则求和．
2．向量的加法满足交换律和结合律
a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[点睛] 首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是 ( )
A．＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
答案：C
3．边长为1的正方形ABCD中，|＋|＝ ( )
A．2 B.
C．1 D．2
答案：B
4．＋＋＋＝________.
解析：＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
向量求和
[典例] 如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，
AC，AB的中点，化简下列三式：
(1) ＋＋；
(2) ＋＋；
(3) ＋＋.
[解] (1) ＋＋＝＋＝.
(2) ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3) ＋＋＝＋＋＝＋＝.
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
[活学活用]
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别是所在
边的中点，点O是对角线的交点，则下列各式正确的是 ( )
①＋＝；
②＋＝＋；
③＋＝＋；
④＋＝.
A．①③ B．②④
C．②③ D．①④
解析：选A ①＋＝，正确；
②＋＝＋，故②不正确；
③＋＝＋，正确；
④＋＝，故④不正确.
利用向量的加法法则作图
[典例] 若正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c.
试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小.
[解] 根据平行四边形法则可知，
a＋b＝＋＝.
延长AC，在AC的延长线上作＝，
则a＋b＋c＝＋＝＋＝ (如图所示)．
∴|a＋b＋c|＝||＝2＝2.
利用向量加法的两种法则作图的方法
法则
作法
三角形
法则
①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)
②由第一个向量的起点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和
平行四边形法则
①把两个已知向量的起点平移到同一点
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形
③对角线上以两向量公共起点为起点的向量就是这两个已知向量的和
[活学活用]
求作下列向量的向量和．
解：(1)如图①所示，
(2)如图②所示，首先作＝a，然后作＝b，
则＝a＋b.
(3)
如图③所示，作＝a，＝b，
则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c.
向量加法的应用
[典例] 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度(保留小数点后1位数字)．
[解] 如图，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向的速度，表示船实际航行的速度，其中∠AOC＝30°，||＝5(km/h)．因为四边形OACB为矩形，
所以||＝＝||×＝5≈8.7(km)，
||＝＝＝10(km)．
所以船的实际速度大小为10 km/h，方向与河岸成30°角，水流速度大小约为8.7 km/h.
应用向量解决问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．
(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．
[活学活用]
如图所示，两个力F1和F2同时作用在一个点O上，且F1的大小为3 N，
F2的大小为4 N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力
的大小．
解：作出F1和F2的合力F，如图所示．
在直角三角形AOC中，
|F1|＝3，||＝|F2|＝4，
|F|2＝|F1|2＋||2＝|F1|2＋|F2|2＝25，
∴|F|＝5 N.
层级一 学业水平达标
1．下列命题：
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；
③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①正确．对于②，当A，B，C三点共线时，不能构成三角形．对于③，应该为|a＋b|≤|a|＋|b|.
2．若向量a表示向东走1 km，向量b表示向南走1 km，则向量a＋b表示 ( )
A．向东南走 km B．向东南走2 km
C．向东北走 km D．向东北走2 km
解析：选A 由向量加法的平行四边形法则，易得a＋b表示向东南走 km.
3. 如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝ ( )
A．0 B．
C． D．
解析：选D ＋＋＝＋＋＝＋＝，所以选D.
4．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是 ( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D ＋＝，根据平行四边形法则，
如图，则点P在△ABC外部．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
解析：(1)由平行四边形法则可知为.
(2) ＋＋＝＋＝.
(3) ＋＋＝＋＝.
(4) ＋＋＝＋＋＝＋＝0.
答案：(1) (2) (3) (4)0
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
8. 如图，菱形ABCD的边长为1，它的一个
内角∠ABC＝60°，＝a，＝b，
则|a＋b|＝________.
解析：因为四边形ABCD为菱形，所以||＝||＝1.连接AC(图略)，又∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形．因为＋＝，所以|＋|＝||＝1，
即|a＋b|＝1.
答案：1
9. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA
的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
解：①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
10．在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图．
在Rt△ABC中，||＝|v1|＝2.
||＝|v2|＝2，
∴||＝|v|＝
＝＝4.
tan θ＝＝＝.
∴θ＝60°.
∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°.
层级二 应试能力达标
1. 如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
则下列等式中不正确的是 ( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．,＋＝
D．＋＝
解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.
2. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，
则＋＝ ( )
A． B．
C． D．
解析：选C 设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝DB―→＋＝.
4．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D 由于＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D.
5．化简：(＋)＋(＋)＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋
＋＝.
答案：
6. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．
则①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋＝________.
解析：①＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.
答案：① ② ③
7. 如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：
＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
8. 如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线时|a＋e|最大，最大值是3.
课件19张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十五)”
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课时跟踪检测（十五） 向量的加法
层级一 学业水平达标
1．下列命题：
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；
③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①正确．对于②，当A，B，C三点共线时，不能构成三角形．对于③，应该为|a＋b|≤|a|＋|b|.
2．若向量a表示向东走1 km，向量b表示向南走1 km，则向量a＋b表示 ( )
A．向东南走 km B．向东南走2 km
C．向东北走 km D．向东北走2 km
解析：选A 由向量加法的平行四边形法则，易得a＋b表示向东南走 km.
3. 如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝ ( )
A．0 B．
C． D．
解析：选D ＋＋＝＋＋＝＋＝，所以选D.
4．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D ＋＝，根据平行四边形法则，
如图，则点P在△ABC外部．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
解析：(1)由平行四边形法则可知为.
(2) ＋＋＝＋＝.
(3) ＋＋＝＋＝.
(4) ＋＋＝＋＋＝＋＝0.
答案：(1) (2) (3) (4)0
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
8. 如图，菱形ABCD的边长为1，它的一个
内角∠ABC＝60°，＝a，＝b，
则|a＋b|＝________.
解析：因为四边形ABCD为菱形，所以||＝||＝1.连接AC(图略)，又∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形．因为＋＝，所以|＋|＝||＝1，
即|a＋b|＝1.
答案：1
9. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA
的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
解：①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
10．在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图．
在Rt△ABC中，||＝|v1|＝2.
||＝|v2|＝2，
∴||＝|v|＝
＝＝4.
tan θ＝＝＝.
∴θ＝60°.
∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°.
层级二 应试能力达标
1. 如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
则下列等式中不正确的是 ( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.
2. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，
则＋＝ ( )
A． B．
C． D．
解析：选C 设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
4．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D 由于＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D.
5．化简：(＋)＋(＋)＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋
＋＝.
答案：
6. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．
则①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋＝________.
解析：①＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.
答案：① ② ③
7. 如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：
＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
8. 如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线时|a＋e|最大，最大值是3.
