预习课本P113～116，思考并完成以下问题
1．同角三角函数的平方关系是什么？
2．同角三角函数的商数关系是什么？
同角三角函数的基本关系
(1)关系式：
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
②商数关系：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．
(2)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于α的正切．
[点睛]
(1)同角三角函数的基本关系中的角都是“同一个角”，sin2α＋cos2β＝1不一定成立．“同角”与角的表示形式无关．如sin2＋cos2＝1成立，这里的同角是指.
(2)注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的．如sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠kπ＋(k∈Z)成立．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当α∈R时，tan α＝成立 ( )
(2)若α＋β＝90°，则sin2α＋sin2β＝1( )
答案：(1)× (2)√
2．若α是第四象限角，且cos α＝，则sin α＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵α为第四象限角，
∴sin α＝－＝－，选B.
3．已知α∈，sin α＝，则cos α＝ ( )
A. B．－
C．－ D.
答案：A
4．若θ为第三象限角，则1＋sin θ＋cos θ＝________.
解析：∵θ为第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，
∴1＋sin θ＋cos θ
＝1－sin2θ－cos2θ＝0.
答案：0
已知α的某个三角函数值求其余三角函数值
[典例] (1)若cos α＝－，且α是第三象限角，求sin α，tan α；
(2)已知sin α＝，求cos α和tan α.
[解] (1)∵cos α＝－，且α是第三象限角，
∴sin α＝－ ＝－ ＝－，
tan α＝＝－×＝.
(2)∵sin α＝＞0，
∴α是第一或第二象限角，
当α是第一象限角时，cos α＝＝ ＝，∴tan α＝＝＝.
当α是第二象限角时，cos α＝－＝－＝－，∴tan α＝＝＝－.
已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值的注意点
(1)用平方关系求值时，所求三角函数值的符号由角所属的象限决定，当条件中未给出角的象限时，要分类讨论；
(2)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tan α＝代入sin α，cos α的值即可求得tan α.
[活学活用]
已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为 ( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B 原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.
条件求值
题点一：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的值
1．已知tan x＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)cos2x－sin xcos x.
解：(1)因为tan x＝，
所以原式＝＝＝－.
(2)因为tan x＝，所以原式＝＝＝＝.
题点二 关于sin α±cos α，sin αcos α的“知一求二”问题
2．已知0＜θ＜π，且sin θ＋cos θ＝，
求(1)sin θcos θ.
(2)sin θ－cos θ的值．
解：(1)∵sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝，
解得sin θcos θ＝－.
(2)∵0＜θ＜π，且sin θcos θ＜0，
∴sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＞0.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝.
(1)已知tan α的值，求关于sin α，cos α的分式值的问题，有以下两种情况
①若分子、分母中sin α，cos α的次数相同(称为齐次式)，由cos α≠0，令分子、分母同除以cosnα(n∈N*)，将待求式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α的值求解．
②若待求式形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α，注意可将分母“1”化为sin2α＋cos2α，通过进一步转化，变为关于tan α的表达式，然后求值．
(2)关于sin α±cos α，sin αcos α知一求二问题
①sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
②求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．
三角函数式的化简
[典例] 化简tan α，其中α是第二象限角．
[解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α＝tan α
＝tan α＝·
＝·
＝－1.
三角函数式化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
化简：(1)；
(2) ，θ是第二象限角．
解：(1)＝＝＝cos θ.
(2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，
故＝＝＝
|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.
三角恒等式的证明
[典例] 证明：＝.
[证明] 左边＝＝
＝＝＝＝右边，故原等式成立．
简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左、右两边等于同一个式子；
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
[活学活用]
已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明：由tan2α＝2tan2β＋1，可得tan2β＝(tan2α－1)，即＝，
故＝＝×，
整理得＝，
即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)·，
展开得sin2β＝sin2α＋sin2β－，即sin2β＝2sin2α－1.
1．下列结论中成立的是( )
A．sin α＝且cos α＝
B．tan α＝2且＝
C．tan α＝1且cos α＝±
D．sin α＝1且tan α·cos α＝1
解析：选C A中，sin2α＋cos2α＝≠1，故不成立；B中，＝，即tan α＝3，与tan α＝2矛盾，故不成立；D中，sin α＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tan α无意义，故不成立．
2．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是 ( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵α∈，∴sin α＜0.由tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－.
3．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C 原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
4．若cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B cos(－80°)＝cos 80°＝k，sin 80°＝，tan 80°＝，tan 100°＝－tan 80°＝－.
5．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A 的值为 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 因为sin Acos A＝＞0，所以内角A为锐角，所以sin A＋cos A＝＝＝.
6．若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cos θ＝－＝－＝－.
答案：－
7．化简：＝________________.
解析：原式＝＝
＝|cos 20°－sin 20°|＝cos 20°－sin 20°.
答案：cos 20°－sin 20°
8．若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为________．
解析：∵sin α＋cos α＝，∴1＋2sin αcos α＝2，
即sin αcos α＝，
∴tan α＋＝＋＝＝2.
答案：2
9．化简：tan α(cos α－sin α)＋·(sin α＋tan α)．
解：原式＝(cos α－sin α)＋
＝sin α－＋
＝sin α－＋＝sin α.
10．已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
解：(1)＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝，
这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．
因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，
则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝＝1.
层级二 应试能力达标
1．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
2．已知＝2，则sin θcos θ的值是 ( )
A. B．±
C. D．－
解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，
即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，
∴sin θcos θ＝＝＝＝.
3．若 ＝，则x的取值范围是 ( )
A．2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z
B．2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z
C．2kπ＋＜x＜(2k＋1)π，k∈Z
D．(2k＋1)π＜x＜2kπ＋，k∈Z
解析：选B ＝ ＝，
又 ＝
故＝－，从而有cos x＜0，故选B.
4．已知sin α，cos α是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根，且α∈R，则sin3α＋cos3α＝ ( )
A．－1－ B．－1＋
C．－2＋ D．2－
解析：选C ∵sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝a2－2a＝1，∴a＝1－或a＝1＋，∴sin3α＋cos3α＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)＝a(1－a)＝－2＋(舍去－2－)．
5．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
解析：∵角α的终边落在直线y＝－x上，
∴角α的终边可能在第二或第四象限，
则＋＝＋
＝
答案：0
6．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________.
解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sin αcos α＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sin αcos α＋4cos2α＝0，即(sin α－2cos α)2＝0，则sin α＝2cos α，故tan α＝2.
答案：2
7．已知sin θ＋cos θ＝－，
(1)求＋的值；
(2)求tan θ的值．
解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－，
所以1＋2sin θcos θ＝，sin θcos θ＝－，
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－.
8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈.
(1)求＋的值；
(2)求实数m的值．
解：(1)由题意，得
所以＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝，
将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝，由(1)，知＝，所以m＝.
课件22张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十三)”
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课时跟踪检测（二十三） 同角三角函数的基本关系
层级一 学业水平达标
1．下列结论中成立的是( )
A．sin α＝且cos α＝
B．tan α＝2且＝
C．tan α＝1且cos α＝±
D．sin α＝1且tan α·cos α＝1
解析：选C A中，sin2α＋cos2α＝≠1，故不成立；B中，＝，即tan α＝3，与tan α＝2矛盾，故不成立；D中，sin α＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tan α无意义，故不成立．
2．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是 ( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵α∈，∴sin α＜0.由tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－.
3．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C 原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
4．若cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B cos(－80°)＝cos 80°＝k，sin 80°＝，tan 80°＝，tan 100°＝－tan 80°＝－.
5．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A 的值为 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 因为sin Acos A＝＞0，所以内角A为锐角，所以sin A＋cos A＝＝＝.
6．若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cos θ＝－＝－＝－.
答案：－
7．化简：＝________________.
解析：原式＝＝
＝|cos 20°－sin 20°|＝cos 20°－sin 20°.
答案：cos 20°－sin 20°
8．若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为________．
解析：∵sin α＋cos α＝，∴1＋2sin αcos α＝2，
即sin αcos α＝，
∴tan α＋＝＋＝＝2.
答案：2
9．化简：tan α(cos α－sin α)＋·(sin α＋tan α)．
解：原式＝(cos α－sin α)＋
＝sin α－＋
＝sin α－＋＝sin α.
10．已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
解：(1)＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝，
这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．
因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，
则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝＝1.
层级二 应试能力达标
1．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
2．已知＝2，则sin θcos θ的值是 ( )
A. B．±
C. D．－
解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，
即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，
∴sin θcos θ＝＝＝＝.
3．若 ＝，则x的取值范围是 ( )
A．2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z
B．2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z
C．2kπ＋＜x＜(2k＋1)π，k∈Z
D．(2k＋1)π＜x＜2kπ＋，k∈Z
解析：选B ＝ ＝，
又 ＝
故＝－，从而有cos x＜0，故选B.
4．已知sin α，cos α是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根，且α∈R，则sin3α＋cos3α＝ ( )
A．－1－ B．－1＋
C．－2＋ D．2－
解析：选C ∵sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝a2－2a＝1，∴a＝1－或a＝1＋，∴sin3α＋cos3α＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)＝a(1－a)＝－2＋(舍去－2－)．
5．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
解析：∵角α的终边落在直线y＝－x上，
∴角α的终边可能在第二或第四象限，
则＋＝＋
＝
答案：0
6．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________.
解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sin αcos α＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sin αcos α＋4cos2α＝0，即(sin α－2cos α)2＝0，则sin α＝2cos α，故tan α＝2.
答案：2
7．已知sin θ＋cos θ＝－，
(1)求＋的值；
(2)求tan θ的值．
解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－，
所以1＋2sin θcos θ＝，sin θcos θ＝－，
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－.
8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈.
(1)求＋的值；
(2)求实数m的值．
解：(1)由题意，得
所以＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝，
将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝，由(1)，知＝，所以m＝.
