预习课本P101～104，思考并完成以下问题
1．如何计算点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离？
2．直线的法向量的定义是什么？
1．点到直线的距离公式
点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝.
2．直线l：ax＋by＋c＝0的法向量
(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．
(2)若直线l的方向向量v＝(b，－a)，则直线l的法向量n＝(a，b)．
[点睛] (1)与直线垂直的向量都是该直线的法向量，故任意直线的法向量都有无数
多个．
(2)若直线l的方程为y＝kx＋b，则其方向向量与法向量常分别设为(1，k)与(k，－1)．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l的方向向量u＝(1，－2)，则其法向量为(2，－1) ( )
(2)直线的方向向量与法向量互相垂直 ( )
答案：(1)× (2)√
2．直线3x－4y＋7＝0的方向向量a与法向量b可以为 ( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
解析：选C 直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量为(A，B)，一个方向向量为(－B，A)，故可知C正确．
3．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A. B．2
C. D.
解析：选C 由于F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝＝.
4．过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为__________．
解析：设点P(x，y)是所求直线上的任意一点，
则＝(x＋1，y－2)．
∴∥a，∴(x＋1)－3(y－2)＝0.
即x－3y＋7＝0.∴直线方程为x－3y＋7＝0.
答案：x－3y＋7＝0
向量在解析几何中的应用
[典例] 已知A(2,3)，B(4，－5)，P(1,2)，求：
(1)过点P且方向向量为的直线l1的方程；
(2)过点P 且法向量为的直线l2的方程；
(3)过点P且与A，B两点等距离的直线l3的方程．
[解] (1)由题意知＝(2，－8)，故可设直线l1的方程为－8x－2y＋c1＝0.①
∵点P(1,2)在直线l1上，∴－8×1－2×2＋c1＝0，
∴c1＝12.
即c1＝12代入①式并化简，得直线l1的方程为4x＋y－6＝0.
(2)设直线l2的方程为2x－8y＋c2＝0.②
∵直线l2过点P(1,2)，∴2×1－8×2＋c2＝0，
∴c2＝14.
将c2＝14代入②式并化简，得直线l2的方程为x－4y＋7＝0.
(3)设线段AB的中点为M，则点M的坐标为M(3，－1)，＝(2，－3)，又设N(x，y)为直线l3上任一点，则＝(x－1，y－2)．
由∥，得2(y－2)＋3(x－1)＝0，整理，得3x＋2y－7＝0.与AB平行的直线方程同(1)，为4x＋y－6＝0.
故满足条件的直线l3的方程为4x＋y－6＝0,3x＋2y－7＝0.
利用向量解决解析几何问题的方法
(1)利用直线的方向向量和法向量求直线方程；
(2)利用向量共线的条件处理解析几何中有关平行、共线等问题；
(3)利用向量的数量积可以把有关长度、角度、垂直等几何关系转化为数量关系，从而解决问题；
(4)利用平面向量的知识求动点的轨迹方程．
[活学活用]
已知直线l经过点A(1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2,3)，求点B(2,3)到直线l的距离．
解：依题意得＝(1,5)，由距离的向量公式d＝，可得d＝＝＝.
答案：
向量在平面几何中的应用
[典例] 已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：BE⊥CF.
[证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
＝(－1,2)，＝(－2，－1)．
所以·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
所以⊥，即BE⊥CF.
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，证明AP＝AB.
证明：连接AP.建系同例题，设点P坐标为(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(2,1)，
因为∥，所以x＝2(y－1)，
即x＝2y－2，
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
所以点P坐标为.
所以||＝＝2＝||，即AP＝AB.
2．[变条件，变设问]如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
用向量方法解决平面几何问题的步骤
向量在物理中的应用
[典例] 某人在静水中游泳的速度为4 km/h，水的流速为4 km/h.
(1)如果他径直游向河对岸，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？
[解] (1)如图①，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝，根据勾股定理，||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.
(2)如图②，设此人的实际速度为，水流速度为.
∵实际速度＝游速＋水速，故游速为－＝，
在Rt△AOB中，||＝4，||＝4，||＝4.
∴cos∠BAO＝，
故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 km/h.
利用向量解决物理问题的步骤
[活学活用]
已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
解：设物体在力F作用下的位移为s，
则所做的功为W＝F·s.
∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
层级一 学业水平达标
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为 ( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为 ( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：选A 设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则·a＝0，又＝(x－2，y－3)，
∴2(x－2)＋(y－3)＝0，当x＝2，y＝3时也成立，
∴所求的直线方程为2x＋y－7＝0.
3．已知△ABC中，BC边最长，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC的形状为 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C ∵a·b＝|a|·|b|·cos∠ABC＞0，
∴cos∠BAC＞0，∴0°＜∠BAC＜90°，
又∵BC边最长，则∠BAC为△ABC中最大的角，故△ABC为锐角三角形．
4．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为 ( )
A．(9,1) B．(1,9)
C．(9,0) D．(0,9)
解析：选A F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
∵起点坐标为A(1,1)，
∴终点坐标为(9,1)．故选A.
5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则的长为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ∵＝－＝－，
∴＝2＝－·＋，
即＝1.∴||＝2，即AC＝2.
6．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|等于________．
解析：|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.
答案： 2
7．如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，
|F2|＝2，F1与F2的夹角为，则F3的大小为________．
解析：∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态，
∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，
∴|F3|＝|F1＋F2|
＝＝
＝ ＝.
答案：
8．一艘船从点A出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的行驶速度为4 km/h，则河水速度的大小为________km/h.
解析：如图所示，船实际行驶的速度实际上是船速与水速的合成，
由向量加法的几何意义知，|v水|＝ ＝2.
答案： 2
9．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，
求证：AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，
＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.
因为＝＋＝d－c，
所以·＝e·(d－c)＝0，
所以⊥，即AD⊥BC.
10．某人骑车以速度a向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向．
解：设实际风速为v，由题意可知，此人以速度a向正东方向行驶时，感到的风速为v－a，当速度为2a时感到的风速为v－2a.如图所示，设＝－a，＝－2a，＝v，
∵＋＝，∴＝v－a，这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速，
∵＋＝，∴＝v－2a，这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
∴△POB为等腰直角三角形，∴∠APO＝45°，||＝||＝|a|，即|v|＝|a|.
∴实际风速的大小是|a|，为西北风．
层级二 应试能力达标
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为 ( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
解析：选D l的方向向量为v＝(－2，m)，
由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为 ( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
解析：选B |F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，
当θ＝120°时，由平行四边形法则知
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N.
3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生的位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为 ( )
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
解析：选D ∵F1＋F2＝(1,2lg 2)，
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.
4．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次为△ABC的 ( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：选C 由||＝||＝||，
知点O为△ABC的外心．
如图，∵＋＋＝0，
∴＋＝－.
依向量加法的平行四边形法则，
知||＝2||(D为BC的中点)，
同理可得||＝2||，||＝2||，
故点N为△ABC的重心．
∵·＝·，
∴(－)·＝·＝0，∴PB⊥CA，
同理，得PC⊥AB，PA⊥BC，
∴点P为△ABC的垂心．
5．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.
解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，
如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，
|v2|＝|v0|cos 60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
答案：5
6．如图所示，两块斜边长相等的直角三角形板拼在一起．
若＝x＋y，则x＝________，y＝____________.
解析：作DF⊥AB，交AB的延长线于点F.设AB＝AC＝1，则BC＝DE＝.
又∠DEB＝60°，∴BD＝.
由∠DBF＝45°，得DF＝BF＝×＝，
∴＝＋＝＋，
∴x＝1＋，y＝.
答案：1＋
7．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，
则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°
＝50×20×＝500(J)．
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，
所以摩擦力f的大小为
|f|＝|μ(G－F1)|＝0.02×(80－25)＝1.1(N)，
因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°
＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.
8.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解：(1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
∵cos θ＝＝
＝＝＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x＝ ( )
A．2a B．－2a
C.a D．－a
解析：选B 由题意知3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a.
2．若a为任一非零向量，b是模为1的向量，则下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1.
其中正确的是 ( )
A．①④ B．③
C．①②③ D．②③
解析：选B ①中，|a|的大小不能确定，故①错误；②中，两非零向量是否平行取决于方向是否相同或相反，故②错误；③显然正确；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误．故选B.
3．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于 ( )
A．－ B.
C．－或 D．0
解析：选C 由题意知1×2－m2＝0，∴m＝±.
4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝ ( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选B 因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
5．已知D是△ABC所在平面内一点，＝＋，则＝ ( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意，得＝＋＝－＋＋＝(－)＝，所以选B.
6．某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A．90° B．30°
C．45° D．60°
解析：选D 如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
于是tan∠AOC＝＝＝＝，∴∠AOC＝60°，故选D.
7．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影为 ( )
A．1 B.
C．－1 D.
解析：选A 设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影为|a－2b|cos θ.又cos θ＝＝＝，故|a－2b|cos θ＝|a－2b|·＝1.
8．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝ ( )
A．20 B.
C．2 D.
解析：选C 由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，
所以a＋b＝－2e1－4e2，
所以|a＋b|＝
＝＝＝2，故选C.
9．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)使平面内的任一个向量c都可以唯一表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是 ( )
A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)
C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．[－3,3)
解析：选B 由已知，知a与b不共线，即1×(2m－3)≠3m，∴m≠－3.
10. 如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.
设＝a，＝b， ＝xa＋yb，则(x，y)为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b，∴x＝，y＝.
11．在矩形ABCD中，＝，＝，设＝(a,0)，＝(0，b)，当⊥时，求得的值为( )
A．3 B．2
C. D.
解析：选D 如图，∵＝＋＝＋＝＋＝.
＝＋＝－＋
＝(0，－b)＋＝，
又∵⊥，∴－＝0，∴＝.
12．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，点P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则·的取值范围是 ( )
A. B.
C．[－3,5] D．[1－2，1＋2]
解析：选C 建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，
其中a>0，b>0，由已知得a2＋b2＝16，x2＋y2＝1，所以·＝(a－x，
－y)·(－x，b－y)＝x2－ax＋y2－by＝1－(ax＋by)，令ax＋by＝t，
由＝≤1得－4≤t≤4，故·的取值范围是[－3,5]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝.
答案：
14．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋b)·a＝0，
即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
15．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)．
解析：∵＝＝e2，∴＝－e2.
∵＝，＋＝＝－＝e2－e1，
∴＝(e2－e1)，∴＝＋＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.
答案：－e1＋e2
16．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，
·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的射影的数量为－1，求：
(1)a与b的夹角θ；
(2)(a－2b)·b.
解：(1)由题意知，|a|＝2，|b|＝1，|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－|b|＝－1，
∴cos θ＝＝－.
由于θ∈[0，π]，∴θ＝即为所求．
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
18．(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC.
(1)以a，b为基底表示向量 与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)由已知得＝＋＝a＋b.
连接AF，∵＝＋＝a＋b，
∴＝HA―→＋＝－b＋＝a－b.
(2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6，从而·＝·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝×32＋×(－6)－×42＝－.
19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
解：(1)连接OB，设B(xB，yB)，
则xB＝||＋||·cos(π－∠OAB)＝，
yB＝||·sin(π－∠OAB)＝，
∴＝＋＝＋(－1，)＝，
∴B，C.
(2)证明：∵＝，＝，
∴＝3，∴∥.
又易知OA与BC不平行，||＝||＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
20.(本小题满分12分)如图，G是△OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，又P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
解：(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)由(1)及＝x，＝y，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy. ①
∵G是△OAB的重心，
∴＝OM―→＝×(＋)＝＋. ②
由①②得＝，
而，不共线，
∴解得
∴＋＝3，即＋是定值．
21．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标．
解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k ，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
则(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝.
设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)．
∵＝(－7，－2)，∴解得
即点A的坐标为(10,7)．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
解：(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
所以＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2)因为＝(ksin θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin θ＋16.
又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
＝－2k2＋，
当k>4时，1>>0，
所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值；
由＝4，得k＝8，此时θ＝，故＝(4,8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.
课件23张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十二)”
(单击进入电子文档)“阶段质量检测”见“阶段质量检测(二)”
(单击进入电子文档)课时跟踪检测（二十二） 向量应用举例
层级一 学业水平达标
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为 ( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为 ( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：选A 设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则·a＝0，又＝(x－2，y－3)，
∴2(x－2)＋(y－3)＝0，当x＝2，y＝3时也成立，
∴所求的直线方程为2x＋y－7＝0.
3．已知△ABC中，BC边最长，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC的形状为 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C ∵a·b＝|a|·|b|·cos∠ABC＞0，
∴cos∠BAC＞0，∴0°＜∠BAC＜90°，
又∵BC边最长，则∠BAC为△ABC中最大的角，故△ABC为锐角三角形．
4．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为 ( )
A．(9,1) B．(1,9)
C．(9,0) D．(0,9)
解析：选A F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
∵起点坐标为A(1,1)，
∴终点坐标为(9,1)．故选A.
5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则的长为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ∵＝－＝－，
∴＝2＝－·＋，
即＝1.∴||＝2，即AC＝2.
6．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|等于________．
解析：|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.
答案： 2
7．如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，
|F2|＝2，F1与F2的夹角为，则F3的大小为________．
解析：∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态，
∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，
∴|F3|＝|F1＋F2|
＝＝
＝ ＝.
答案：
8．一艘船从点A出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的行驶速度为4 km/h，则河水速度的大小为________km/h.
解析：如图所示，船实际行驶的速度实际上是船速与水速的合成，
由向量加法的几何意义知，|v水|＝ ＝2.
答案： 2
9．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，
求证：AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，
＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.
因为＝＋＝d－c，
所以·＝e·(d－c)＝0，
所以⊥，即AD⊥BC.
10．某人骑车以速度a向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向．
解：设实际风速为v，由题意可知，此人以速度a向正东方向行驶时，感到的风速为v－a，当速度为2a时感到的风速为v－2a.如图所示，设＝－a，＝－2a，＝v，
∵＋＝，∴＝v－a，这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速，
∵＋＝，∴＝v－2a，这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
∴△POB为等腰直角三角形，∴∠APO＝45°，||＝||＝|a|，即|v|＝|a|.
∴实际风速的大小是|a|，为西北风．
层级二 应试能力达标
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为 ( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
解析：选D l的方向向量为v＝(－2，m)，
由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为 ( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
解析：选B |F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，
当θ＝120°时，由平行四边形法则知
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N.
3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生的位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为 ( )
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
解析：选D ∵F1＋F2＝(1,2lg 2)，
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.
4．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次为△ABC的 ( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：选C 由||＝||＝||，
知点O为△ABC的外心．
如图，∵＋＋＝0，
∴＋＝－.
依向量加法的平行四边形法则，
知||＝2||(D为BC的中点)，
同理可得||＝2||，||＝2||，
故点N为△ABC的重心．
∵·＝·，
∴(－)·＝·＝0，∴PB⊥CA，
同理，得PC⊥AB，PA⊥BC，
∴点P为△ABC的垂心．
5．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.
解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，
如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，
|v2|＝|v0|cos 60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
答案：5
6．如图所示，两块斜边长相等的直角三角形板拼在一起．
若＝x＋y，则x＝________，y＝____________.
解析：作DF⊥AB，交AB的延长线于点F.设AB＝AC＝1，则BC＝DE＝.
又∠DEB＝60°，∴BD＝.
由∠DBF＝45°，得DF＝BF＝×＝，
∴＝＋＝＋，
∴x＝1＋，y＝.
答案：1＋
7．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，
则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°
＝50×20×＝500(J)．
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，
所以摩擦力f的大小为
|f|＝|μ(G－F1)|＝0.02×(80－25)＝1.1(N)，
因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°
＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.
8.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解：(1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
∵cos θ＝＝
＝＝＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
