预习课本P93～96，思考并完成以下问题
1．向量的夹角的范围是什么？
2．向量数量积的几何意义是什么？
3．向量数量积有哪些性质？
4．向量数量积的运算满足哪些运算律？
1．向量的夹角
(1)定义：已知非零向量a和b(如图所示)，作＝a，＝b，则
∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a和b的夹角，当θ＝0°时，向量a和
b同向；当θ＝180°时，向量a和b反向．
(2)垂直：如果向量a和b的夹角是90°，我们就说向量a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量可与任一向量垂直．
[点睛] 两向量的夹角的范围是[0，π]，但要注意，前提是共起点时才能指出夹角，若不满足，可先进行平移．
2．向量的数量积
(1)投影：若非零向量a，b的夹角为θ，则|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)．
(2)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(3)数量积的特殊情况：
当两个向量相等时，a·a＝|a|2.
当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝cos θ.
(4)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ的乘积．
[点睛] (1)两个向量的数量积是两个向量之间的乘法，它与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时只能写成a·b，而不能写成a×b或ab.
(2)向量的数量积为一实数，可正、可负、可为0.这不同于数乘向量，其结果仍为向量．
3．向量的数量积的性质
(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)a⊥b?a·b＝0；
(3)|a|＝；
(4)cos θ＝(|a||b|≠0)；
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a (交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c (分配律)．
[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c ( )
(2)在△ABC中，∠A＝60°，则与的夹角为60° ( )
(3)对任意两个向量a，b，都有a·b≤|a||b| ( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下面给出的关系式中正确的个数是 ( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①②③显然正确．对于④，|a·b|＝|a||b|·|cos θ|(设θ为a，b的夹角)，a·b＝|a||b|cos θ，故a·b≤|a·b|，故④错误．对于⑤，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2(设θ为a，b的夹角)，故⑤错误．
3．设向量a，b均为单位向量，且(a＋b)2＝1，则a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b＝1，
则a·b＝－.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
4．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
解析：a·b＝|a||b|cos 30°＝2××＝3.
答案：3
平面向量数量积的运算
[典例] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;
②(a＋b)·(a－2b)．
(2)如图，设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，
求a·b＋b·c＋c·a.
[解] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
[活学活用]
1．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．
解析：已知向量a，b的夹角θ＝60°，故b在a上的投影为|b|cos θ＝2cos 60°＝2×＝1.
答案：1
2．△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，求·.
解：·＝·(－)＝·－·，
∵在上的投影为||，
∴·＝||·||＝2.
同理，·＝||·||＝.
∴·＝－2＝.
向量模的问题
[典例] (1)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
(2)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为.求|a＋b|，|a－b|.
[解] (1)令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ＝.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1，
从而|b|＝＝.
(2)由题意知a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b
＝25＋25＋2×＝75，
所以|a＋b|＝5.
同理因为|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25，
所以|a－b|＝5.
[一题多变]
1．[变设问]本例(2)的条件不变，求|3a＋b|.
解：∵a·b＝|a||b|cos θ＝，
∴|3a＋b|＝＝＝5.
2．[变条件，变设问]本例(2)的已知条件若改为|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，如何求|3a＋b|的值？
解：因为|3a－2b|2
＝9a2－12a·b＋4b2
＝9×25－12a·b＋4×25
＝325－12a·b，
又因为|3a－2b|＝5，
所以325－12a·b＝25，即a·b＝25.
所以|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.
所以|3a＋b|＝20.
求向量的模的常用思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
两个向量的夹角与垂直问题
[典例] (1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[解析] (1)设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.
[答案]
(2)解：设a与b的夹角为θ.
由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，
∴cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
求向量a，b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
[活学活用]
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且(3a－2b)⊥a，则a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由(3a－2b)⊥a，得(3a－2b)·a＝3|a|2－2a·b＝0?a·b＝|a|2＝，又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝＝?〈a，b〉＝.
2．已知|a|＝，|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，求使向量2a＋λb与λa－3b的夹角为锐角时λ的取值范围．
解：设向量2a＋λb与λa－3b的夹角为θ.
∵向量2a＋λb与λa－3b的夹角为锐角，
∴＞0，
即(2a＋λb)·(λa－3b)＞0，
2λa2＋(λ2－6)a·b－3λb2＞0.
∵a2＝|a|2＝2，b2＝|b|2＝1，
a·b＝|a||b|cos 45°＝×1×＝1，
∴4λ＋λ2－6－3λ＞0，即λ2＋λ－6＞0，
∴λ＜－3或λ＞2.
设2a＋λb＝k(λa－3b)＝kλa－3kb，
则∴λ2＝－6，
即此时λ不存在，向量2a＋λb与λa－3b不共线．
综上，向量2a＋λb与λa－3b的夹角为锐角时，λ＜－3或λ＞2.
层级一 学业水平达标
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b等于 ( )
A．3 B.
C．2 D.
解析：选B 设a与b的夹角为θ.∵|a|cos θ＝，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.
3．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( )
A．1 B.
C．4＋ D．2
解析：选B 根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.
4．若·＋2＝0，则△ABC为 ( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A ·＋·＝0，
·(＋)＝0，·＝0，
∴⊥，∴∠A＝90°.
∴△ABC为直角三角形．
5．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝ ( )
A．5 B．4
C．3 D．1
解析：选B ∵|a＋b|＝，
∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，
也就是|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝13.
将θ＝120°，|a|＝3代入可得|b|2－3|b|－4＝0.
解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．
6．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3.
答案：3
7．如果a，b，a－b的模分别为2,3，，则a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ，由|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝.又0≤θ≤π，故θ＝.
答案：
8．已知△ABC是边长为的等边三角形，则·＋·＝________.
解析：注意到与，与所成的角都是等边三角形的外角，为120°，故·＋·＝2×(××cos 120°)＝－2.
答案：－2
9．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.
解：(1)a在b方向上的投影为
|a|cos θ＝5cos 150°＝－，
a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 150°＝－10.
(2)b在a方向上的投影为|b|cos θ＝＝＝.
∵cos θ＝＝＝，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
解：由已知，a·b＝4×8×＝－16.
(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×16－16×(－16)＋4×64
＝3×162，
∴|4a－2b|＝16.
(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，
则(a＋2b)·(ka－b)＝0.
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.
层级二 应试能力达标
1． 若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D．π
解析：选A 由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是 ( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：选B ∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
3．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)为( )
A．0 B．a
C．b D．c
解析：选B a·(b·c)＝a·(|b||c|·cos 45°)＝a·＝a.故选B.
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于 ( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A ∵AM＝1，且＝2，∴||＝.
如图，·(＋)＝·2＝·
＝()2＝2＝.
5．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
解析：由|a＋b|2＝|a－b|2知a·b＝0.
又|a－b|2＝4|a|2，
∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2.
∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝|a|.
∴cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.
(1)求(2a－b)·(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．
解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝1×4×＝2，
∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.
(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，
∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，
∴λ＝12.
8．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？
解：(1)∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.
∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2.
∴a·b＝
＝＝＝.
又∵a·b＝|a||b|cos θ，∴＝3×5×cos θ.
∴cos θ＝，θ＝60°.
(2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)，
∴(μa＋b)·(a－2b)＝0.
∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0.
∴9μ－2×25－2μ×＋＝0.
∴μ＝－.
∴存在μ＝－，使得μa＋b与a－2b垂直．
课件27张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十)”
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课时跟踪检测（二十） 从力做的功到向量的数量积
层级一 学业水平达标
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b等于 ( )
A．3 B.
C．2 D.
解析：选B 设a与b的夹角为θ.∵|a|cos θ＝，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.
3．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( )
A．1 B.
C．4＋ D．2
解析：选B 根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.
4．若·＋2＝0，则△ABC为 ( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A ·＋·＝0，
·(＋)＝0，·＝0，
∴⊥，∴∠A＝90°.
∴△ABC为直角三角形．
5．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝ ( )
A．5 B．4
C．3 D．1
解析：选B ∵|a＋b|＝，
∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，
也就是|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝13.
将θ＝120°，|a|＝3代入可得|b|2－3|b|－4＝0.
解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．
6．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3.
答案：3
7．如果a，b，a－b的模分别为2,3，，则a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ，由|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝.又0≤θ≤π，故θ＝.
答案：
8．已知△ABC是边长为的等边三角形，则·＋·＝________.
解析：注意到与，与所成的角都是等边三角形的外角，为120°，故·＋·＝2×(××cos 120°)＝－2.
答案：－2
9．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.
解：(1)a在b方向上的投影为
|a|cos θ＝5cos 150°＝－，
a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 150°＝－10.
(2)b在a方向上的投影为|b|cos θ＝＝＝.
∵cos θ＝＝＝，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
解：由已知，a·b＝4×8×＝－16.
(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×16－16×(－16)＋4×64
＝3×162，
∴|4a－2b|＝16.
(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，
则(a＋2b)·(ka－b)＝0.
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.
层级二 应试能力达标
1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D．π
解析：选A 由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是 ( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：选B ∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
3．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)为( )
A．0 B．a
C．b D．c
解析：选B a·(b·c)＝a·(|b||c|·cos 45°)＝a·＝a.故选B.
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于 ( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A ∵AM＝1，且＝2，∴||＝.
如图，·(＋)＝·2＝·
＝()2＝2＝.
5．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
解析：由|a＋b|2＝|a－b|2知a·b＝0.
又|a－b|2＝4|a|2，
∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2.
∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝|a|.
∴cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.
(1)求(2a－b)·(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．
解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝1×4×＝2，
∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.
(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，
∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，
∴λ＝12.
8．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？
解：(1)∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.
∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2.
∴a·b＝
＝＝＝.
又∵a·b＝|a||b|cos θ，∴＝3×5×cos θ.
∴cos θ＝，θ＝60°.
(2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)，
∴(μa＋b)·(a－2b)＝0.
∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0.
∴9μ－2×25－2μ×＋＝0.
∴μ＝－.
∴存在μ＝－，使得μa＋b与a－2b垂直．
