第二课时 半角公式及其应用
预习课本P125～127，思考并完成以下问题
半角的正弦、余弦、正切公式分别是什么？
半角公式
[点睛] (1)半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示，它们是二倍角余弦公式的推论．
(2)这里要特别注意公式中根号前的双重符号，它取决于所属的象限，如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号，若给出了角α的具体取值范围，则先求的取值范围，选择合适的符号．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α∈(0，π)，则cos＝± ( )
(2)若α∈，则tan＝＝ ( )
答案：(1)× (2)√
2．已知cos θ＝－，＜θ＜3π，那么sin 等于 ( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D ∵＜θ＜3π，∴＜＜，
∴sin ＜0.由cos θ＝1－2sin2，得
sin ＝－＝－＝－.
3．化简的结果是 ( )
A．－cos 1 B．cos 1
C.cos 1 D．－cos 1
解析：选C 原式＝＝＝＝＝cos 1.
4．tan＝________.
解析：法一：∵＝×，
∴tan＝＝＝2－.
法二：tan＝＝＝2－.
答案：2－
求值问题
[典例] 已知sin α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[解] ∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin＝ ＝，
cos＝－ ＝－，
tan＝＝－2.
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值的一般思路
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[活学活用]
已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求
cos与tan的值．
解：因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，
即0<<，
所以cos＝ ＝＝.
由0<α－β<π，cos(α－β)＝，
得sin(α－β)＝＝.
所以tan＝＝＝.
三角函数式的化简
[典例] 化简：
(π<α<2π)．
[解] 原式＝
＝
＝.
又∵π<α<2π，∴<<π，
∴cos<0，
∴原式＝＝cos α.
[一题多变]
1．[变条件]若本例中式子变为：
(－π<α<0)，求化简后的式子．
解：原式＝
＝
＝＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，
所以sin<0，
所以原式＝＝cos α.
2．[变条件]若本例中的式子变为：
＋，π<α<，求化简后的式子．
解：原式＝＋
，
∵π<α<，∴<<.∴cos<0，sin>0.
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos.
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
三角恒等变形的综合应用
题点一：与三角函数性质综合应用
1．已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2.x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为.
(1)求a，ω的值；
(2)若f(α)＝，求sin的值．
解：(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝ sin(2ωx＋φ)，其中tan φ＝.
由题意知 ＝2，a>0，则a＝1.
f(x)的最小正周期为π，则＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由f(α)＝知2sin＝，即sin＝.
所以sin＝sin
＝－cos＝－1＋2sin2
＝－1＋2×2＝－.
题点二：与平面向量综合应用
2．已知三点A，B，C的坐标分别为A(cos α，sin α)，B(3,0)，C(0,3)，若·＝－1，求的值．
解：由题意，得＝(3－cos α，－sin α)，
＝(－cos α，3－sin α)．
∵·＝－1，
∴(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝－1.
整理，得sin α＋cos α＝.
∴1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.
∴
＝
＝
＝2sin αcos α＝－.
题点三：三角恒等变形在实际生活中的应用
3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100 米，宽BC＝50 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)．
解：(1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，
∠CHE＝x，
∴HE＝.
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90 °，∠DFH＝x，
∴HF＝.
又∠EHF＝90°，∴EF＝，
∴三条路的全长(即△HEF的周长)
L＝.
当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝；
当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝.
故此函数的定义域为.
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝，x∈，
设sin x＋cos x＝t，则sin xcos x＝，
∴L＝＝.
由t＝sin x＋cos x＝sin，x∈，
得≤t≤，
从而＋1≤≤＋1，当x＝，
即CE＝50时，Lmin＝100(＋1)，
∴当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560元．
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
(1)运用和、差、倍角公式化简；
(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．
层级一 学业水平达标
1．已知2π＜θ＜3π，cos θ＝m，则sin＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为2π＜θ＜3π，所以π＜＜.又cos θ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.
2．已知cos θ＝－(－180°＜θ＜－90°)，则cos＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 因为－180°＜θ＜－90°，所以－90°＜＜－45°.又cos θ＝－，所以cos＝＝＝，故选B.
3．已知α∈，cos α＝，则tan ＝ ( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：选D 因为α∈，且cos α＝，所以∈，tan＝－＝－＝－，故选D.
4．若π＜α＜2π，则化简 的结果是 ( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
解析：选C ∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，原式＝＝＝－cos.故选C.
5．化简2＋2sin2得 ( )
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：选C 原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.
6．求值：cos4 ＋cos4＋cos4＋cos4＝________.
解析：原式＝2＝2＝2＝2＝.
答案：
7．化简：··＝________.
解析：法一：原式＝··
＝·＝·
＝＝＝tan .
法二：原式＝tan 2α··
＝·＝tan α·
＝＝tan .
答案：tan
8．函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小值为________．
解析：由f(x)＝sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴f(x)min＝－1.
答案：－1
9．已知cos 2θ＝，<θ<π，
(1)求tan θ的值．
(2)求的值．
解：(1)因为cos 2θ＝，所以＝，
所以＝，解得tan θ＝±，
因为<θ<π，所以tan θ＝－.
(2)因为<θ<π，tan θ＝－，
所以sin θ＝，cos θ＝－，
所以＝
＝＝－4.
10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，，求cos＋sin＋tan的值．
解：依题意，得cos α＝，cos β＝，因为α，β为锐角，
所以cos＋sin＋tan
＝＋＋
＝＋＋
＝.
层级二 应试能力达标
1．若θ∈，sin 2θ＝，则sin(5π－θ)＝ ( )
A. B.
C.或 D．－
解析：选A 法一：因为θ∈，所以2θ∈.又sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－＝－＝－，所以sin(5π－θ)＝sin θ＝＝＝.故选A.
法二：因为sin 2θ＝，所以2sin θcos θ＝，
即sin θcos θ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝，即sin4θ－sin2θ＋＝0，解得sin2θ＝或sin2θ＝.又θ∈，所以≤sin θ≤1，所以sin θ＝.所以sin(5π－θ)＝sin θ＝，故选A.
2．若＝，则sin α＋cos α的值为 ( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A ∵＝tan＝，∴sin α＋cos α＝＋＝＝.
3．已知＜α＜2π，化简 的结果为 ( )
A．sin B．－sin
C．cos D．－cos
解析：选D ∵＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos α＞0，cos＜0，
∴原式＝＝＝＝＝－cos.
4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝ ( )
A．－ B.
C．2 D．－2
解析：选A 由α是第三象限角，知是第二或第四象限角，又cos α＝－，所以sin α＝－，tan α＝.
由tan α＝＝，解得tan＝－3(正值舍去)，从而＝－.
5．已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，则tan的值为________．
解析：∵cos 2θ＝－，＜θ＜π，
∴sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
∴tan＝＝＝.
答案：
6．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
若α∈，且f(α)＝，则α的值为________．
解析：因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，
所以4α＋∈，
即4α＋＝，故α＝.
答案：
7．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵a＝(1，－)，b＝，
∴f(x)＝a·b＝sin x－＝sin x－cos x.
∵f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，∴tan θ＝，
∴＝＝＝＝－2＋.
(2)f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
8.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
解：在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α，
在Rt△OAD中，＝tan＝，
所以OA＝DA＝BC＝sin α，
所以AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AB·BC＝·sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝－
＝sin－.
由0＜α＜，得＜2α＋＜，
所以当2α＋＝，即α＝时，S取得最大值，最大值为－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，且最大面积为.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若α＝，则tan αcos α＝( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C tan αcos α＝sin α＝sin＝－sin
＝－.
2．函数y＝的最小正周期为( )
A．2π B．π
C. D.
解析：选C y＝＝
＝tan.∴T＝.
3．已知sin＝，cos＝－，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C sin α＝2sin cos＝－<0，
cos α＝2cos2－1＝2×2－1＝－<0.
∴α为第三象限角．
4．化简：·＝( )
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
解析：选D 原式＝
＝＝cos α.
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D cos 2α＝sin＝sin ＝2sincos，代入原式，得6sin·cos＝sin.∵α∈，∴cos＝，∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.
6．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，所以(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θ·cos θ＝.又因为θ∈，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－，故选B.
7．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 在△ABC中，
tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，
∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．
8．已知cos＝m，则cos x＋cos＝( )
A．2m B．±2m
C.m D．±m
解析：选C ∵cos＝m，
∴cos x＋sin x＝m，
∴cos x＋sin x＝2m.
又cos x＋cos＝cos x＋sin x
＝(cos x＋sin x)，
∴cos x＋cos＝m.
9．已知8sin α＋5cos β＝6，sin(α＋β)＝，则8cos α＋5sin β＝( )
A．±10 B．10
C．－10 D．±20
解析：选A 设8cos α＋5sin β＝x，则(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝62＋x2，从而有64＋25＋80(sin α·cos β＋cos αsin β)＝36＋x2，
∴89＋80×＝36＋x2.∴x2＝100，∴x＝±10.
10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．－
解析：选B 因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，所以|a|＝|b|＝1.又a与b的夹角为，所以a·b＝1×1×cos＝.又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，所以cos(α－β)＝.
11．已知函数f(x)＝(0＜x≤)，则( )
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
解析：选D 因为f(x)＝＝＝＝－tan x,0＜x≤，所以函数f(x)的最小值为－，无最大值，故选D.
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵P(1,4)，∴|OP|＝7，
∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则tan α＝________.
解析：sin α＋cos α＝?1＋2sin αcos α＝?
sin αcos α＝－＜0，又α∈(0，π)，所以sin α＞0，
cos α＜0，因为sin α＋cos α＝，所以sin α＝，
cos α＝－，所以tan α＝－.
答案：－
14.＝________.
解析：∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°
＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，
∴原式＝－1.
答案：－1
15．△ABC中，若cos A＝，cos B＝，则cos C＝________.
解析：因为A，B为三角形的内角，
且cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝，
所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－×＋×
＝－＋＝.
答案：
16．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以其最小正周期为＝π.
答案：π
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17(本小题满分10分)已知tan α＝，
求的值．
解：＝
＝＝
＝＝＝.
∵tan α＝，∴原式＝＝－3.
18．(本小题满分12分)已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解：因为tan α＝，tan β＝，所以tan 2β＝＝，
tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tan α＝<1，tan β＝<1，
所以α，β∈，所以α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1.
(1)求f的值．
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1
＝4coscos＋1＝－2cos＋1
＝－2cos＋1＝2sin＋1，
所以f＝2sin＋1＝＋1.
(2)由(1)，知f(x)＝2sin＋1，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
20．(本小题满分12分)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cossin 2x－sincos 2x
＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质得，
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.
21．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝，因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sinωx－(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.
(1)若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值；
(2)求函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
解：(1)因为g(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2.
由f(α)＝，得cos 2α＝，
即cos 2α＝，
所以2α＝2kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，
所以α∈.
(2)函数y＝f(x)＋g(x)
＝cos 2x＋sin
＝cos 2x＋sin 2xcos－cos 2xsin
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
课件31张PPT。“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十七)”
(单击进入电子文档)“阶段质量检测”见“阶段质量检测(三)”
(单击进入电子文档)课时跟踪检测（二十七） 半角公式及其应用
层级一 学业水平达标
1．已知2π＜θ＜3π，cos θ＝m，则sin＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为2π＜θ＜3π，所以π＜＜.又cos θ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.
2．已知cos θ＝－(－180°＜θ＜－90°)，则cos＝ ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 因为－180°＜θ＜－90°，所以－90°＜＜－45°.又cos θ＝－，所以cos＝＝＝，故选B.
3．已知α∈，cos α＝，则tan ＝ ( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：选D 因为α∈，且cos α＝，所以∈，tan＝－＝－＝－，故选D.
4．若π＜α＜2π，则化简 的结果是 ( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
解析：选C ∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，原式＝＝＝－cos.故选C.
5．化简2＋2sin2得 ( )
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：选C 原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.
6．求值：cos4 ＋cos4＋cos4＋cos4＝________.
解析：原式＝2＝2＝2＝2＝.
答案：
7．化简：··＝________.
解析：法一：原式＝··
＝·＝·
＝＝＝tan .
法二：原式＝tan 2α··
＝·＝tan α·
＝＝tan .
答案：tan
8．函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小值为________．
解析：由f(x)＝sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴f(x)min＝－1.
答案：－1
9．已知cos 2θ＝，<θ<π，
(1)求tan θ的值．
(2)求的值．
解：(1)因为cos 2θ＝，所以＝，
所以＝，解得tan θ＝±，
因为<θ<π，所以tan θ＝－.
(2)因为<θ<π，tan θ＝－，
所以sin θ＝，cos θ＝－，
所以＝
＝＝－4.
10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，，求cos＋sin＋tan的值．
解：依题意，得cos α＝，cos β＝，因为α，β为锐角，
所以cos＋sin＋tan
＝＋＋
＝＋＋
＝.
层级二 应试能力达标
1．若θ∈，sin 2θ＝，则sin(5π－θ)＝ ( )
A. B.
C.或 D．－
解析：选A 法一：因为θ∈，所以2θ∈.又sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－＝－＝－，所以sin(5π－θ)＝sin θ＝＝＝.故选A.
法二：因为sin 2θ＝，所以2sin θcos θ＝，
即sin θcos θ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝，即sin4θ－sin2θ＋＝0，解得sin2θ＝或sin2θ＝.又θ∈，所以≤sin θ≤1，所以sin θ＝.所以sin(5π－θ)＝sin θ＝，故选A.
2．若＝，则sin α＋cos α的值为 ( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A ∵＝tan＝，∴sin α＋cos α＝＋＝＝.
3．已知＜α＜2π，化简 的结果为 ( )
A．sin B．－sin
C．cos D．－cos
解析：选D ∵＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos α＞0，cos＜0，
∴原式＝＝＝＝＝－cos.
4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝ ( )
A．－ B.
C．2 D．－2
解析：选A 由α是第三象限角，知是第二或第四象限角，又cos α＝－，所以sin α＝－，tan α＝.
由tan α＝＝，解得tan＝－3(正值舍去)，从而＝－.
5．已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，则tan的值为________．
解析：∵cos 2θ＝－，＜θ＜π，
∴sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
∴tan＝＝＝.
答案：
6．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
若α∈，且f(α)＝，则α的值为________．
解析：因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，
所以4α＋∈，
即4α＋＝，故α＝.
答案：
7．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵a＝(1，－)，b＝，
∴f(x)＝a·b＝sin x－＝sin x－cos x.
∵f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，∴tan θ＝，
∴＝＝＝＝－2＋.
(2)f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
8.
如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
解：在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α，
在Rt△OAD中，＝tan＝，
所以OA＝DA＝BC＝sin α，
所以AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AB·BC＝·sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝－
＝sin－.
由0＜α＜，得＜2α＋＜，
所以当2α＋＝，即α＝时，S取得最大值，最大值为－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，且最大面积为.
