3．1 数乘向量
预习课本P82～84，思考并完成以下问题
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
3．向量共线定理是怎样表述的？
4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
1．数乘向量
(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa.
(2)长度：|λa|＝|λ||a|.
(3)方向：λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
(4)几何意义：
由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．
当|λ|>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)
或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍；
当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)
或反方向(λ<0)上缩短为原来的|λ|倍．
(5)运算律：
设λ，μ为实数，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
(6)线性运算：
向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．
[点睛]
(1)数乘向量λa中，实数λ称为向量a的系数．
(2)实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数积的定义的推广，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义．
(3)数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题．
2．向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
3．向量共线的性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
[点睛] (1)定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0.
(3)已知平面内直线AB外任意一点O，则满足向量关系式＝λ＋(1－λ) 的点P与点A，B共线．反之，若点P在直线AB上，则存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ)成立．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致( )
(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉( )
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列各式计算正确的个数是
①(－7)·6a＝－42a；
②a－2b＋(2a＋2b)＝3a；
③a＋b－(a＋b)＝0. ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 根据实数与向量的积满足的运算律，可知①正确；a－2b＋(2a＋2b)＝a－2b＋2a＋2b＝3a，故②正确；a＋b－(a＋b)＝0.故③错误．
3．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
答案：C
4．已知向量a＝2e1＋3e2，b＝－e1＋2e2，且ma＋b与a－2b共线，则实数m＝________.
解析：ma＋b＝(2m－1)e1＋(3m＋2)e2，a－2b＝4e1－e2，由题意知＝，
故m＝－.
答案：－
向量的线性运算
[典例] 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量线性运算的方法
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．
[活学活用]
1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝－i－5j.
2．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.
解：联立方程组
解得
在几何图形中用已知向量表示未知向量
[典例] 如图，D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，
且＝a，＝b.试求，， (用a，b表示)．
[解]＝＋＝－b＋＝－b－a.
＝＋＝a＋b.
＝＋＝＋(＋)＝b＋(－b－a)＝b－a.
用已知向量表示其他向量的方法
[活学活用]
如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．
又＝， ＝，试用a，b表示，，.
解：∵＝＝＝(－)＝(a－b)，
∴＝＋
＝b＋a－b＝a＋b.
∵＝＝，
∴＝＋＝＋
＝＝(＋)＝(a＋b)．
∴＝－
＝(a＋b)－a－b＝a－b.
共线向量定理的应用
题点一 向量共线的判定
1．已知e1，e2不共线，则下列各式中，a与b不共线的是 ( )
A．a＝－2e1，b＝6e1
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝2e1－e2，b＝e1－e2
D．a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2
解析：选D A中，∵b＝－3a，∴a与b共线；B中，b＝－2a，则a与b共线；C中，b＝a，则a与b共线；D中，设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0.
∴这样的λ不存在，因此a与b不共线．
题点二 由向量共线确定参数的值
2．已知e1，e2是两个非零不共线向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解：∵a与b是共线向量，
∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)，
∴(2－λk)e1＋(－1－λ)e2＝0.
又e1，e2不共线，∴2－λk＝0，－1－λ＝0，∴k＝－2.
故实数k的值为－2.
题点三 利用向量共线定理证明三点共线
3．已知非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
证明∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝6(2e1＋3e2)＝6，
∴向量与共线．
又向量与有共同的起点A，
∴A，B，D三点共线．
题点四 利用三点共线求参数值
4．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
解：由题意得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ.
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.
由向量相等的条件，得
∴k＝－8.
用向量共线定理求参数的方法
(1)三点A，B，C共线问题：利用＝λ构造方程求参数．
(2)已知向量ma＋nb与ka＋pb(a与b不共线)共线求参数的值的步骤
①设：设ma＋nb＝λ(ka＋pb)；
②整：整理得ma＋nb＝λka＋λpb，故
③解：解方程组得参数的值．
层级一 学业水平达标
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反
C．a与λ2a的方向相同 D．|λa|＝λ|a|
解析：选C 只有当λ>0时，才有a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同．故选C.
2．(a＋9b－2c)－(b＋2c)等于 ( )
A．a＋10b－4c B．a＋8b
C．a＋8b－4c D．a＋10b
解析：选C (a＋9b－2c)－(b＋2c)
＝a＋(9b－b)－(2c＋2c)
＝a＋8b－4c.
3．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝，又＝t，∴t＝.
4．已知a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是 ( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：选A 由题意得＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3. 又与有共同起点A，∴A，B，D三点共线．
5．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则 ( )
A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上
解析：选D ∵＋＋＝，
∴＋＋－＝0，
∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，
∴2＝，∴点P在线段AC上．
6．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，
y＝________.
解析：由已知得解得x＝y＝.
答案：
7．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：由＝－＝－＝(－)＋＝－＋，得λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.
答案：
8．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．
解析：由＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，
得＝＋＝5e1－3e2，
又＝e1＋λe2，且A，B，D三点共线，所以存在实数μ，使得＝μ，即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，又e1，e2不共线，所以∴λ＝－.
答案：－
9. 如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，
若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ，则λ－λ＝m－，
∴m＝λ＝.
层级二 应试能力达标
1．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于 ( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，
∴λ＝－.
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝ ( )
A. a＋b B. a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选A 由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
3．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，则a＋2b与2a－b ( )
A．一定共线
B．一定不共线
C．仅当e1与e2共线时共线
D．仅当e1＝e2时共线
解析：选C 由a＋2b＝5e1,2a－b＝5e2可知，当且仅当e1与e2共线时，a＋2b与2a－b共线．
4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为( )
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．BC边中线的中点
D．AB边的中点
解析：选B ∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，
∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.
5．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD是________(填形状)．
解析：∵＝5e，＝－7e，∴AB∥CD且AB≠CD，
又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯形
6．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
7．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．
(1)用a，b表示向量，.
(2)求证：M，N，C三点共线．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴＝＝a.
∵M为AB的中点，∴＝＝b，
∴＝＋＝b＋a.
∵N为BD上靠近B的三等分点，∴＝，
∴＝＋＝＋＝(－)＋
＝(b－a)＋a＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝，
又与有公共点C，∴M，N，C三点共线．
8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量 ，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解：(1)由A是BC的中点，得＝(＋)，
从而＝2－＝2a－b.
由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝，
从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由于C，E，D三点共线，则＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)·a－b，
＝2a－b，
从而(2－λ)a－b＝μ，
又a，b不共线，则解得λ＝.
课件25张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十七)”
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课时跟踪检测（十七） 数乘向量
层级一 学业水平达标
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反
C．a与λ2a的方向相同 D．|λa|＝λ|a|
解析：选C 只有当λ>0时，才有a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同．故选C.
2．(a＋9b－2c)－(b＋2c)等于 ( )
A．a＋10b－4c B．a＋8b
C．a＋8b－4c D．a＋10b
解析：选C (a＋9b－2c)－(b＋2c)
＝a＋(9b－b)－(2c＋2c)
＝a＋8b－4c.
3．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝，又＝t，∴t＝.
4．已知a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是 ( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：选A 由题意得＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3. 又与有共同起点A，∴A，B，D三点共线．
5．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则 ( )
A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上
解析：选D ∵＋＋＝，
∴＋＋－＝0，
∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，
∴2＝，∴点P在线段AC上．
6．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，
y＝________.
解析：由已知得解得x＝y＝.
答案：
7．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：由＝－＝－＝(－)＋＝－＋，得λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.
答案：
8．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．
解析：由＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，
得＝＋＝5e1－3e2，
又＝e1＋λe2，且A，B，D三点共线，所以存在实数μ，使得＝μ，即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，又e1，e2不共线，所以∴λ＝－.
答案：－
9. 如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，
若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ，则λ－λ＝m－，
∴m＝λ＝.
层级二 应试能力达标
1．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于 ( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，
∴λ＝－.
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝ ( )
A. a＋b B. a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选A 由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
3．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，则a＋2b与2a－b ( )
A．一定共线
B．一定不共线
C．仅当e1与e2共线时共线
D．仅当e1＝e2时共线
解析：选C 由a＋2b＝5e1,2a－b＝5e2可知，当且仅当e1与e2共线时，a＋2b与2a－b共线．
4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为( )
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．BC边中线的中点
D．AB边的中点
解析：选B ∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，
∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.
5．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD是________(填形状)．
解析：∵＝5e，＝－7e，∴AB∥CD且AB≠CD，
又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯形
6．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
7．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．
(1)用a，b表示向量，.
(2)求证：M，N，C三点共线．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴＝＝a.
∵M为AB的中点，∴＝＝b，
∴＝＋＝b＋a.
∵N为BD上靠近B的三等分点，∴＝，
∴＝＋＝＋＝(－)＋
＝(b－a)＋a＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝，
又与有公共点C，∴M，N，C三点共线．
8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量 ，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解：(1)由A是BC的中点，得＝(＋)，
从而＝2－＝2a－b.
由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝，
从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由于C，E，D三点共线，则＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)·a－b，
＝2a－b，
从而(2－λ)a－b＝μ，
又a，b不共线，则解得λ＝.
