预习课本P6～8，思考并完成以下问题
1．正角、负角、零角是如何定义的？
2．象限角的含义是什么？
3．终边相同角的含义是什么？
1．角的概念
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定 义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
[点睛] (1)角的范围不再限于0°～360°，小于90°的角不一定是锐角；
(2)角的概念是通过角的终边的旋转来推广的，根据角的终边的旋转方向，得到正角、负角和零角．
2．象限角
若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
[点睛] 当角的终边落在坐标轴上时，这个角不属于任何象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
[点睛] 对终边相同的角的理解
(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角都是第一象限角( )
(2)第一象限角一定不是负角( )
(3)小于180°的角是钝角、直角或锐角( )
(4)终边与始边重合的角是零角．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．－510°在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵－510°＝－720°＋210°，∴－510°角与210°角终边相同，在第三象限．
3．与－525°的终边相同的角可表示为( )
A．525°－k·360°(k∈Z) B．165°＋k·360°(k∈Z)
C．195°＋k·360°(k∈Z) D．－195°＋k·360°(k∈Z)
解析：选C 在α＝195°＋k·360°(k∈Z)中，令k＝－2，得α＝－525°.
4. 图中角α＝______，β＝______.
解析：α＝－(180°－30°)
＝－150°，
β＝30°＋180°＝210°.
答案：－150° 210°
有关角的概念的理解
[典例] 有下列说法：
①相差360°的整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②{α|α是锐角} {β|0°≤β＜90°}；
③第二象限角都是钝角；
④小于90°的角不一定都是锐角；
⑤三角形的内角必是第一、二象限角．
其中，正确的说法是________(填上所有正确的序号)．
[解析]
题号
正误
原因分析
①
×
终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立
②
√
α是锐角，即0°＜α＜90°，故{α|0°＜α＜90°}?{β|0°≤β＜90°}
③
×
第二象限角不一定都是钝角，如－300°是第二象限角，但它不是钝角
④
√
负角和零角都小于90°，但它们不是锐角
⑤
×
90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故⑤不正确
[答案] ②④
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
[活学活用]
1．下列说法正确的是( )
A．锐角不一定是第一象限的角
B．终边相同的角一定相等
C．终边与始边重合的角是零角
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
解析：选D 锐角大于0°且小于90°，一定是第一象限角，A不正确；30°与390°角的终边相同，但不相等，B不正确；360°角的终边也与始边重合，C不正确；只有D正确．
2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120° B－120°
C．－60° D．60°
解析：选B 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°.
求与角α终边相同的角
[典例] 写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.
[解] [法一 赋值法] 与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；
令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；
令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件；
故符合条件的角有－1 055°，－695°.
[法二 解不等式法] 与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
解不等式－1 080°≤k·360°＋25°＜－360°，
得－3≤k＜－1.
又∵k∈Z，∴k＝－3或k＝－2.
当k＝－3时，β＝－1 055°；当k＝－2时，β＝－695°，
故符合条件的角有－1 055°，－695°.
求与角α终边相同的角，首先将这样的角表示成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，然后采用赋值法或解不等式法求解，确定k的值，从而求出符合条件的角．
[活学活用]
已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
解：(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
区间角的表示
[典例] 如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
[解] (1)终边落在射线OM上的角的集合为
A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为
B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为
{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；
(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
[活学活用]
如图所示，
(1)写出终边在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边在射线OA上的角的集合是{α|α＝210°＋
k×360°，k∈Z}．
终边在射线OB上的角的集合是
{α|α＝300°＋k×360°，k∈Z}．
(2)终边在阴影部分(含边界)角的集合是
{α|210°＋k×360°≤α≤300°＋k×360°，k∈Z}．
层级一 学业水平达标
1．在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．
2．若角α满足α＝45°＋k×180°，k∈Z，则角α的终边落在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：选A 当k为奇数时，角α终边与225°角终边相同，在第三象限；当k为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．
3．将－785°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．－265°＋(－2)×360° B．295°＋(－3)×360°
C．295°＋(－2)×360° D．265°＋(－3)×360°
解析：选B －785°＝－1 080°＋295°＝(－3)×360°＋295°.
4．终边在坐标轴上的角的集合是( )
A．{φ|φ＝k·360°，k∈Z}
B．{φ|φ＝k·180°，k∈Z}
C．{φ|φ＝k·90°，k∈Z}
D．{φ|φ＝k·180°＋90°，k∈Z}
解析：选C 令k＝4m，k＝4m＋1，k＝4m＋2，k＝4m＋3，k，m∈Z.
分别代入选项C进行检验：
(1)若k＝4m，则φ＝4m·90°＝m·360°；
(2)若k＝4m＋1，则φ＝(4m＋1)·90°＝m·360°＋90°；
(3)若k＝4m＋2，则φ＝(4m＋2)·90°＝m·360°＋180°；
(4)若k＝4m＋3，则φ＝(4m＋3)·90°＝m·360°＋270°.
综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k·90°，k∈Z}．
5．已知α是第三象限的角，则的终边所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
解析：选D α是第三象限的角，即180°＋k×360°＜α＜270°＋k×360°(k∈Z)，所以90°＋k×180°＜＜135°＋k×180°(k∈Z)．分别令k为偶数和奇数，可知的终边在第二或第四象限．
6．已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－60°，则β＝________________.
解析：－60°角的终边关于y＝－x对称的射线对应角为－45°＋15°＝－30°，∴β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
答案：{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}
7．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度；时针转了________度．
解析：将时钟拨慢5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转动的角度都是正角．
这时，分针转过的角度是＝30°，
时针转过的角度是＝2.5°.
答案：30 2.5
8．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.
解析：由于5α与α的始边和终边相同，
∴这两角的差应是360°的整数倍，
即5α－α＝4α＝k×360°(k∈Z)，∴α＝k×90°，
又∵180°＜α＜360°，则k＝3，故α＝270°.
答案：270°
9．已知角α的终边与－120°角的终边关于x轴对称，且－360°＜α＜360°，求角α.
解：如图，∵120°角与－120°角的终边关于x轴对称，
∴角α的终边与120°角的终边相同，
∴α＝k·360°＋120°(k∈Z)．
∵－360°＜α＜360°，
∴－＜k＜，
∴k＝－1或k＝0，
∴α＝－240°或α＝120°.
10．已知直线l1：y＝x及直线l2：y＝－x，请表示出终边落在直线l1与l2上的角．
解：由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝210°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；
终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．
所以终边落在直线l1与l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·90°，n∈Z}．
层级二 应试能力达标
1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
解析：选B 如图，知∠AOC＝120°－270°＝－150°.
2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝( )
A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}
解析：选C 由－180°＜k·90°－36°＜180°(k∈Z)得－144°＜k·90°＜216°(k∈Z)，∴－＜k＜(k∈Z)，∴k＝－1,0,1,2，
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.
3．如果角α与45°角的终边相同，角β与－135°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
解析：选D 由题意，得α＝k1·360°＋45°(k1∈Z)，β＝k2·360°－135°(k2∈Z)，∴α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．
4．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与角β的终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x对称，所以角α与角β的终边关于x轴对称．
5．α的终边与30°的终边关于直线y＝x对称，则α＝________.
解析：因为α的终边与30°的终边关于直线y＝x对称，所以α的终边与60°的终边重合，故α＝k·360°＋60°，k∈Z.
答案：k·360°＋60°，k∈Z
6．设集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，N＝{β|β＝k·45°，k∈Z}，则集合M与集合N的关系是________．
解析：集合M中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图①.集合N中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图②.比较图①和图②，不难得出M N.
答案：M N
7.如图所示，角α的终边落在图中阴影部分内(包括边界)，试写出角α的范围．
解：与30°角和210°角终边相同的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k×180°，k∈Z}.180°－75°＝105°，360°－75°＝285°，与105°角和285°角终边相同的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k×180°，k∈Z}．因此，角α的范围为{α|30°＋k×180°≤α≤105°＋k×180°，k∈Z}．
8.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．
解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5＜＜112.5°.
又k∈Z，∴k＝3或4，∴所求的θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限．
课件27张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二)”
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课时跟踪检测（二） 角的概念的推广
层级一 学业水平达标
1．在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．
2．若角α满足α＝45°＋k×180°，k∈Z，则角α的终边落在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：选A 当k为奇数时，角α终边与225°角终边相同，在第三象限；当k为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．
3．将－785°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．－265°＋(－2)×360° B．295°＋(－3)×360°
C．295°＋(－2)×360° D．265°＋(－3)×360°
解析：选B －785°＝－1 080°＋295°＝(－3)×360°＋295°.
4．终边在坐标轴上的角的集合是( )
A．{φ|φ＝k·360°，k∈Z}
B．{φ|φ＝k·180°，k∈Z}
C．{φ|φ＝k·90°，k∈Z}
D．{φ|φ＝k·180°＋90°，k∈Z}
解析：选C 令k＝4m，k＝4m＋1，k＝4m＋2，k＝4m＋3，k，m∈Z.
分别代入选项C进行检验：
(1)若k＝4m，则φ＝4m·90°＝m·360°；
(2)若k＝4m＋1，则φ＝(4m＋1)·90°＝m·360°＋90°；
(3)若k＝4m＋2，则φ＝(4m＋2)·90°＝m·360°＋180°；
(4)若k＝4m＋3，则φ＝(4m＋3)·90°＝m·360°＋270°.
综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k·90°，k∈Z}．
5．已知α是第三象限的角，则的终边所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
解析：选D α是第三象限的角，即180°＋k×360°＜α＜270°＋k×360°(k∈Z)，所以90°＋k×180°＜＜135°＋k×180°(k∈Z)．分别令k为偶数和奇数，可知的终边在第二或第四象限．
6．已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－60°，则β＝________________.
解析：－60°角的终边关于y＝－x对称的射线对应角为－45°＋15°＝－30°，∴β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
答案：{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}
7．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度；时针转了________度．
解析：将时钟拨慢5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转动的角度都是正角．
这时，分针转过的角度是＝30°，
时针转过的角度是＝2.5°.
答案：30 2.5
8．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.
解析：由于5α与α的始边和终边相同，
∴这两角的差应是360°的整数倍，
即5α－α＝4α＝k×360°(k∈Z)，∴α＝k×90°，
又∵180°＜α＜360°，则k＝3，故α＝270°.
答案：270°
9．已知角α的终边与－120°角的终边关于x轴对称，且－360°＜α＜360°，求角α.
解：如图，∵120°角与－120°角的终边关于x轴对称，
∴角α的终边与120°角的终边相同，
∴α＝k·360°＋120°(k∈Z)．
∵－360°＜α＜360°，
∴－＜k＜，
∴k＝－1或k＝0，
∴α＝－240°或α＝120°.
10．已知直线l1：y＝x及直线l2：y＝－x，请表示出终边落在直线l1与l2上的角．
解：由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝210°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；
终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．
所以终边落在直线l1与l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·90°，n∈Z}．
层级二 应试能力达标
1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
解析：选B 如图，知∠AOC＝120°－270°＝－150°.
2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝( )
A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}
解析：选C 由－180°＜k·90°－36°＜180°(k∈Z)得－144°＜k·90°＜216°(k∈Z)，∴－＜k＜(k∈Z)，∴k＝－1,0,1,2，
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.
3．如果角α与45°角的终边相同，角β与－135°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
解析：选D 由题意，得α＝k1·360°＋45°(k1∈Z)，β＝k2·360°－135°(k2∈Z)，∴α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．
4．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与角β的终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x对称，所以角α与角β的终边关于x轴对称．
5．α的终边与30°的终边关于直线y＝x对称，则α＝________.
解析：因为α的终边与30°的终边关于直线y＝x对称，所以α的终边与60°的终边重合，故α＝k·360°＋60°，k∈Z.
答案：k·360°＋60°，k∈Z
6．设集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，N＝{β|β＝k·45°，k∈Z}，则集合M与集合N的关系是________．
解析：集合M中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图①.集合N中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图②.比较图①和图②，不难得出M N.
答案：M N
7.如图所示，角α的终边落在图中阴影部分内(包括边界)，试写出角α的范围．
解：与30°角和210°角终边相同的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k×180°，k∈Z}.180°－75°＝105°，360°－75°＝285°，与105°角和285°角终边相同的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k×180°，k∈Z}．因此，角α的范围为{α|30°＋k×180°≤α≤105°＋k×180°，k∈Z}．
8.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．
解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5＜＜112.5°.
又k∈Z，∴k＝3或4，∴所求的θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限．
