预习课本P98～99，思考并完成以下问题
1．平面向量数量积的坐标运算如何表示？
2．如何用坐标法计算向量的夹角？
1．平面向量数量积的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
2．几个重要结论
(1)向量模的坐标表示：若a＝(x，y)，则|a|＝ .
(2)向量垂直的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(3)向量夹角的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝ .
3．直线的方向向量
给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
[点睛] (1)数量积的坐标运算可以简单记为“对应坐标相乘再求和”．在解题过程中要注意坐标的顺序．
(2)向量垂直条件的坐标表示x1x2＋y1y2＝0和向量平行条件的表示x1y2－x2y1＝0，有许多相似性，要注意区别．
(3)注意直线l的方向向量m必须为非零向量．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)则a·b＝x1y1＋x2y2 ( )
(2)若直线l的斜率不存在，则向量m＝(0,1)为其一个方向向量 ( )
答案：(1)× (2)√
2．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x＝ ( )
A．3 B.
C．－ D．－3
解析：选C 3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－.
3．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为 ( )
A．1 B．－2
C. D．－
解析：选B ∵ka＋b＝(k－1,2k＋1)，b＝(－1,1)，
∴(ka＋b)·b＝(k－1)×(－1)＋2k＋1＝k＋2＝0，k＝－2.
4．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则|a＋2b|＝________.
解析：∵a＋2b＝(－1,7)，
∴|a＋2b|2＝(－1)2＋72＝50，∴|a＋2b|＝5.
答案：5
平面向量数量积的坐标运算
[典例] (1)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b等于________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝________.
(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，则(3a－b)(a－2b)＝________.
[解析] (1)a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.
(2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.
(3)因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，
所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.
[答案] (1)1 (2)5 (3)－15
进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
[活学活用]
已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(2a－b)；
(3)(a·b)·c.
解：(1)a·b＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.
(3)(a·b)·c＝17·c＝17(2,1)＝(34,17).
向量的夹角问题
题点一 求两向量的夹角
1．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于 ( )
A．－ B.
C. D.
解析：选C ∵2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，
∴cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，
故2a＋b与a－b的夹角为.
2．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
则cos θ＝＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，
即m，n的夹角为.
题点二：已知夹角求参数的值或范围
3．已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
解析：选D 由a·b＝2x－21＜0，得x＜，当a与b共线时，＝，则x＝－，故x的取值范围为x＜且x≠－.
4．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，
若c与d的夹角为45°，求实数m的值．
解：根据已知条件可先求出c，d，然后依据向量的数量积公式c·d＝|c||d|cos θ即可求出m.
∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，
∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，
d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，
∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.
又|c|＝1，|d|＝ ，
c与d的夹角为45°，
∴2－3m＝1× cos 45°，
即＝(2－3m)，
等价于解得m＝.
已知两向量夹角求参数的值或范围的方法
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，利用公式cos〈a，b〉＝，建立参数的方程从而求出参数的值．
(2)已知向量的夹角θ的范围，求参数的取值范围．解决的方法是利用性质：①0°≤θ＜90°?a·b＞0；②90°＜θ≤180°?a·b＜0求解．
向量的模的问题
[典例] 设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
(1)求a－2b的坐标和模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
[解] (1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
|a－2b|＝ ＝.
(2)a·b＝3×(－2)＋5×1＝－6＋5＝－1，
所以c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝ ＝.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
[活学活用]
1．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
解析：选B 由??
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．
∴|a＋b|＝，故选B.
2．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为 ( )
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
解析：选C 建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，则有＝1，|c|的最大值为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即＋1.
层级一 学业水平达标
1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是 ( )
A．±2 B．0
C．－2 D．2
解析：选B 由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝ ( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：选D 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
3．已知向量a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a与b夹角的余弦值为 ( )
A. B．－
C．± D.
解析：选B 由a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)得a＝(－3,4)，b＝(5，－12)，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.
4．平行四边形ABCD中，＝(1,0)，＝(2,2)，则·等于 ( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：选A 在平行四边形ABCD中，＝＝－＝(2,2)－(1,0)＝(1,2)，＝－＝(1,2)－(1,0)＝(0,2)，所以·＝(1,2)·(0,2)＝4.
5．已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为，则实数k的值为________．
解析：c＝a＋kb＝(2－k,1－k)，d＝a＋b＝(1,0)，
由cos ＝，得＝，
∴(2－k)2＝(k－1)2，∴k＝.
答案：
6．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
解析：由a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，解得y＝－4，
从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.
答案：
7．向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析：a在b上的投影为＝＝－.
答案：－
8．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，
∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，
∴cos θ＝＝，∴θ＝.
答案：
9．设向量a＝(2,4)，b＝(m，－1)．
(1)若a⊥b，求实数m的值；
(2)若a∥b，求实数m的值；
(3)若|a＋b|＝5，求实数m的值．
解：(1)由a⊥b得a·b＝2m＋4×(－1)＝0，解得m＝2.
(2)由a∥b得4m＝2×(－1)，解得m＝－.
(3)a＋b＝(2＋m,3)，所以|a＋b|＝＝5，解得m＝2或m＝－6.
10．已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．
解：设c＝(x，y)，则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y，
由a·c＝b·c及|c|＝，得
解得或
所以c＝或c＝.
层级二 应试能力达标
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝ ( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得
解得即c＝.
2．△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝1，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R，若·＝－2，则λ＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选A 以点A为坐标原点，为x轴的正方向，为y
轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题意知B(2，0)，C(0,1)，
P(2λ，0)，Q(0,1－λ)，则＝(－2,1－λ)，＝(2λ，－1)，
∵·＝－2，∴－2×2λ＋
(1－λ)×(－1)＝－2，解得λ＝，故选A.
3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为 ( )
A．－ B．0
C．3 D.
解析：选C ∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，
∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，
解得k＝3.
4．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ( )
A．(－∞，－2)∪ B.
C.∪ D.
解析：选A 设i＝(1,0)，j＝(0,1)，求λ的取值范围需满足：a·b＞0，且a，b不共线．由a·b＞0?(1，－2)·(1，λ)＝1－2λ＞0?λ＜.
当a，b共线时，λ＝－2，因此λ∈(－∞，－2)∪.
5．已知a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________.
解析：∵a＝(－1,3)，b＝(1，t)，∴a－2b＝(－3,3－2t)．
∵(a－2b)⊥a，∴(a－2b)·a＝0，即(－3)×(－1)＋3(3－2t)＝0，解得t＝2，∴b＝(1,2)，∴|b|＝＝.
答案：
6．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则· ＝________.
解析：设点C的坐标为(x，y)，∵OC⊥AB于点C，
∴即
解得∴·＝4x＝.
答案：
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．
(1)求·及|＋|；
(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．
解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，
∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵＋＝(－2，－6)，
∴|＋|＝＝2.
(2) ∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，
∴(－t)·＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
8．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，求·的取值范围．
解：记MN的中点为E ，则有＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.又||的最小值等于点C到AB的距离，即，故·的最小值为2－＝4.当点M(或N)与点A(或B)重合时，||达到最大，||的最大值为 ＝，因此·的取值范围是[4,6]．
课件22张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十一)”
(单击进入电子文档)
课时跟踪检测（二十一） 平面向量数量积的坐标表示
层级一 学业水平达标
1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是 ( )
A．±2 B．0
C．－2 D．2
解析：选B 由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝ ( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：选D 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
3．已知向量a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a与b夹角的余弦值为 ( )
A. B．－
C．± D.
解析：选B 由a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)得a＝(－3,4)，b＝(5，－12)，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.
4．平行四边形ABCD中，＝(1,0)，＝(2,2)，则·等于 ( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：选A 在平行四边形ABCD中，＝＝－＝(2,2)－(1,0)＝(1,2)，＝－＝(1,2)－(1,0)＝(0,2)，所以·＝(1,2)·(0,2)＝4.
5．设点A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O为坐标原点．若四边形OABC是平行四边形，则向量与之间的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵四边形OABC是平行四边形，
∴＝，即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)，∴a＝6.
又∵＝(4,2)，＝(2,6)，设，的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，∴与的夹角为.
6．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
解析：由a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，解得y＝－4，
从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.
答案：
7．向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析：a在b上的投影为＝＝－.
答案：－
8．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，
∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，
∴cos θ＝＝，∴θ＝.
答案：
9．设向量a＝(2,4)，b＝(m，－1)．
(1)若a⊥b，求实数m的值；
(2)若a∥b，求实数m的值；
(3)若|a＋b|＝5，求实数m的值．
解：(1)由a⊥b得a·b＝2m＋4×(－1)＝0，解得m＝2.
(2)由a∥b得4m＝2×(－1)，解得m＝－.
(3)a＋b＝(2＋m,3)，所以|a＋b|＝＝5，解得m＝2或m＝－6.
10．已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．
解：设c＝(x，y)，则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y，
由a·c＝b·c及|c|＝，得
解得或
所以c＝或c＝.
层级二 应试能力达标
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝ ( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得
解得即c＝.
2．△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝1，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R，若·＝－2，则λ＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选A 以点A为坐标原点，为x轴的正方向，为y
轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题意知B(2，0)，C(0,1)，
P(2λ，0)，Q(0,1－λ)，则＝(－2,1－λ)，＝(2λ，－1)，
∵·＝－2，∴－2×2λ＋ (1－λ)×(－1)＝－2，解得λ＝，故选A.
3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为 ( )
A．－ B．0
C．3 D.
解析：选C ∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，
∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，
解得k＝3.
4．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪ B.
C.∪ D.
解析：选A 设i＝(1,0)，j＝(0,1)，求λ的取值范围需满足：a·b＞0，且a，b不共线．由a·b＞0?(1，－2)·(1，λ)＝1－2λ＞0?λ＜.
当a，b共线时，λ＝－2，因此λ∈(－∞，－2)∪.
5．已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为，则实数k的值为________．
解析：c＝a＋kb＝(2－k,1－k)，d＝a＋b＝(1,0)，
由cos ＝，得＝，
∴(2－k)2＝(k－1)2，∴k＝.
答案：
6．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则· ＝________.
解析：设点C的坐标为(x，y)，∵OC⊥AB于点C，
∴即
解得∴·＝4x＝.
答案：
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．
(1)求·及|＋|；
(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．
解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，
∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵＋＝(－2，－6)，
∴|＋|＝＝2.
(2) ∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，
∴(－t)·＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
8．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，求·的取值范围．
解：记MN的中点为E ，则有＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.又||的最小值等于点C到AB的距离，即，故·的最小值为2－＝4.当点M(或N)与点A(或B)重合时，||达到最大，||的最大值为 ＝，因此·的取值范围是[4,6]．
