2．2 向量的减法
预习课本P79～80，思考并完成以下问题
1．相反向量定义是什么？
2．任何向量与其相反向量是共线向量吗？
3．向量的减法运算及其几何意义是什么？
1．相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
[点睛] 任何向量与其相反向量必是共线向量，只是方向相反，但长度不变．
2．向量的减法
(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
(2)几何意义：在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，则向量
a－b＝，如图所示．
(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
[点睛] 透析差向量的作法
(1)表示a－b，强调：差向量“箭头”指向被减向量．
(2)可以用向量减法的三角形法则作差向量，也可以用向量减法的定义a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较繁琐．
作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个方向相同的向量之差等于0 ( )
(2)两个相反向量之和等于0 ( )
(3)在△ABC中，＝a，＝b，则＝a－b ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．下列运算中正确的是 ( )
A．－＝ B．－＝
C．－＝ D．－＝0
解析：选C －＝.
3．化简－＋＋的结果等于 ( )
A． B．
C． D．
答案：B
4．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为______．
答案：，
向量的减法及其几何意义
[典例] 如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－b，b－a，－a－b.
[解] (1)作＝a，＝b，
则＝a－b，＝b－a(如图①)．
(2)对于－a－b，有下列两种作法：
法一：作＝－a，＝b，则＝－a－b(如图②)．
法二：作＝a，＝b，再以，为邻边作?OACB，则＝－a－b(如图③)．
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[活学活用]
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解：法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
向量的加、减法运算
[典例] 化简：(－)－(－)．
[解] [法一 统一成加法]
(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝AD―→＋＝0.
[法二 “利用－＝”]
(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝CB―→－＋＝DB―→＋＝0.
[法三 利用＝－]
设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；
(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
[活学活用]
化简下列各式：
(1)＋＋＝________；
(2)＋＋＋＝________；
(3)－＋＝________；
(4)＋－－＝________.
解析：(1) ＋＋＝＋＝0.
(2) ＋＋＋＝＋＋＋＝.
(3) －＋＝＋＝0.
(4) ＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝2.
答案：(1)0 (2) (3)0 (4)2
向量加法、减法的综合应用
[典例] 如图，已知向量＝a，＝b，
满足|a|＝2，|b|＝2，且∠BAD＝60°，
求|a－b|，|a＋b|.
[解] 由向量减法的三角形法则可知＝a－b，＝a＋b，在△ABD中，因为∠BAD＝60°，AD＝2，AB＝2，所以△ABD为等边三角形，四边形ABCD是菱形，∴BD＝2，即|a－b|＝2，AC＝2，即|a＋b|＝2.
(1)以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b.
(2)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．
[活学活用]
1．设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：选C 以，为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－，因为|＋|＝|－|，所以||＝||.
又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.
2．如果||＝8，||＝5，那么||的取值范围为________．
解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．
答案：[3,13]
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：选D ＝－＝－－＝－a－b.
2．在平行四边形ABCD中，－＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选A 在平行四边形ABCD中，＝，所以－＋＝－＋＝＋－＝－＝，故选A.
3．化简以下各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－.结果为零向量的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由三角形法则及向量加、减法的有关性质可知各式均为零向量．
4. 如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是 ( )
A．－＝
B．＋＝
C．＋＋＝
D．＋＝＋
解析：选C －＝＋＝，故A错误；＋＝，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＝≠＋，
故D错误．
5．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为 ( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：选B |－|＝|＋|＝||＝1.
6. 化简＋－－－的结果是________.
解析：原式=＋（－）－（＋）=＋－=.
答案：
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0 2
8．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
解析：利用向量减法的三角形法则，知|a－b|是Rt△AOB的斜边长．由勾股定理，得|a－b|＝＝13.
答案：13
9. 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．
求证：＋＋＝0.
证明：连接EF，由题意知：＝＋，
＝＋，＝＋.由平面几何可知：
＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(
＋)＋(＋)＝(＋＋
＋)＋(＋)＝(＋＋
＋＋)＋0＋＋＝
＋＋＝0.
10. 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解：∵＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，
∴(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
层级二 应试能力达标
1．在四边形ABCD中，若＝，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的
形状是 ( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选B 由＝，得AB∥DC且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形，所以＋＝，－＝，所以||＝||，所以四边形ABCD是
矩形．
2．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由菱形的图像，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.
3．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为 ( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选D 延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，
则－＝＋＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，
易求得AD＝∴|－|＝.
4．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：选B 如图，a－b＝－＝，c－d＝－＝，
又四边形ABCD为平行四边形，则＝，即－＝0，
所以＋＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.
5. 如图所示，已知点O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
6．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.
解析：设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行
四边形OACB，如图所示，则||＝|a＋b|.由于(＋1)2＋
(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2，所以△AOB是
∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
答案：4
7．若向量a，b满足|a|＝4，|a－b|＝5，|a＋b|＝5，求|b|.
解：如图，作＝a，＝b，再以OA，OB为邻边作?OACB，
则有＝a＋b，＝a－b.
∵|a－b|＝|a＋b|＝5，∴||＝||，
∴平行四边形OACB为矩形，
∴||2＝||2－||2＝52－42＝9，
∴|b|＝||＝3.
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
解：如图，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
由题意，知||＝||＝2，||＝1.
过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB于F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝.
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，
∴cos∠CBF＝.
∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝.
∴CF＝.
∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝ ＝.
∴|a＋b|＝.
课件21张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十六)”
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课时跟踪检测（十六） 向量的减法
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：选D ＝－＝－－＝－a－b.
2．在平行四边形ABCD中，－＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选A 在平行四边形ABCD中，＝，所以－＋＝－＋＝＋－＝－＝，故选A.
3．化简以下各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－.结果为零向量的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由三角形法则及向量加、减法的有关性质可知各式均为零向量．
4. 如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是 ( )
A．－＝
B．＋＝
C．＋＋＝
D．＋＝＋
解析：选C －＝＋＝，故A错误；＋＝，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＝≠＋，
故D错误．
5．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为 ( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：选B |－|＝|＋|＝||＝1.
6. 化简＋－－－的结果是________.
解析：原式=＋（－）－（＋）=＋－=.
答案：
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0 2
8．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
解析：利用向量减法的三角形法则，知|a－b|是Rt△AOB的斜边长．由勾股定理，得|a－b|＝＝13.
答案：13
9. 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．
求证：＋＋＝0.
证明：连接EF，由题意知：＝＋，
＝＋，＝＋.由平面几何可知：
＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(
＋)＋(＋)＝(＋＋
＋)＋(＋)＝(＋＋
＋＋)＋0＋＋＝
＋＋＝0.
10. 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解：∵＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，
∴(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
层级二 应试能力达标
1．在四边形ABCD中，若＝，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的
形状是 ( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选B 由＝，得AB∥DC且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形，所以＋＝，－＝，所以||＝||，所以四边形ABCD是
矩形．
2．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|.其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由菱形的图像，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的,所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.
3．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为 ( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选D 延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，
则－＝＋＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，
易求得AD＝∴|－|＝.
4．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：选B 如图，a－b＝－＝，c－d＝－＝，
又四边形ABCD为平行四边形，则＝，即－＝0，
所以＋＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.
5. 如图所示，已知点O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，
＝c，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
6．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.
解析：设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行
四边形OACB，如图所示，则||＝|a＋b|.由于(＋1)2＋
(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2，所以△AOB是
∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
答案：4
7．若向量a，b满足|a|＝4，|a－b|＝5，|a＋b|＝5，求|b|.
解：如图，作＝a，＝b，再以OA，OB为邻边作?OACB，
则有＝a＋b，＝a－b.
∵|a－b|＝|a＋b|＝5，∴||＝||，
∴平行四边形OACB为矩形，
∴||2＝||2－||2＝52－42＝9，
∴|b|＝||＝3.
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
解：如图，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
由题意，知||＝||＝2，||＝1.
过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB于F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝.
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，
∴cos∠CBF＝.
∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝.
∴CF＝.
∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝ ＝.
∴|a＋b|＝.
