2．1&2.2 两角差的余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数
预习课本P118～120，思考并完成以下问题
1．两角和与差的余弦公式是什么？
2．两角和与差的正弦公式是什么？
两角和与差的正弦、余弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角差的余弦
cos(α－β)＝
cos_αcos_β＋sin_αsin_β
(Cα－β)
α，β∈R
两角和的余弦
cos(α＋β)＝
cos_αcos_β－sin_αsin_β
(Cα＋β)
α，β∈R
两角差的正弦
sin(α－β)＝
sin_αcos_β－cos_αsin_β
(Sα－β)
α，β∈R
两角和的正弦
sin(α＋β)＝
sin_αcos_β＋cos_αsin_β
(Sα＋β)
α，β∈R
[点睛]
(1)Cα±β和Sα±β公式中角α，β是任意的，当α，β中有一个是的整数倍时，利用诱导公式较为简捷．
(2)一般情况下，sin(α±β)≠sin α±sin β.
(3)两角和与差的余弦公式可以简记为“余余正正，符号相反”；
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不论α，β为何值sin(α＋β)≠sin α＋sin β ( )
(2)存在α，β 的值cos(α＋β)＝cos α－cos β ( )
答案：(1)× (2)√
2．cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β化简为 ( )
A．sin(2α＋β) B．cos(α－2β)
C．cos α D．cos β
解析：选C 原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.
3．cos 165°的值是 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°)
＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝－×－×＝.
4．化简：＝________.
解析：∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)
＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°＋cos αcos 60°－sin αsin 60°
＝sin α＋cos α＋cos α－sin α＝cos α，
∴原式＝＝.
答案：
给角求值
[典例] 求值．
(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
(2)(tan 10°－)·.
[解] (1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.
(2)(tan 10°－)＝(tan 10°－tan 60°)
＝＝·
＝－＝－2.
解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．
[活学活用]
求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·.
解：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·
＝·
＝·
＝·cos 10°
＝2(sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos 50°)＝2sin 60°
＝.
给值求值(角)
题点一：直接利用公式展开求值
1．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值．
解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，
又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，
∴sin φ＝－，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝.
题点二 变角求值
2．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
解：∵α，β∈，sin(α＋β)＝－，
sin＝，∴＜α＋β＜2π，＜β－＜.
∴cos(α＋β)＝，cos＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
题点三 给值求角
3．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.
解：∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)，
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，
∵β∈，sin β＝－，∴cos β＝，
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝，
又∵α∈，∴α＝.
(1)给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．
(2)常见的变角技巧：
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．
(3)给值求角时要注意角的范围的判断．
含有式子asin x±bcos x的问题
[典例] 把函数y＝(cos 3x－sin 3x)的图象适当变化就可以得到函数y＝－sin 3x的图象，这个变化可以是( )
A．沿x轴方向向右平移个单位长度
B．沿x轴方向向左平移个单位长度
C．沿x轴方向向右平移个单位长度
D．沿x轴方向向左平移个单位长度
[解析] 因为y＝(cos 3x－sin 3x)
＝－
＝－sin
＝－sin 3，
所以为得到函数y＝－sin 3x的图象可以将函数y＝(cos 3x－sin 3x)的图象向左平移个单位长度．
[答案] D
形如f(x)＝asin x±bcos x的式子可化为f(x)＝sin(x＋φ)或f(x)＝ cos(x＋φ)的形式，再利用三角函数的性质求解．
[活学活用]
已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为 ( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选C f(x)＝ sin ωx＋cos ωx
＝2
＝2sin.
令f(x)＝1，得sin＝，
∴ωx1＋＝＋2kπ或ωx2＋＝＋2kπ.
∵|x1－x2|min＝，∴ω(x2－x1)＝，∴ω＝2，
∴T＝＝π.
层级一 学业水平达标
1．已知α∈，cos α＝，则cos＝( )
A.－ B．1－
C．－＋ D．－1＋
解析：选A ∵α∈，cos α＝，∴sin α＝，
∴cos＝cos αcos－sin αsin＝×－×＝－.
2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是 ( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：选B ∵cos αcos β＝－sin αsin β，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝，
经验证可知选项B正确．
3．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．三者都有可能
解析：选C ∵sin Asin B＜cos Acos B，
∴cos Acos B－sin Asin B＞0，
∴cos(A＋B)＞0，
∴A＋B＜90°，
∴C＞90°，∴△ABC是钝角三角形．
4．已知cos x－sin x＝－，则sin＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D cos x－sin x＝2
＝2sin＝－，故sin＝－.
5．已知0<α<<β<π，又sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β等于( )
A．0 B．0或
C. D．±
解析：选C 由0<α<<β<π得，<α＋β<，
又sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
6．sin 15°＋cos 165°的值是________．
解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45°
＝×－×－×－×＝－.
答案：－
7．设a＝2cos 66°，b＝cos 5°－sin 5°，c＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：∵b＝2cos 65°，c＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°，∴b＞a＞c.
答案：b＞a＞c
8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β， ①
－cos γ＝cos α＋cos β， ②
①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，
化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－，
即cos(α－β)＝－.
答案：－
9．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.
10．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)．
解：∵＜α＜，0＜β＜，
∴＜＋α＜π，＜＋β＜π，
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin
＝－
＝－＝.
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D ∵A＝，∴cos A＝sin A＝，
又cos B＝，0＜B＜π，∴sin B＝，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为 ( )
A．－ B.
C．－7 D．7
解析：选C 由sin(α＋β)＝得
sin αcos β＋cos αsin β＝，①
由sin(α－β)＝得
sin αcos β－cos αsin β＝，②
由①②得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，
以上两式相除得＝－7.
3．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴C＝π－(A＋B)．
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴2cos Bsin A＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0.
∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
4．若cos αcos β＝－sin αsin β，且α∈，β∈，则α－β的值是 ( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 由题意知cos(α－β)＝，
又0<α<，－π<－β<－，
所以－π<α－β<0，故α－β＝－.
5．已知cos ＝－，则cos x＋cos＝________.
解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x＝
＝cos＝－1.
答案：－1
6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β＝________.
解析：由条件知：
①＋②得2cos αcos β＝0，∴ cos αcos β＝0.
答案：0
7．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．
解：∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．
∴|a－b|＝
＝
＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
8．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<.
所以sin α＝ ＝，
cos(α－β)＝ ＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
课件22张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十四)”
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课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数
层级一 学业水平达标
1．已知α∈，cos α＝，则cos＝( )
A.－ B．1－
C．－＋ D．－1＋
解析：选A ∵α∈，cos α＝，∴sin α＝，
∴cos＝cos αcos－sin αsin＝×－×＝－.
2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是 ( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：选B ∵cos αcos β＝－sin αsin β，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝，
经验证可知选项B正确．
3．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．三者都有可能
解析：选C ∵sin Asin B＜cos Acos B，
∴cos Acos B－sin Asin B＞0，
∴cos(A＋B)＞0，
∴A＋B＜90°，
∴C＞90°，∴△ABC是钝角三角形．
4．已知cos x－sin x＝－，则sin＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D cos x－sin x＝2
＝2sin＝－，故sin＝－.
5．已知0<α<<β<π，又sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β等于( )
A．0 B．0或
C. D．±
解析：选C 由0<α<<β<π得，<α＋β<，
又sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
6．sin 15°＋cos 165°的值是________．
解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45°
＝×－×－×－×＝－.
答案：－
7．设a＝2cos 66°，b＝cos 5°－sin 5°，c＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：∵b＝2cos 65°，c＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°，∴b＞a＞c.
答案：b＞a＞c
8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β， ①
－cos γ＝cos α＋cos β， ②
①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，
化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－，
即cos(α－β)＝－.
答案：－
9．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.
10．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)．
解：∵＜α＜，0＜β＜，
∴＜＋α＜π，＜＋β＜π，
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin
＝－
＝－＝.
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D ∵A＝，∴cos A＝sin A＝，
又cos B＝，0＜B＜π，∴sin B＝，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为 ( )
A．－ B.
C．－7 D．7
解析：选C 由sin(α＋β)＝得
sin αcos β＋cos αsin β＝，①
由sin(α－β)＝得
sin αcos β－cos αsin β＝，②
由①②得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，
以上两式相除得＝－7.
3．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴C＝π－(A＋B)．
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴2cos Bsin A＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0.
∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
4．若cos αcos β＝－sin αsin β，且α∈，β∈，则α－β的值是 ( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 由题意知cos(α－β)＝，
又0<α<，－π<－β<－，
所以－π<α－β<0，故α－β＝－.
5．已知cos ＝－，则cos x＋cos＝________.
解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x＝
＝cos＝－1.
答案：－1
6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β＝________.
解析：由条件知：
①＋②得2cos αcos β＝0，∴ cos αcos β＝0.
答案：0
7．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．
解：∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．
∴|a－b|＝
＝
＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
8．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<.
所以sin α＝ ＝，
cos(α－β)＝ ＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
