3．2 平面向量基本定理
预习课本P85～86，思考并完成以下问题
1．什么叫平面向量的基底？基底是唯一的吗？
2．平面向量的基本定理内容是什么？
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底
平面内不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
[点睛] 理解平面向量基本定理应关注的三点
(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．
(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底．
(3)λ1，λ2是唯一的．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可能作为基底 ( )
(2)如果e1，e2是平面α内两个不共线向量，则λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 ( )
(3)若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是 ( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B ①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知①③向量组可以作为平面的基底．
3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝ ( )
A. (a－b) B. (a＋b)
C. (b－a) D. b＋a
解析：选B如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，
从而＝，即－＝－，从而＝(
＋)＝(a＋b)．
4. 在如图所示的平行四边形ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，
M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：＝＋
＝－
＝b－(a＋b)＝－a＋b.
答案：－a＋b
向量基底的判断
[典例] 若向量a，b不共线，c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
[解] 设存在实数λ，使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，
即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.
由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，
故c，d能作为基底．
判断所给两个向量能否作为基底的方法
由基底的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为基底，只需判断其是否共线，而判断是否共线就是看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基底的向量必为非零向量．
[活学活用]
如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是 ( )
A．a＋b与a－b B．a＋2b与2a＋b
C．a＋b与－a－b D．a与－b
解析：选C 由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A、B、D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底.
用基底表示向量
[典例] 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
[解] 法一：由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b，
法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又则
所以x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
一个重要结论：设a，b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则有
[活学活用]
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，
BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以
a，b为基底表示，，.
解：∵AD∥BC，且AD＝BC，
∴＝＝b.
∵E为AD的中点，
∴＝＝＝b.
∵＝，∴＝b，
∴＝＋＋
＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋b－a＝b－a，
＝＋＝－(＋)
＝－(＋)＝－
＝a－b.
平面向量基本定理的应用
[典例] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
[解] 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)·e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
[一题多变]
1．[变设问]在典例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.
解：由典例解析知BP∶PN＝，则＝，
＝＋＝＋＝b＋(－)
＝b＋a－b＝b＋a.
2．[变条件]若典例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN的值．
解：如图，设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ
＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
层级一 学业水平达标
1．若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2
解析：选C 选项C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，可见e1－2e2和4e2－2e1是共线向量，不能作为一组基底．故选C.
2. 如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则＝ ( )
A.－
B.＋
C.＋
D.－
解析：选C 由平面向量的三角形法则，可得：＝＋，又点D是BC边上靠近B的三等分点，所以＝＋＝＋(－)＝＋.
3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，则x，y满足的关系是 ( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A 由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴消去λ得x＋y＝2.
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为 ( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
解析：选A 由平面向量基本定理得
∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.
5．若点G是△ABC的重心，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则＋＋等于 ( )
A．6 B．－6
C．－6 D．0
解析：选D 令GB的中点为P，连接DP，PE，得平行四边形
GDPE(如图所示)，取向量，为一组基底，则有＝2
＝2(＋)，＝－2，＝－2.上面三式左右两边分
别相加，有＋＋＝0.
6.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：a＋b
7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．
解析：若向量a，b共线，则有λ＝4，故当向量a，b不共线时，λ≠4.
答案：λ≠4
8．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝x，＝y，其中x，y∈R，且均不为0，若∥，则＝________.
解析：＝－＝y－x，
由∥得＝λ (λ≠0)，
∴y－x＝λ(－)＝λ，
∴∴＝.
答案：
9. 如图，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是OA，
OB上的点，且＝a， ＝b，设与相交
于点P，用向量a，b表示.
解：由题意得＝＋，＝＋.
设＝m，＝n，
则＝＋m＝＋m(－)
＝a＋m＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝＋n(－)
＝b＋n＝na＋(1－n)b.
∵a，b不共线，∴解得
∴OP―→＝a＋b.
10. 如图，已知M为△ABC的边BC上一点，且满足＝＋，
求△ABM与△ABC的面积之比．
解：∵＝＋，
∴＝(－)＋(－)，
∴＋＝0，
∴＝3，
∴＝＝.
层级二 应试能力达标
1．已知，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式成立的是 ( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：选A r＝＝＋＝－3＝－3(－)＝p－3q＋3r，
所以2r＝3q－p，r＝－p＋q，选A.
2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为( )
A．－ B．－
C. D.
3. 如图，在矩形OABC中，点E，F分别在线段AB，BC上，
且满足AB＝3AE，BC＝3CF，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ ( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 由题意＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ＝＋.
又∵＝＋，∴两式相加，得λ＋μ＝.故选B.
4．已知||＝1，||＝，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内部且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则等于 ( )
A．3 B.
C. D.
解析：选A 由题意得△OAB是直角三角形，且OA＝1，OB＝，OA⊥OB，∴AB＝2，∠A＝60°.
如图所示，延长OC交AB于D，设＝λ,0＜λ＜1.
在△AOD中，∠A＝60°，∠AOD＝30°，
∴∠ADO＝90°，又OA＝1，
∴AD＝，则＝，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴＝λ＝＋，
∴m＝，n＝，∴＝3.
5．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，
∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)
＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
∵e1与e2不共线，∴∴m＝，n＝－，
∴e1＋e2＝a－b.
答案： a－b
6．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ (λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
解析：设＝k (0＜k＜1)，
则＝－＝k－
＝(kλ－1) ＋kμ.
∵D是OC与AB的交点，
∴A，D，B三点共线，
∴，共线，
设＝m，
又＝－，
∴(kλ－1)＋kμ＝m－m.
∵，不共线，
∴
∴kλ－1＝－kμ，
∴k(λ＋μ)＝1，
∴λ＋μ＝＞1.
答案：(1，＋∞)
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得解得
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴解得∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，
得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴解得
故所求λ，μ的值分别为3,1.
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)由＝＋，
可知M，B，C三点共线．
如图，设＝λ，
则＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，
所以λ＝，所以＝，
即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y，得＝x＋，
＝＋y，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线
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课件23张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十八)”
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课时跟踪检测（十八） 平面向量基本定理
层级一 学业水平达标
1．若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2
解析：选C 选项C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，可见e1－2e2和4e2－2e1是共线向量，不能作为一组基底．故选C.
2. 如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则＝ ( )
A. －
B. ＋
C. ＋
D. －
解析：选C 由平面向量的三角形法则，可得：＝＋，又点D是BC边上靠近B的三等分点，所以＝＋＝＋(－)＝＋.
3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，则x，y满足的关系是 ( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A 由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴消去λ得x＋y＝2.
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为 ( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
解析：选A 由平面向量基本定理得
∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.
5．若点G是△ABC的重心，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则＋＋等于 ( )
A．6 B．－6
C．－6 D．0
解析：选D 令GB的中点为P，连接DP，PE，得平行四边形
GDPE(如图所示)，取向量，为一组基底，则有＝2
＝2(＋)，＝－2，＝－2.上面三式左右两边分
别相加，有＋＋＝0.
6.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：a＋b
7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．
解析：若向量a，b共线，则有λ＝4，故当向量a，b不共线时，λ≠4.
答案：λ≠4
8．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝x，＝y，其中x，y∈R，且均不为0，若∥，则＝________.
解析：＝－＝y－x，
由∥得＝λ (λ≠0)，
∴y－x＝λ(－)＝λ，
∴∴＝.
答案：
9. 如图，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是OA，
OB上的点，且＝a， ＝b，设与相交
于点P，用向量a，b表示.
解：由题意得＝＋，＝＋.
设＝m，＝n，
则＝＋m＝＋m(－)
＝a＋m＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝＋n(－)
＝b＋n＝na＋(1－n)b.
∵a，b不共线，∴解得
∴OP―→＝a＋b.
10. 如图，已知M为△ABC的边BC上一点，且满足＝＋，
求△ABM与△ABC的面积之比．
解：∵＝＋，
∴＝(－)＋(－)，
∴＋＝0，
∴＝3，
∴＝＝.
层级二 应试能力达标
1．已知，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式成立的是 ( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：选A r＝＝＋＝－3＝－3(－)＝p－3q＋3r，
所以2r＝3q－p，r＝－p＋q，选A.
2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为( )
A．－ B．－
C. D.
3. 如图，在矩形OABC中，点E，F分别在线段AB，BC上，
且满足AB＝3AE，BC＝3CF，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ ( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 由题意＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ＝＋.
又∵＝＋，∴两式相加，得λ＋μ＝.故选B.
4．已知||＝1，||＝，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内部且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则等于 ( )
A．3 B.
C. D.
解析：选A 由题意得△OAB是直角三角形，且OA＝1，OB＝，OA⊥OB，∴AB＝2，∠A＝60°.
如图所示，延长OC交AB于D，设＝λ,0＜λ＜1.
在△AOD中，∠A＝60°，∠AOD＝30°，
∴∠ADO＝90°，又OA＝1，
∴AD＝，则＝，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴＝λ＝＋，
∴m＝，n＝，∴＝3.
5．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，
∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)
＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
∵e1与e2不共线，∴∴m＝，n＝－，
∴e1＋e2＝a－b.
答案： a－b
6．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ (λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
解析：设＝k (0＜k＜1)，
则＝－＝k－
＝(kλ－1) ＋kμ.
∵D是OC与AB的交点，
∴A，D，B三点共线，
∴，共线，
设＝m，
又＝－，
∴(kλ－1)＋kμ＝m－m.
∵，不共线，
∴
∴kλ－1＝－kμ，
∴k(λ＋μ)＝1，
∴λ＋μ＝＞1.
答案：(1，＋∞)
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得解得
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴解得∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，
得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴解得
故所求λ，μ的值分别为3,1.
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)由＝＋，
可知M，B，C三点共线．
如图，设＝λ，
则＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，
所以λ＝，所以＝，
即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y，得＝x＋，
＝＋y，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线
??
