预习课本P113～116，思考并完成以下问题
1．同角三角函数的平方关系是什么？
2．同角三角函数的商数关系是什么？
同角三角函数的基本关系
(1)关系式：
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
②商数关系：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．
(2)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于α的正切．
[点睛]
(1)同角三角函数的基本关系中的角都是“同一个角”，sin2α＋cos2β＝1不一定成立．“同角”与角的表示形式无关．如sin2＋cos2＝1成立，这里的同角是指.
(2)注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的．如sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠kπ＋(k∈Z)成立．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当α∈R时，tan α＝成立 ( )
(2)若α＋β＝90°，则sin2α＋sin2β＝1( )
答案：(1)× (2)√
2．若α是第四象限角，且cos α＝，则sin α＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵α为第四象限角，
∴sin α＝－＝－，选B.
3．已知α∈，sin α＝，则cos α＝ ( )
A. B．－
C．－ D.
答案：A
4．若θ为第三象限角，则1＋sin θ＋cos θ＝________.
解析：∵θ为第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，
∴1＋sin θ＋cos θ
＝1－sin2θ－cos2θ＝0.
答案：0
已知α的某个三角函数值求其余三角函数值
[典例] (1)若cos α＝－，且α是第三象限角，求sin α，tan α；
(2)已知sin α＝，求cos α和tan α.
[解] (1)∵cos α＝－，且α是第三象限角，
∴sin α＝－ ＝－ ＝－，
tan α＝＝－×＝.
(2)∵sin α＝＞0，
∴α是第一或第二象限角，
当α是第一象限角时，cos α＝＝ ＝，∴tan α＝＝＝.
当α是第二象限角时，cos α＝－＝－＝－，∴tan α＝＝＝－.
已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值的注意点
(1)用平方关系求值时，所求三角函数值的符号由角所属的象限决定，当条件中未给出角的象限时，要分类讨论；
(2)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tan α＝代入sin α，cos α的值即可求得tan α.
[活学活用]
已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为 ( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B 原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.
条件求值
题点一：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的值
1．已知tan x＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)cos2x－sin xcos x.
解：(1)因为tan x＝，
所以原式＝＝＝－.
(2)因为tan x＝，所以原式＝＝＝＝.
题点二 关于sin α±cos α，sin αcos α的“知一求二”问题
2．已知0＜θ＜π，且sin θ＋cos θ＝，
求(1)sin θcos θ.
(2)sin θ－cos θ的值．
解：(1)∵sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝，
解得sin θcos θ＝－.
(2)∵0＜θ＜π，且sin θcos θ＜0，
∴sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＞0.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝.
(1)已知tan α的值，求关于sin α，cos α的分式值的问题，有以下两种情况
①若分子、分母中sin α，cos α的次数相同(称为齐次式)，由cos α≠0，令分子、分母同除以cosnα(n∈N*)，将待求式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α的值求解．
②若待求式形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α，注意可将分母“1”化为sin2α＋cos2α，通过进一步转化，变为关于tan α的表达式，然后求值．
(2)关于sin α±cos α，sin αcos α知一求二问题
①sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
②求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．
三角函数式的化简
[典例] 化简tan α，其中α是第二象限角．
[解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α＝tan α
＝tan α＝·
＝·
＝－1.
三角函数式化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
化简：(1)；
(2) ，θ是第二象限角．
解：(1)＝＝＝cos θ.
(2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，
故＝＝＝
|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.
三角恒等式的证明
[典例] 证明：＝.
[证明] 左边＝＝
＝＝＝＝右边，故原等式成立．
简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左、右两边等于同一个式子；
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
[活学活用]
已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明：由tan2α＝2tan2β＋1，可得tan2β＝(tan2α－1)，即＝，
故＝＝×，
整理得＝，
即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)·，
展开得sin2β＝sin2α＋sin2β－，即sin2β＝2sin2α－1.
1．下列结论中成立的是( )
A．sin α＝且cos α＝
B．tan α＝2且＝
C．tan α＝1且cos α＝±
D．sin α＝1且tan α·cos α＝1
解析：选C A中，sin2α＋cos2α＝≠1，故不成立；B中，＝，即tan α＝3，与tan α＝2矛盾，故不成立；D中，sin α＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tan α无意义，故不成立．
2．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是 ( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵α∈，∴sin α＜0.由tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－.
3．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C 原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
4．若cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B cos(－80°)＝cos 80°＝k，sin 80°＝，tan 80°＝，tan 100°＝－tan 80°＝－.
5．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A 的值为 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 因为sin Acos A＝＞0，所以内角A为锐角，所以sin A＋cos A＝＝＝.
6．若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cos θ＝－＝－＝－.
答案：－
7．化简：＝________________.
解析：原式＝＝
＝|cos 20°－sin 20°|＝cos 20°－sin 20°.
答案：cos 20°－sin 20°
8．若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为________．
解析：∵sin α＋cos α＝，∴1＋2sin αcos α＝2，
即sin αcos α＝，
∴tan α＋＝＋＝＝2.
答案：2
9．化简：tan α(cos α－sin α)＋·(sin α＋tan α)．
解：原式＝(cos α－sin α)＋
＝sin α－＋
＝sin α－＋＝sin α.
10．已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
解：(1)＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝，
这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．
因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，
则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝＝1.
层级二 应试能力达标
1．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
2．已知＝2，则sin θcos θ的值是 ( )
A. B．±
C. D．－
解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，
即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，
∴sin θcos θ＝＝＝＝.
3．若 ＝，则x的取值范围是 ( )
A．2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z
B．2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z
C．2kπ＋＜x＜(2k＋1)π，k∈Z
D．(2k＋1)π＜x＜2kπ＋，k∈Z
解析：选B ＝ ＝，
又 ＝
故＝－，从而有cos x＜0，故选B.
4．已知sin α，cos α是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根，且α∈R，则sin3α＋cos3α＝ ( )
A．－1－ B．－1＋
C．－2＋ D．2－
解析：选C ∵sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝a2－2a＝1，∴a＝1－或a＝1＋，∴sin3α＋cos3α＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)＝a(1－a)＝－2＋(舍去－2－)．
5．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
解析：∵角α的终边落在直线y＝－x上，
∴角α的终边可能在第二或第四象限，
则＋＝＋
＝
答案：0
6．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________.
解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sin αcos α＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sin αcos α＋4cos2α＝0，即(sin α－2cos α)2＝0，则sin α＝2cos α，故tan α＝2.
答案：2
7．已知sin θ＋cos θ＝－，
(1)求＋的值；
(2)求tan θ的值．
解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－，
所以1＋2sin θcos θ＝，sin θcos θ＝－，
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－.
8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈.
(1)求＋的值；
(2)求实数m的值．
解：(1)由题意，得
所以＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝，
将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝，由(1)，知＝，所以m＝.
2．1&2.2 两角差的余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数
预习课本P118～120，思考并完成以下问题
1．两角和与差的余弦公式是什么？
2．两角和与差的正弦公式是什么？
两角和与差的正弦、余弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角差的余弦
cos(α－β)＝
cos_αcos_β＋sin_αsin_β
(Cα－β)
α，β∈R
两角和的余弦
cos(α＋β)＝
cos_αcos_β－sin_αsin_β
(Cα＋β)
α，β∈R
两角差的正弦
sin(α－β)＝
sin_αcos_β－cos_αsin_β
(Sα－β)
α，β∈R
两角和的正弦
sin(α＋β)＝
sin_αcos_β＋cos_αsin_β
(Sα＋β)
α，β∈R
[点睛]
(1)Cα±β和Sα±β公式中角α，β是任意的，当α，β中有一个是的整数倍时，利用诱导公式较为简捷．
(2)一般情况下，sin(α±β)≠sin α±sin β.
(3)两角和与差的余弦公式可以简记为“余余正正，符号相反”；
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不论α，β为何值sin(α＋β)≠sin α＋sin β ( )
(2)存在α，β 的值cos(α＋β)＝cos α－cos β ( )
答案：(1)× (2)√
2．cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β化简为 ( )
A．sin(2α＋β) B．cos(α－2β)
C．cos α D．cos β
解析：选C 原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.
3．cos 165°的值是 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°)
＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝－×－×＝.
4．化简：＝________.
解析：∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)
＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°＋cos αcos 60°－sin αsin 60°
＝sin α＋cos α＋cos α－sin α＝cos α，
∴原式＝＝.
答案：
给角求值
[典例] 求值．
(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
(2)(tan 10°－)·.
[解] (1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.
(2)(tan 10°－)＝(tan 10°－tan 60°)
＝＝·
＝－＝－2.
解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．
[活学活用]
求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·.
解：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·
＝·
＝·
＝·cos 10°
＝2(sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos 50°)＝2sin 60°
＝.
给值求值(角)
题点一：直接利用公式展开求值
1．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值．
解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，
又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，
∴sin φ＝－，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝.
题点二 变角求值
2．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
解：∵α，β∈，sin(α＋β)＝－，
sin＝，∴＜α＋β＜2π，＜β－＜.
∴cos(α＋β)＝，cos＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
题点三 给值求角
3．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.
解：∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)，
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，
∵β∈，sin β＝－，∴cos β＝，
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝，
又∵α∈，∴α＝.
(1)给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．
(2)常见的变角技巧：
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．
(3)给值求角时要注意角的范围的判断．
含有式子asin x±bcos x的问题
[典例] 把函数y＝(cos 3x－sin 3x)的图象适当变化就可以得到函数y＝－sin 3x的图象，这个变化可以是( )
A．沿x轴方向向右平移个单位长度
B．沿x轴方向向左平移个单位长度
C．沿x轴方向向右平移个单位长度
D．沿x轴方向向左平移个单位长度
[解析] 因为y＝(cos 3x－sin 3x)
＝－
＝－sin
＝－sin 3，
所以为得到函数y＝－sin 3x的图象可以将函数y＝(cos 3x－sin 3x)的图象向左平移个单位长度．
[答案] D
形如f(x)＝asin x±bcos x的式子可化为f(x)＝sin(x＋φ)或f(x)＝ cos(x＋φ)的形式，再利用三角函数的性质求解．
[活学活用]
已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为 ( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选C f(x)＝ sin ωx＋cos ωx
＝2
＝2sin.
令f(x)＝1，得sin＝，
∴ωx1＋＝＋2kπ或ωx2＋＝＋2kπ.
∵|x1－x2|min＝，∴ω(x2－x1)＝，∴ω＝2，
∴T＝＝π.
层级一 学业水平达标
1．已知α∈，cos α＝，则cos＝( )
A.－ B．1－
C．－＋ D．－1＋
解析：选A ∵α∈，cos α＝，∴sin α＝，
∴cos＝cos αcos－sin αsin＝×－×＝－.
2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是 ( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：选B ∵cos αcos β＝－sin αsin β，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝，
经验证可知选项B正确．
3．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．三者都有可能
解析：选C ∵sin Asin B＜cos Acos B，
∴cos Acos B－sin Asin B＞0，
∴cos(A＋B)＞0，
∴A＋B＜90°，
∴C＞90°，∴△ABC是钝角三角形．
4．已知cos x－sin x＝－，则sin＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D cos x－sin x＝2
＝2sin＝－，故sin＝－.
5．已知0<α<<β<π，又sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β等于( )
A．0 B．0或
C. D．±
解析：选C 由0<α<<β<π得，<α＋β<，
又sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
6．sin 15°＋cos 165°的值是________．
解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45°
＝×－×－×－×＝－.
答案：－
7．设a＝2cos 66°，b＝cos 5°－sin 5°，c＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：∵b＝2cos 65°，c＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°，∴b＞a＞c.
答案：b＞a＞c
8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β， ①
－cos γ＝cos α＋cos β， ②
①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，
化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－，
即cos(α－β)＝－.
答案：－
9．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.
10．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)．
解：∵＜α＜，0＜β＜，
∴＜＋α＜π，＜＋β＜π，
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin
＝－
＝－＝.
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D ∵A＝，∴cos A＝sin A＝，
又cos B＝，0＜B＜π，∴sin B＝，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为 ( )
A．－ B.
C．－7 D．7
解析：选C 由sin(α＋β)＝得
sin αcos β＋cos αsin β＝，①
由sin(α－β)＝得
sin αcos β－cos αsin β＝，②
由①②得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，
以上两式相除得＝－7.
3．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴C＝π－(A＋B)．
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴2cos Bsin A＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0.
∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
4．若cos αcos β＝－sin αsin β，且α∈，β∈，则α－β的值是 ( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 由题意知cos(α－β)＝，
又0<α<，－π<－β<－，
所以－π<α－β<0，故α－β＝－.
5．已知cos ＝－，则cos x＋cos＝________.
解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x＝
＝cos＝－1.
答案：－1
6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β＝________.
解析：由条件知：
①＋②得2cos αcos β＝0，∴ cos αcos β＝0.
答案：0
7．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．
解：∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．
∴|a－b|＝
＝
＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
8．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<.
所以sin α＝ ＝，
cos(α－β)＝ ＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
2．3 两角和与差的正切函数
预习课本P121～122，思考并完成以下问题
1．两角和与差的正切公式是什么？
2．和与差正切公式中α，β，α＋β，α－β满足条件是什么？
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
(Tα＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β)＝
(Tα－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[点睛]
(1)公式Tα±β中tan α，tan β，tan(α±β)必须都有意义，因此α，β，α±β均不能为kπ＋，k∈Z.
(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立( )
答案：(1)√ (2)×
2．若tan α＝3，tan β＝，则等于 ( )
A．－3 B．－
C．3 D.
解析：选C ＝＝＝3.
3．tan(－165°)的值为( )
A．2＋ B．－2－
C．2－ D.－2
解析：选C tan(－165°)＝－tan 165°＝－tan(45°＋120°)
＝－＝－＝2－.
4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于________．
解析：∵tan(α＋β)
＝＝＝4，
∴tan αtan β＝.
答案：
化简求值问题
[典例] (1)若α＋β＝，tan α＋(tan αtan β＋c)＝0(c为常数)，则tan β＝________；
(2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°的值是________．
[解析] (1)∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan α＋tan αtan β＋c＝－tan β＋c＝0，
∴tan β＝(c＋1)．
(2)∵tan 60°＝ ＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
[答案] (1)(c＋1) (2)
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
[活学活用]
的值应是( )
A．－1 B．1
C. D．－
解析：选D ∵tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°
＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°，
∴原式＝
＝－.
给值求值(角)
题点一 变角求值
1．已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan 的值．
解：由题意，得cos＝－，
sin＝－，
∴tan＝－，tan＝，
∴tan ＝tan
＝
＝＝－.
题点二 给值求角
2．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝，
而α∈(0，π)，∴α∈.
∵tan β＝－，β∈(0，π)，∴β∈，
∴－π<α－β<0.
而tan(α－β)＝>0，∴－π<α－β<－，
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，
∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝＝1.
∴2α－β＝－.
给值求值(角)问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
[注意] 求角时要注意角的范围判断．
层级一 学业水平达标
1．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝ ( )
A.m B.(1－m)
C.(m－1) D.(m＋1)
解析：选B tan 28°＋tan 32°＝tan(28°＋32°)·(1－tan 28°tan 32°)＝(1－m)．
2．已知＝2＋，则tan等于 ( )
A．2＋ B．1
C．2－ D.
解析：选C tan＝＝＝2－.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵tan(α＋β)＝，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝.
4．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为 ( )
A．1 B．2
C．1＋ D．1＋
解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
5．化简：＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C 原式＝＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
答案：3
7．tan＋tan＋tan·tan的值为________．
解析：tan＋tan＋tan·tan
＝tan＋tantan
＝＋tan·tan
＝.
答案：
8．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
解析：tan β＝＝＝tan，
∵－α，β∈且y＝tan x在上是单调函数，∴β＝－α，∴α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝tan＝1.
答案：1
9．已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．
解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，
∴sin θ＝.又θ是第二象限角，
∴cos θ＝－ ＝－，
∴tan θ＝＝－.又tan φ＝，
∴tan(θ－φ)＝＝＝－2.
10．已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0＜α＜，π＜β＜，求tan(α＋β)及α＋β的值．
解：∵tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0＜α＜，π＜β＜，
∴π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝.
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，若tan Atan B＞1，则△ABC的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
解析：选A 由tan Atan B＞1，知tan A＞0，tan B＞0，从而A，B均为锐角．
又tan(A＋B)＝＜0，即tan C＝－tan(A＋B)＞0，∴C为锐角，故△ABC为锐角三角形．
2．已知tan α＝，则的值是 ( )
A．2 B.
C．－1 D．－3
解析：选B 法一：因为tan α＝，所以tan＝＝＝3，
所以＝＝.故选B.
法二：＝
＝tan
＝tan α＝.故选B.
3．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为 ( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：选C 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.
4．已知tan θ和tan是方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q间的关系是 ( )
A．p＋q＋1＝0 B．p－q－1＝0
C．p＋q－1＝0 D．p－q＋1＝0
解析：选D 由题意得tan θ＋tan＝－p，
tan θtan＝q，而tan＝tan＝，从而1－q＝－p，即p－q＋1＝0.
5．已知点P落在角θ的终边上，则tan的值为________．
解析：依题意，tan θ＝＝－1.
∴tan＝＝＝2－.
答案：2－
6．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________.
解析：由已知得：
sin θcos 24°＋cos θsin 24°＝cos 24°cos θ＋sin θsin 24°
?(sin θ－cos θ)(cos 24°－sin 24°)＝0
?sin θ＝cos θ?tan θ＝1，
∴tan(θ＋60°)＝＝－2－.
答案：－2－
7．已知cos α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan β及tan(2α－β)．
解：∵cos α＝>0，α∈(0，π)，
∴α∈，sin α>0.
∴sin α＝ ＝ ＝，
∴tan α＝＝＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝2.
8．是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tan·tan β＝2－同时成立．
由(1)得＋β＝，
所以tan＝＝.
又tantan β＝2－，所以tan＋tan β＝3－，
因此tan，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解得：
x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾．
所以tan＝2－，tan β＝1，
所以α＝，β＝.
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
第一课时 二倍角公式及其应用
预习课本P124～125，思考并完成以下问题
1．二倍角的正弦公式是什么？
2．二倍角的余弦公式是什么？
3．二倍角的正切公式是什么？
二倍角的公式
[点睛]
(1)成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角，T2α中则只有当α≠kπ＋且α≠＋(k∈Z)时才成立．
(2)倍角公式不局限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是的二倍、3α是的二倍等都是适用的．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α使得sin 2α＝2sin α，tan 2α＝2tan α ( )
(2)cos215°－sin215°＝2cos215°－1＝1－2sin215° ( )
答案：(1)√ (2)√
2．若sin＝，则cos α的值为 ( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C 因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝.
3．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为 ( )
A．－ B.
C．－ D．－2
解析：选A ∵α为第三象限角，
∴sin α＝－＝－，∴tan α＝2，
∴tan 2α＝＝＝－.
4．sin 22.5°cos 202.5°＝________.
解析：sin 22.5°cos 202.5°＝sin 22.5°·(－cos 22.5°)＝－sin 45°＝－.
答案：－
给角求值
[典例] 求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)－；
(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝＝
＝＝＝4.
(5)原式＝
＝
＝
＝
＝.
根据三角函数式的特征，经过适当变形，同时变换出特殊角，进而利用公式，获得三角函数式的值，在变形中一定要从整体上考虑式子的特征．
[活学活用]
求下列各式的值．
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4).
解：(1)∵sin ＝sin＝cos ，
∴sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos＝sin＝.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
(3)2cos2－1＝cos＝－.
(4)＝＝tan 60°＝.
三角函数式的化简
[典例] 化简：(1)cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋90°)cos(90°－θ)；
(2)－.
[解] (1)原式＝＋＋cos θsin θ＝1＋(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°－cos 2θ· cos 30°－sin 2θsin 30°)＋sin 2θ＝1－sin 2θsin 30°＋sin 2θ＝1.
(2)原式＝＝＝＝tan 2θ.
三角函数式化简的四个方向
三角函数式的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
[活学活用]
化简：.
解：法一：原式
＝
＝
＝
＝1.
法二：原式＝
＝
＝
＝
＝1.
给值求值
[典例] 已知x∈，sin＝－，求cos 2x的值．
[解] [法一 变角求值]
cos 2x＝sin
＝2sincos，
∵sin＝－，x∈，
∴－x∈，cos＝，
∴cos 2x＝2××＝－.
[法二 变结构求值]
由已知条件得cos x－sin x＝－，
将此式两边平方得2sin xcos x＝，
∴sin 2x＝.
∵x∈，∴2x∈.
∴cos 2x＝－ ＝－ ＝－.
解决上面典例要注意角“2x”与“－x”的变换方法，即cos 2x＝sin＝sin；
常见的此类变换，还有：(1)sin 2x＝cos＝cos；
(2)sin 2x＝－cos＝－cos；
(3)cos 2x＝sin＝sin.
[活学活用]
已知sinsin＝，x∈，求sin 4x，cos 4x，tan 4x的值．
解：法一：(变角求值)
∵sinsin
＝sincos
＝sincos
＝sin＝cos 2x＝，
∴cos 2x＝.
∵x∈，∴2x∈(π，2π)．
∴sin 2x＝－.
∴sin 4x＝2sin 2xcos 2x＝－.
∴cos 4x＝2cos22x－1＝2×－1＝－.
∴tan 4x＝＝.
法二：(变结构求值)
由sinsin＝，
得(sin x＋cos x)×(cos x－sin x)＝，
∴－sin2x＋cos2x＝，
即cos 2x＝.
下同解法一．
层级一 学业水平达标
1．已知cos x＝－，x为第二象限角，那么sin 2x＝ ( )
A．－ B．±
C．－ D.
解析：选C 因为cos x＝－，x为第二象限角，所以sin x＝，所以sin 2x＝2sin xcos x＝2××＝－，故选C.
2．若tan α＝3，则的值等于 ( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选D ＝＝2tan α＝2×3＝6，故选D.
3．已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵sin 2α＝，
∴cos2＝
＝＝＝.
4．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于 ( )
A．75° B．45°
C．60° D．30°
解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°.故选D.
5．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由已知得sin2α＋1－2sin2α＝，
所以sin2α＝，
而α∈，所以sin α＝，cos α＝.
因此，tan α＝.
6．(cos 75°－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝________.
解析：(cos 75 °－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝cos275°－sin275°＝cos 150°＝－cos 30°＝
－.
答案：－
7．已知α为第二象限角，sin α＝，则tan 2α＝______.
解析：由于α为第二象限角，且sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝－＝－.
答案：－
8．计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________.
解析：原式＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝
＝.
答案：
9．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，求α＋2β的值．
解：∵β为锐角，且cos β＝，
∴sin β＝.
∴tan β＝，tan 2β＝＝＝.
∴0<2β<，0<α＋2β<π，
又tan(α＋2β)＝＝＝－1，
∴α＋2β＝.
10．化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β.
解：法一：(从角入手)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－
＝1－＝.
法二：(从次数入手)
原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β
＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β＝＋＝.
层级二 应试能力达标
1．若＝，则cos的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选A 因为＝，
所以＝，
所以cos α－sin α＝，平方得1－2cos αsin α＝，
所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝.
2．若f(x)＝2tan x－，则f的值为 ( )
A．4 B.
C．4 D．8
解析：选D ∵f(x)＝2tan x－＝2tan x－＝2tan x＋＝2＝2×＝，
∴f＝＝＝8.
3．函数y＝2cos2－1是 ( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选A y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x，为奇函数，最小正周期T＝＝π，故选A.
4．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于 ( )
A. B.
C．0 D．－1
解析：选C 由向量互相垂直，得a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.
5．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，
∴cos α＝－，又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.
答案：
6．已知sin＝，则cos 2的值是________．
解析：∵sin＝，
∴cos＝cos 2
＝1－2sin2＝，
∴cos 2＝cos＝cos
＝－cos＝－.
答案：－
7．已知sin－2cos＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，
∴tan＝2，∴tan x＝＝＝－.
(2)由(1)，知tan x＝－，
∴
＝
＝
＝
＝×
＝×
＝.
8．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝2cos
＝－2sin α＝，所以sin α＝－.
又α∈，故cos α＝＝ ＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos＋2sin 2α sin＝2××＋2××＝.
第二课时 半角公式及其应用
预习课本P125～127，思考并完成以下问题
半角的正弦、余弦、正切公式分别是什么？
半角公式
[点睛] (1)半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示，它们是二倍角余弦公式的推论．
(2)这里要特别注意公式中根号前的双重符号，它取决于所属的象限，如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号，若给出了角α的具体取值范围，则先求的取值范围，选择合适的符号．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α∈(0，π)，则cos＝± ( )
(2)若α∈，则tan＝＝ ( )
答案：(1)× (2)√
2．已知cos θ＝－，＜θ＜3π，那么sin 等于 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D ∵＜θ＜3π，∴＜＜，
∴sin ＜0.由cos θ＝1－2sin2，得
sin ＝－＝－＝－.
3．化简的结果是 ( )
A．－cos 1 B．cos 1
C.cos 1 D．－cos 1
解析：选C 原式＝＝＝＝＝cos 1.
4．tan＝________.
解析：法一：∵＝×，
∴tan＝＝＝2－.
法二：tan＝＝＝2－.
答案：2－
求值问题
[典例] 已知sin α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[解] ∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin＝ ＝，
cos＝－ ＝－，
tan＝＝－2.
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值的一般思路
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[活学活用]
已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求
cos与tan的值．
解：因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，
即0<<，
所以cos＝ ＝＝.
由0<α－β<π，cos(α－β)＝，
得sin(α－β)＝＝.
所以tan＝＝＝.
三角函数式的化简
[典例] 化简：
(π<α<2π)．
[解] 原式＝
＝
＝.
又∵π<α<2π，∴<<π，
∴cos<0，
∴原式＝＝cos α.
[一题多变]
1．[变条件]若本例中式子变为：
(－π<α<0)，求化简后的式子．
解：原式＝
＝
＝＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，
所以sin<0，
所以原式＝＝cos α.
2．[变条件]若本例中的式子变为：
＋，π<α<，求化简后的式子．
解：原式＝＋
，
∵π<α<，∴<<.∴cos<0，sin>0.
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos.
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
三角恒等变形的综合应用
题点一：与三角函数性质综合应用
1．已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2.x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为.
(1)求a，ω的值；
(2)若f(α)＝，求sin的值．
解：(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝ sin(2ωx＋φ)，其中tan φ＝.
由题意知 ＝2，a>0，则a＝1.
f(x)的最小正周期为π，则＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由f(α)＝知2sin＝，即sin＝.
所以sin＝sin
＝－cos＝－1＋2sin2
＝－1＋2×2＝－.
题点二：与平面向量综合应用
2．已知三点A，B，C的坐标分别为A(cos α，sin α)，B(3,0)，C(0,3)，若·＝－1，求的值．
解：由题意，得＝(3－cos α，－sin α)，
＝(－cos α，3－sin α)．
∵·＝－1，
∴(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝－1.
整理，得sin α＋cos α＝.
∴1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.
∴
＝
＝
＝2sin αcos α＝－.
题点三：三角恒等变形在实际生活中的应用
3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100 米，宽BC＝50 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)．
解：(1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，
∠CHE＝x，
∴HE＝.
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90 °，∠DFH＝x，
∴HF＝.
又∠EHF＝90°，∴EF＝，
∴三条路的全长(即△HEF的周长)
L＝.
当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝；
当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝.
故此函数的定义域为.
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝，x∈，
设sin x＋cos x＝t，则sin xcos x＝，
∴L＝＝.
由t＝sin x＋cos x＝sin，x∈，
得≤t≤，
从而＋1≤≤＋1，当x＝，
即CE＝50时，Lmin＝100(＋1)，
∴当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560元．
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
(1)运用和、差、倍角公式化简；
(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．
层级一 学业水平达标
1．已知2π＜θ＜3π，cos θ＝m，则sin＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为2π＜θ＜3π，所以π＜＜.又cos θ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.
2．已知cos θ＝－(－180°＜θ＜－90°)，则cos＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 因为－180°＜θ＜－90°，所以－90°＜＜－45°.又cos θ＝－，所以cos＝＝＝，故选B.
3．已知α∈，cos α＝，则tan ＝ ( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：选D 因为α∈，且cos α＝，所以∈，tan＝－＝－＝－，故选D.
4．若π＜α＜2π，则化简 的结果是 ( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
解析：选C ∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，原式＝＝＝－cos.故选C.
5．化简2＋2sin2得 ( )
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：选C 原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.
6．求值：cos4 ＋cos4＋cos4＋cos4＝________.
解析：原式＝2＝2＝2＝2＝.
答案：
7．化简：··＝________.
解析：法一：原式＝··
＝·＝·
＝＝＝tan .
法二：原式＝tan 2α··
＝·＝tan α·
＝＝tan .
答案：tan
8．函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小值为________．
解析：由f(x)＝sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴f(x)min＝－1.
答案：－1
9．已知cos 2θ＝，<θ<π，
(1)求tan θ的值．
(2)求的值．
解：(1)因为cos 2θ＝，所以＝，
所以＝，解得tan θ＝±，
因为<θ<π，所以tan θ＝－.
(2)因为<θ<π，tan θ＝－，
所以sin θ＝，cos θ＝－，
所以＝
＝＝－4.
10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，，求cos＋sin＋tan的值．
解：依题意，得cos α＝，cos β＝，因为α，β为锐角，
所以cos＋sin＋tan
＝＋＋
＝＋＋
＝.
层级二 应试能力达标
1．若θ∈，sin 2θ＝，则sin(5π－θ)＝ ( )
A. B.
C.或 D．－
解析：选A 法一：因为θ∈，所以2θ∈.又sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－＝－＝－，所以sin(5π－θ)＝sin θ＝＝＝.故选A.
法二：因为sin 2θ＝，所以2sin θcos θ＝，
即sin θcos θ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝，即sin4θ－sin2θ＋＝0，解得sin2θ＝或sin2θ＝.又θ∈，所以≤sin θ≤1，所以sin θ＝.所以sin(5π－θ)＝sin θ＝，故选A.
2．若＝，则sin α＋cos α的值为 ( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A ∵＝tan＝，∴sin α＋cos α＝＋＝＝.
3．已知＜α＜2π，化简 的结果为 ( )
A．sin B．－sin
C．cos D．－cos
解析：选D ∵＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos α＞0，cos＜0，
∴原式＝＝＝＝＝－cos.
4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝ ( )
A．－ B.
C．2 D．－2
解析：选A 由α是第三象限角，知是第二或第四象限角，又cos α＝－，所以sin α＝－，tan α＝.
由tan α＝＝，解得tan＝－3(正值舍去)，从而＝－.
5．已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，则tan的值为________．
解析：∵cos 2θ＝－，＜θ＜π，
∴sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
∴tan＝＝＝.
答案：
6．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
若α∈，且f(α)＝，则α的值为________．
解析：因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，
所以4α＋∈，
即4α＋＝，故α＝.
答案：
7．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵a＝(1，－)，b＝，
∴f(x)＝a·b＝sin x－＝sin x－cos x.
∵f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，∴tan θ＝，
∴＝＝＝＝－2＋.
(2)f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
8.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
解：在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α，
在Rt△OAD中，＝tan＝，
所以OA＝DA＝BC＝sin α，
所以AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AB·BC＝·sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝－
＝sin－.
由0＜α＜，得＜2α＋＜，
所以当2α＋＝，即α＝时，S取得最大值，最大值为－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，且最大面积为.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若α＝，则tan αcos α＝( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C tan αcos α＝sin α＝sin＝－sin
＝－.
2．函数y＝的最小正周期为( )
A．2π B．π
C. D.
解析：选C y＝＝
＝tan.∴T＝.
3．已知sin＝，cos＝－，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C sin α＝2sin cos＝－<0，
cos α＝2cos2－1＝2×2－1＝－<0.
∴α为第三象限角．
4．化简：·＝( )
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
解析：选D 原式＝
＝＝cos α.
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D cos 2α＝sin＝sin ＝2sincos，代入原式，得6sin·cos＝sin.∵α∈，∴cos＝，∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.
6．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，所以(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θ·cos θ＝.又因为θ∈，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－，故选B.
7．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 在△ABC中，
tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，
∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．
8．已知cos＝m，则cos x＋cos＝( )
A．2m B．±2m
C.m D．±m
解析：选C ∵cos＝m，
∴cos x＋sin x＝m，
∴cos x＋sin x＝2m.
又cos x＋cos＝cos x＋sin x
＝(cos x＋sin x)，
∴cos x＋cos＝m.
9．已知8sin α＋5cos β＝6，sin(α＋β)＝，则8cos α＋5sin β＝( )
A．±10 B．10
C．－10 D．±20
解析：选A 设8cos α＋5sin β＝x，则(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝62＋x2，从而有64＋25＋80(sin α·cos β＋cos αsin β)＝36＋x2，
∴89＋80×＝36＋x2.∴x2＝100，∴x＝±10.
10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．－
解析：选B 因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，所以|a|＝|b|＝1.又a与b的夹角为，所以a·b＝1×1×cos＝.又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，所以cos(α－β)＝.
11．已知函数f(x)＝(0＜x≤)，则( )
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
解析：选D 因为f(x)＝＝＝＝－tan x,0＜x≤，所以函数f(x)的最小值为－，无最大值，故选D.
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵P(1,4)，∴|OP|＝7，
∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则tan α＝________.
解析：sin α＋cos α＝?1＋2sin αcos α＝?
sin αcos α＝－＜0，又α∈(0，π)，所以sin α＞0，
cos α＜0，因为sin α＋cos α＝，所以sin α＝，
cos α＝－，所以tan α＝－.
答案：－
14.＝________.
解析：∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°
＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，
∴原式＝－1.
答案：－1
15．△ABC中，若cos A＝，cos B＝，则cos C＝________.
解析：因为A，B为三角形的内角，
且cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝，
所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－×＋×
＝－＋＝.
答案：
16．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以其最小正周期为＝π.
答案：π
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17(本小题满分10分)已知tan α＝，
求的值．
解：＝
＝＝
＝＝＝.
∵tan α＝，∴原式＝＝－3.
18．(本小题满分12分)已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解：因为tan α＝，tan β＝，所以tan 2β＝＝，
tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tan α＝<1，tan β＝<1，
所以α，β∈，所以α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1.
(1)求f的值．
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1
＝4coscos＋1＝－2cos＋1
＝－2cos＋1＝2sin＋1，
所以f＝2sin＋1＝＋1.
(2)由(1)，知f(x)＝2sin＋1，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
20．(本小题满分12分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cossin 2x－sincos 2x
＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质得，
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.
21．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝，因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sinωx－(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.
(1)若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值；
(2)求函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
解：(1)因为g(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2.
由f(α)＝，得cos 2α＝，
即cos 2α＝，
所以2α＝2kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，
所以α∈.
(2)函数y＝f(x)＋g(x)
＝cos 2x＋sin
＝cos 2x＋sin 2xcos－cos 2xsin
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
复习课(一) 三角函数
角的概念与弧度制
1．考情
本考点主要以选择、填空题形式考查，着重考查象限角概念与扇形的弧长和面积公式，难度低档．
2．知识归纳整合
(1)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
(2)弧度制：
①弧度数公式：|α|＝.
②角度与弧度的互化：π rad ＝180°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|r.面积公式S＝lr.
[典例] (1)与终边相同的角的表达式中，正确的是 ( )
A．2kπ＋45°，k∈Z B．k·360°＋，k∈Z
C．k·360°－315°，k∈Z D．kπ＋，k∈Z
(2)一圆内切于中心角为，半径为R的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
[解析] (1)∵＝405°，∴与终边相同的角可表示为k·360°－315°，k∈Z.
(2)
一圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切，如图，由圆的半径r＝(R－r)sin，∴r＝R ，
∴π·2∶·R2＝2∶3.
[答案] (1)C (2)B
[类题通法]
1．关于角度与弧度的互化
角度与弧度的互化关键是掌握互化公式，或是由π＝180°简单推导互化公式，对于常见的角度、弧度建议识记其互化关系．
2．关于弧度值公式的应用
在涉及扇形的面积、弧长、圆心角等问题时， 往往要用到弧度值公式的变形使用，以及扇形面积的两种表达式确定未知量或直接求面积．
1．若角α，β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系( )
A．α＝－β B．α＝－2×360°＋β
C．α＝180°＋β D．α＝(2k＋1)·180°＋β(k∈Z)
解析：选D ∵α，β的终边在同一直线上，
∴α＝k·360°＋180°＋β
＝(2k＋1)·180°＋β(k∈Z)．
2．若1 rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为( )
A. B．sin
C. D．2sin
解析：选C 1 rad的圆心角所对弧长等于半径r的长．
∴sin ＝，∴l＝r＝.
3．一个半径是R的扇形，其周长为4R，则这个扇形的面积是 ( )
A．2R2 B．2
C.R2 D．R2
解析：选D ∵弧长l＝4R－2R＝2R，
∴S扇＝lR＝×2R×R＝R2.
三角函数的定义、诱导公式
1．考情
本考点主要以选择、填空题形式考查，着重考查三角函数的定义及诱导公式化简求值，难度中档以下．
2．知识归纳整合
(1)假设角α的顶点是直角坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α终边上任一点Q(x，y)，OQ的长度为r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝，我们可以用这个公式来计算正弦函数、余弦函数和正切函数的值．
(2)诱导公式：
对诱导公式无需死记硬背，关键是记忆它们的结构特征，有记忆口诀如下：“奇变偶不变，符号看象限．”具体可理解为：求2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，－α，＋α，－α，＋α的三角函数值，可归结为求k·±α(k∈Z)的三角函数值．
[典例] (1)角α的终边上存在一点P，且<0，求sin α＋cos α的值．
(2)已知＝3＋2，求
·的值．
[解] (1)由点P的坐标知，点P在第二或第四象限；由<0知，α是第三或第四象限角．故角α是第四象限角，所以m<0.P到原点的距离r＝ ＝ ＝－，所以sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴sin α＋cos α＝－＋＝.
(2)＝＝3＋2，
所以tan θ＝.
故原式＝＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋1＝.
[类题通法]
(1)利用三角函数定义解题时要注意角的终边落在射线上还是直线上，注意分类讨论．
(2)利用诱导公式求值一般按“负化正”“大化小”“小化锐”“锐求值”的步骤进行．
1．若sin(π＋α)＝，且α是第三象限角，则＝( )
A．1 B．7
C．－7 D．－1
解析：选B 由sin(π＋α)＝，得sin α＝－.
又α是第三象限角，所以cos α＝－，
所以＝
＝＝7.
2．已知sin＝，则cos的值为 ( )
A. B．－ C. D．－
解析：选D ∵＋α－＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.
3．已知单位圆上一点P，设以OP为终边的角为θ(0<θ<2π)，求θ的正弦值、余弦值．
解：∵P在单位圆上，∴y2＋＝1.
∴y＝±.
当y＝时，sin α＝，cos α＝－.
当y＝－时，sin α＝－，cos α＝－.
三角函数的图像与性质
1．考情
本考点多在选择、填空题中考查，有时在解答题中涉及，着重考查三角函数的奇偶性、单调性、周期性及最值问题，难度中档．
2．知识归纳整合
(1)正弦函数：
单调增区间(k∈Z)；
单调减区间(k∈Z)；
对称轴x＝kπ＋ ，k∈Z，
对称中心(kπ，0)，k∈Z.
(2)余弦函数：
单调增区间(k∈Z)；
单调减区间(k∈Z)；
对称轴x＝kπ，对称中心，k∈Z.
(3)正切函数：
定义域；
单调增区间(k∈Z)，
渐近线：x＝kπ＋，
对称中心(k∈Z)．
[典例] (1)用“五点法”作函数y＝－2sin x，x∈的图像时，五个关键点的坐标为( )
A．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
B．(0，－2)，，(π，2)，，(2π，－2)
C．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
D．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
(2)函数f(x)＝2x－tan x在上的图像大致为 ( )
(3)函数y＝－cos2x＋cos x(x∈R)的值域是________．
[解析] (1)因为y＝sin x(x∈)的五个关键点的坐标依次为：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，所以y＝－2sin x(x∈)的五个关键点的坐标依次为：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，所以选C.
(2)函数f(x)＝2x－tan x 为奇函数，所以图像关于原点对称，故排除A、B.当x→时，f(x)→－∞，所以排除D，选C.
(3)y＝－cos2x＋cos x＝－2＋.
∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝时，ymax＝.当cos x＝－1时，ymin＝－2.∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.
[答案] (1)C (2)C (3)
[类题通法]
求解与三角函数的图像与性质的有关问题时，应结合三角函数的图像去解决，同时要熟记有关性质结论．
1．函数f(x)＝ ( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：选A 要使f(x)有意义，需满足即x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域为，关于原点对称．又f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)＝是奇函数．
2．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上是单调函数，则ω应满足的条件是 ( )
A．0<ω≤1 B．ω≥1
C．0<ω≤1或ω＝3 D．0<ω≤3
解析：选C ①若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递减．
令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，则＋≤x≤＋(k∈Z)，∴≤且≥，∴ω＝3.
②若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增．
令－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，则－＋≤x≤＋(k∈Z)，∴－≤且≥，又ω>0，∴0<ω≤1.
综上可得，0<ω≤1或ω＝3.故选C.
3．函数y＝cos x－1图像的对称中心为________________．
解析：y＝cos x图像的对称中心为，k∈Z，由y＝cos x的图像向下平移1个单位长度，得到y＝cos x－1的图像．所以y＝cos x－1图像的对称中心为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
1．考情
本考点在考查时各种题型都有，着重考查y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换、性质及其简单应用，考查时常涉及到简单的三角变换，难度中档．
2．知识归纳整合
函数y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤
[典例] (1)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是 ( )
A. B.
C. D.
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像，则g(x)的单调递增区间为 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
[解析] (1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，向右平移φ个单位，得y＝sin关于y轴对称，则－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z，所以φ的最小正值为.
(2)A＝1，T＝×＝π＝，∴ω＝2.
∵2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.
将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到的图像的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故选C.
[答案] (1)C (2)C
[类题通法]
(1)由y＝Asin ωx的图像得y＝Asin(ωx＋φ)的图像时注意平移单位为.
(2)求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时应先检查是否满足ω>0.
1．要得到函数y＝cos x的图像，只需将函数y＝sin图像上的所有点的( )
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
解析：选C ∵y＝cos x＝sin，
∴y＝sin的图像
y＝sin的图像
y＝sin＝cos x的图像．
2.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )
A．A＝3，T＝，φ＝－
B．A＝1，T＝，φ＝
C．A＝1，T＝，φ＝－
D．A＝1，T＝，φ＝－
解析：选C 由图像，知A＝＝1，＝－＝，则T＝，ω＝＝＝.由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.令k＝0，得φ＝－.
3．已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：法一：(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝×－＝.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)因为0＜α＜，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
1．sin ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B sin ＝sin＝sin＝－sin ＝－.
2．设角α的终边与单位圆相交于点P，则sin α－cos α的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C 由三角函数的定义，得sin α＝－，cos α＝，∴sin α－cos α＝－－＝－，故答案为C.
3．已知|sin θ|＝，且π＜θ＜，则tan 的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D ∵|sin θ|＝，
∴sin θ＝－，cos θ＝－ ＝－，
于是tan＝＝＝
＝＝－.
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图像，再把所得函数的图像向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图像，即曲线C2.
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的相邻两对称中心的距离为π，且f＝f(－x)，则函数y＝f是( )
A．偶函数且在x＝0处取得最大值
B．偶函数且在x＝0处取得最小值
C．奇函数且在x＝0处取得最大值
D．奇函数且在x＝0处取得最小值
解析：选A 由f(x)的图像的相邻两对称中心的距离为π，得ω＝1.又由f＝f(－x)，知图像关于直线x＝对称，从而得φ＝，所以f(x)＝Asin.从而y＝f＝Acos x，显然应选A.
6．已知函数f(x)＝Asin的部分图像如图所示，P，Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2,0)．若∠PRQ＝，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是( )
A．2， B.，
C.， D．2，
解析：选A 由题意，x＝2时，y＝f(x)取最大值A，
∴sin＝1.又0<φ<，∴φ＝.
若∠PRQ＝，则∠SRQ＝.
而周期为＝12，故Q(8，－A)，
∴＝tan，∴A＝2，y＝f(x)的最大值及φ的值分别是2，.
7．若α＝2 018°，则与α具有相同终边的最小正角为________．
解析：与α具有相同终边的角为β＝k·360°＋2 018°，当k＝－5时，β为最小正角，即218°.
答案：218°
8．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是________．
解析：由题意知＝，∴ω＝4.∴f＝tan ＝.
答案：
9．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
解析：将y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位后得到y＝cos的图像，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝.
答案：
10．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
11．化简：
(1)＋；
(2)cos＋cos(k∈Z)．
解：(1)原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
(2)当k＝2n，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos＝2cos；
当k＝2n＋1，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝－cos－cos＝－2cos.
12．函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图像如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝.
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1故<πx0＋<.
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx
＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx
＝cos πx－sin πx－sin πx＝cos πx－sin πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
复习课(二) 平面向量
平面向量的有关概念及线性运算
1．考情
本考点多以选择、填空题形式考查，着重考查向量的有关概念辨别、平面向量的线性运算及共线向量定理，难度中档．
2．知识归纳整合
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定，在解题时注意它们的特殊性．如“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a与c为任意向量，两者不一定平行．
(2)共线向量也叫平行向量，两向量所在的直线可以共线也可以平行．
(3)相等向量一定是平行向量．
(4)向量a的单位向量为.
(5)λa依然是一个向量，与a的方向相同(λ>0)或相反(λ<0)．
[典例] (1)下列命题中，正确命题的个数是 ( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝ ( )
A． B．
C. D.
(3)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．
[解析] (1)根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
(2)由向量的加法法则，得＝(＋)，＝(＋)，因此＋＝－(＋)－(＋)＝－(＋)＝(＋)＝×2＝，故选B.
[答案] (1)D (2)B
(3)解：设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b，
＝－＝tb－a.
要使A，B，C三点共线，只需＝λ，
即－a＋b＝λ(tb－a)．
又非零向量a，b不共线，∴∴
∴当t＝时，三向量终点在同一条直线上．
[类题通法]
(1)辨别向量概念问题时：一要紧扣相关定义，二要注意零向量易忽视．
(2)平面向量的线性运算：
①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是 ( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析：选B 因为|a－b|＝|a＋b|，由向量的加法和减法法则，知以a，b为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a⊥b.
2.
如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝ ( )
A．a－b B.a－b
C．a＋b D.a＋b
解析：选D 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB 且＝ ＝a，所以＝＋＝b＋a.
3.
如图，在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于点G，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选C 设＝ma＋nb(m，n∈R)，则＝mAB―→＋4n，∵F，G，B三点共线，∴m＋4n＝1.连接AC，则＝－＝－(＋)＝(m－1)a＋(n－1)b，＝－＝－－＝－a－b.∵C，G，E三点共线，∴＝，即3m－2n＝1.
联立解得∴＝a＋b.
平面向量的坐标运算
1．考情
本考点多以选择题、填空题形式考查，着重考查平面向量的坐标运算及共线向量定理的坐标表示及数量积的坐标运算，难度中档．
2．知识归纳整合
(1)向量加法、减法、数乘向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
a∥b?x1y2－x2y1＝0，
a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)向量坐标与起点、终点坐标的关系及向量的模
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
[典例] (1)(四川高考)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝ ( )
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
(3)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
①若·＝0，求c的值；
②若c＝5，求cos A的值．
[解析] (1)∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.
(2)法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A.
[答案] (1)B (2)A
(3)解：①＝(－3，－4)，＝(c－3，－4)．
由·＝0，可得
－3(c－3)＋16＝25－3c＝0，
所以c＝.
②∵＝(－3，－4)，
＝(c－3，－4)＝(2，－4)，
∴cos A＝＝＝.
[类题通法]
(1)向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．
(2)对向量坐标运算注意a∥b，a·b的坐标运算形式易混淆．
1．已知向量a＝(1,2)，(a＋b)∥b，则b可以为 ( )
A．(1,2) B．(1，－2)
C．(2,1) D．(2，－1)
解析：选A 设b＝(x，y)，则a＋b＝(x＋1，y＋2)，因为(a＋b)∥b，所以(x＋1)y－x(y＋2)＝0，化简得y－2x＝0，只有A满足．
2．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么 ( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D ∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A，B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．
3．(江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
平面向量的数量积
1．考情
本考点在各种题型均有考查，在解答题中常与三角函数交汇考查，着重考查数量积的计算、模、夹角及垂直问题，难度中档．
2．知识归纳整合
(1)平面向量数量积
①a，b是两?课件17张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十五)”
(单击进入电子文档)
课时跟踪检测（二十五） 两角和与差的正切函数
层级一 学业水平达标
1．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝ ( )
A.m B.(1－m)
C.(m－1) D.(m＋1)
解析：选B tan 28°＋tan 32°＝tan(28°＋32°)·(1－tan 28°tan 32°)＝(1－m)．
2．已知＝2＋，则tan等于 ( )
A．2＋ B．1
C．2－ D.
解析：选C tan＝＝＝2－.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵tan(α＋β)＝，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝.
4．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为 ( )
A．1 B．2
C．1＋ D．1＋
解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
5．化简：＝ ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C 原式＝＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
答案：3
7．tan＋tan＋tan·tan的值为________．
解析：tan＋tan＋tan·tan
＝tan＋tantan
＝＋tan·tan
＝.
答案：
8．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
解析：tan β＝＝＝tan，
∵－α，β∈且y＝tan x在上是单调函数，∴β＝－α，∴α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝tan＝1.
答案：1
9．已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．
解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，
∴sin θ＝.又θ是第二象限角，
∴cos θ＝－ ＝－，
∴tan θ＝＝－.又tan φ＝，
∴tan(θ－φ)＝＝＝－2.
10．已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0＜α＜，π＜β＜，求tan(α＋β)及α＋β的值．
解：∵tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0＜α＜，π＜β＜，
∴π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝.
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，若tan Atan B＞1，则△ABC的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
解析：选A 由tan Atan B＞1，知tan A＞0，tan B＞0，从而A，B均为锐角．
又tan(A＋B)＝＜0，即tan C＝－tan(A＋B)＞0，∴C为锐角，故△ABC为锐角三角形．
2．已知tan α＝，则的值是 ( )
A．2 B.
C．－1 D．－3
解析：选B 法一：因为tan α＝，所以tan＝＝＝3，
所以＝＝.故选B.
法二：＝
＝tan
＝tan α＝.故选B.
3．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为 ( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：选C 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.
4．已知tan θ和tan是方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q间的关系是 ( )
A．p＋q＋1＝0 B．p－q－1＝0
C．p＋q－1＝0 D．p－q＋1＝0
解析：选D 由题意得tan θ＋tan＝－p，
tan θtan＝q，而tan＝tan＝，从而1－q＝－p，即p－q＋1＝0.
5．已知点P落在角θ的终边上，则tan的值为________．
解析：依题意，tan θ＝＝－1.
∴tan＝＝＝2－.
答案：2－
6．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________.
解析：由已知得：
sin θcos 24°＋cos θsin 24°＝cos 24°cos θ＋sin θsin 24°
?(sin θ－cos θ)(cos 24°－sin 24°)＝0
?sin θ＝cos θ?tan θ＝1，
∴tan(θ＋60°)＝＝－2－.
答案：－2－
7．已知cos α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan β及tan(2α－β)．
解：∵cos α＝>0，α∈(0，π)，
∴α∈，sin α>0.
∴sin α＝ ＝ ＝，
∴tan α＝＝＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝2.
8．是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tan·tan β＝2－同时成立．
由(1)得＋β＝，
所以tan＝＝.
又tantan β＝2－，所以tan＋tan β＝3－，
因此tan，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解得：
x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾．
所以tan＝2－，tan β＝1，
所以α＝，β＝.所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
