第一课时 二倍角公式及其应用
预习课本P124～125，思考并完成以下问题
1．二倍角的正弦公式是什么？
2．二倍角的余弦公式是什么？
3．二倍角的正切公式是什么？
二倍角的公式
[点睛]
(1)成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角，T2α中则只有当α≠kπ＋且α≠＋(k∈Z)时才成立．
(2)倍角公式不局限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是的二倍、3α是的二倍等都是适用的．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α使得sin 2α＝2sin α，tan 2α＝2tan α ( )
(2)cos215°－sin215°＝2cos215°－1＝1－2sin215° ( )
答案：(1)√ (2)√
2．若sin＝，则cos α的值为 ( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C 因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝.
3．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为 ( )
A．－ B.
C．－ D．－2
解析：选A ∵α为第三象限角，
∴sin α＝－＝－，∴tan α＝2，
∴tan 2α＝＝＝－.
4．sin 22.5°cos 202.5°＝________.
解析：sin 22.5°cos 202.5°＝sin 22.5°·(－cos 22.5°)＝－sin 45°＝－.
答案：－
给角求值
[典例] 求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)－；
(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝＝
＝＝＝4.
(5)原式＝
＝
＝
＝
＝.
根据三角函数式的特征，经过适当变形，同时变换出特殊角，进而利用公式，获得三角函数式的值，在变形中一定要从整体上考虑式子的特征．
[活学活用]
求下列各式的值．
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4).
解：(1)∵sin ＝sin＝cos ，
∴sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos＝sin＝.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
(3)2cos2－1＝cos＝－.
(4)＝＝tan 60°＝.
三角函数式的化简
[典例] 化简：(1)cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋90°)cos(90°－θ)；
(2)－.
[解] (1)原式＝＋＋cos θsin θ＝1＋(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°－cos 2θ· cos 30°－sin 2θsin 30°)＋sin 2θ＝1－sin 2θsin 30°＋sin 2θ＝1.
(2)原式＝＝＝＝tan 2θ.
三角函数式化简的四个方向
三角函数式的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
[活学活用]
化简：.
解：法一：原式
＝
＝
＝
＝1.
法二：原式＝
＝
＝
＝
＝1.
给值求值
[典例] 已知x∈，sin＝－，求cos 2x的值．
[解] [法一 变角求值]
cos 2x＝sin
＝2sincos，
∵sin＝－，x∈，
∴－x∈，cos＝，
∴cos 2x＝2××＝－.
[法二 变结构求值]
由已知条件得cos x－sin x＝－，
将此式两边平方得2sin xcos x＝，
∴sin 2x＝.
∵x∈，∴2x∈.
∴cos 2x＝－ ＝－ ＝－.
解决上面典例要注意角“2x”与“－x”的变换方法，即cos 2x＝sin＝sin；
常见的此类变换，还有：(1)sin 2x＝cos＝cos；
(2)sin 2x＝－cos＝－cos；
(3)cos 2x＝sin＝sin.
[活学活用]
已知sinsin＝，x∈，求sin 4x，cos 4x，tan 4x的值．
解：法一：(变角求值)
∵sinsin
＝sincos
＝sincos
＝sin＝cos 2x＝，
∴cos 2x＝.
∵x∈，∴2x∈(π，2π)．
∴sin 2x＝－.
∴sin 4x＝2sin 2xcos 2x＝－.
∴cos 4x＝2cos22x－1＝2×－1＝－.
∴tan 4x＝＝.
法二：(变结构求值)
由sinsin＝，
得(sin x＋cos x)×(cos x－sin x)＝，
∴－sin2x＋cos2x＝，
即cos 2x＝.
下同解法一．
层级一 学业水平达标
1．已知cos x＝－，x为第二象限角，那么sin 2x＝ ( )
A．－ B．±
C．－ D.
解析：选C 因为cos x＝－，x为第二象限角，所以sin x＝，所以sin 2x＝2sin xcos x＝2××＝－，故选C.
2．若tan α＝3，则的值等于 ( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选D ＝＝2tan α＝2×3＝6，故选D.
3．已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵sin 2α＝，
∴cos2＝
＝＝＝.
4．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于 ( )
A．75° B．45°
C．60° D．30°
解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°.故选D.
5．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由已知得sin2α＋1－2sin2α＝，
所以sin2α＝，
而α∈，所以sin α＝，cos α＝.
因此，tan α＝.
6．(cos 75°－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝________.
解析：(cos 75 °－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝cos275°－sin275°＝cos 150°＝－cos 30°＝
－.
答案：－
7．已知α为第二象限角，sin α＝，则tan 2α＝______.
解析：由于α为第二象限角，且sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝－＝－.
答案：－
8．计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________.
解析：原式＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝
＝.
答案：
9．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，求α＋2β的值．
解：∵β为锐角，且cos β＝，
∴sin β＝.
∴tan β＝，tan 2β＝＝＝.
∴0<2β<，0<α＋2β<π，
又tan(α＋2β)＝＝＝－1，
∴α＋2β＝.
10．化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β.
解：法一：(从角入手)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－
＝1－＝.
法二：(从次数入手)
原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β
＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β＝＋＝.
层级二 应试能力达标
1．若＝，则cos的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选A 因为＝，
所以＝，
所以cos α－sin α＝，平方得1－2cos αsin α＝，
所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝.
2．若f(x)＝2tan x－，则f的值为 ( )
A．4 B.
C．4 D．8
解析：选D ∵f(x)＝2tan x－＝2tan x－＝2tan x＋＝2＝2×＝，
∴f＝＝＝8.
3．函数y＝2cos2－1是 ( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选A y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x，为奇函数，最小正周期T＝＝π，故选A.
4．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于 ( )
A. B.
C．0 D．－1
解析：选C 由向量互相垂直，得a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.
5．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，
∴cos α＝－，又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.
答案：
6．已知sin＝，则cos 2的值是________．
解析：∵sin＝，
∴cos＝cos 2
＝1－2sin2＝，
∴cos 2＝cos＝cos
＝－cos＝－.
答案：－
7．已知sin－2cos＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，
∴tan＝2，∴tan x＝＝＝－.
(2)由(1)，知tan x＝－，
∴
＝
＝
＝
＝×
＝×
＝.
8．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝2cos
＝－2sin α＝，所以sin α＝－.
又α∈，故cos α＝＝ ＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos＋2sin 2α sin＝2××＋2××＝.
课件25张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十六)”
(单击进入电子文档)
课时跟踪检测（二十六） 二倍角公式及其应用
层级一 学业水平达标
1．已知cos x＝－，x为第二象限角，那么sin 2x＝ ( )
A．－ B．±
C．－ D.
解析：选C 因为cos x＝－，x为第二象限角，所以sin x＝，所以sin 2x＝2sin xcos x＝2××＝－，故选C.
2．若tan α＝3，则的值等于 ( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选D ＝＝2tan α＝2×3＝6，故选D.
3．已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵sin 2α＝，
∴cos2＝
＝＝＝.
4．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于 ( )
A．75° B．45°
C．60° D．30°
解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°.故选D.
5．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由已知得sin2α＋1－2sin2α＝，
所以sin2α＝，
而α∈，所以sin α＝，cos α＝.
因此，tan α＝.
6．(cos 75°－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝________.
解析：(cos 75 °－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝cos275°－sin275°＝cos 150°＝－cos 30°＝
－.
答案：－
7．已知α为第二象限角，sin α＝，则tan 2α＝______.
解析：由于α为第二象限角，且sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝－＝－.
答案：－
8．计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________.
解析：原式＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝
＝.
答案：
9．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，求α＋2β的值．
解：∵β为锐角，且cos β＝，
∴sin β＝.
∴tan β＝，tan 2β＝＝＝.
∴0<2β<，0<α＋2β<π，
又tan(α＋2β)＝＝＝－1，
∴α＋2β＝.
10．化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β.
解：法一：(从角入手)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－
＝1－＝.
法二：(从次数入手)
原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β
＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β＝＋＝.
层级二 应试能力达标
1．若＝，则cos的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选A 因为＝，
所以＝，
所以cos α－sin α＝，平方得1－2cos αsin α＝，
所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝.
2．若f(x)＝2tan x－，则f的值为 ( )
A．4 B.
C．4 D．8
解析：选D ∵f(x)＝2tan x－＝2tan x－＝2tan x＋＝2＝2×＝，
∴f＝＝＝8.
3．函数y＝2cos2－1是 ( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选A y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x，为奇函数，最小正周期T＝＝π，故选A.
4．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于 ( )
A. B.
C．0 D．－1
解析：选C 由向量互相垂直，得a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.
5．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，
∴cos α＝－，又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.
答案：
6．已知sin＝，则cos 2的值是________．
解析：∵sin＝，
∴cos＝cos 2
＝1－2sin2＝，
∴cos 2＝cos＝cos
＝－cos＝－.
答案：－
7．已知sin－2cos＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，
∴tan＝2，∴tan x＝＝＝－.
(2)由(1)，知tan x＝－，
∴
＝
＝
＝
＝×
＝×
＝.
8．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝2cos
＝－2sin α＝，所以sin α＝－.
又α∈，故cos α＝＝ ＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos＋2sin 2α sin＝2××＋2××＝.
