预习课本P9～12，思考并完成以下问题
1．1弧度角是如何定义的？
2．角的度量有哪两种方法？
3．弧度制下扇形的弧长与面积公式如何表示？
1．1弧度角的规定
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，它的单位符号是rad，读作弧度．
[点睛] (1)1 rad等于半径长的圆弧所对的圆心角，而1°等于圆周的所对的圆心角．
(2)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．
(3)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常省略不写，但以度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不能省略．
2．弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
3．角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017_45 rad
1 rad＝°≈57°18′
4．弧长公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角弧度数，n为圆心角角度数，则
度量
单位
类别
角度制
弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝|α|r
扇形的面积
S＝πr2
S＝lr＝|α|r2
[点睛] (1)在应用扇形面积公式S＝|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．
(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．
(3)在弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆．
(4)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度是长度等于半径的弧( )
(2)1弧度是1°的圆心角所对的弧( )
(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )
(4)第一象限角可表示为( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2. 弧度化为角度是( )
A．278° B．280°
C．288° D．318°
解析：选C ∵1 rad＝°，∴＝°＝288°.
3．半径为1 cm，圆心角为150°的角所对的弧长为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
解析：选D ∵α＝150°＝ rad，∴l＝α·r＝ cm.
4．已知扇形的周长是8 cm，圆心角为2 rad，则扇形的弧长为________ cm.
解析：设扇形的弧长、半径、圆心角分别为l cm，r cm，θ rad，则l＝rθ＝2r.由l＋2r＝8，即2l＝8，得l＝4.即扇形的弧长为4 cm.
答案：4
角度与弧度的互化
[典例] 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．
[解] (1)∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510×＝π，
α2＝－750°＝－750×＝－π.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．
(2)β1＝＝×＝144°.
设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.
∴k＝－1或k＝0.∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－＝－×＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵－360°≤θ2＜360°，
∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0或k＝1.
∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
[活学活用]
将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解：(1)20°＝20× rad＝ rad.
(2)－15°＝－15× rad＝－ rad.
(3) rad＝×180°＝105°.
(4)－ rad＝－×180°＝－396°.
用弧度制表示终边相同的角
[典例] 如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合．
[解] (1)如图(1)所示，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝，于是，
所求集合S＝.
(2)如图(2)所示，以OB为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－，而135°＝135×＝，于是，所求集合S＝.
在弧度制下写出终边相同的角并判断角所在象限的方法和步骤
(1)在弧度制下，与α终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，其中α的单位是弧度．
(2)确定α所在象限的常用步骤：先把它化成2kπ＋θ(0≤θ＜2π，k∈Z)的形式，再判断θ所在的象限即可．
[活学活用]
已知角α＝－2 018°.
(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．
解：(1)因为α＝－2 018°＝－6×360°＋142°，
且142°＝142×＝，
所以α＝－12π＋，故α是第二象限角．
(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2kπ＋，k∈Z，
又－2π≤θ＜4π，所以k＝－1,0,1，
将k的值分别代入θ＝2kπ＋，k∈Z，
得θ＝－，，.
扇形的弧长与面积公式的应用
[典例] 解答下列各题：
(1)已知扇形的面积为1 cm2，它的周长为4 cm，求它的圆心角；
(2)已知半径为10的⊙O中，弦AB的长为10.求弦AB所对的圆心角α的弧度值．
[解] (1)设扇形的弧长为l，半径为r，则l＝4－2r.
∵S扇形＝l·r，∴(4－2r)·r＝1，∴r＝1，l＝2.
故它的圆心角的弧度数为α＝＝2(rad)．
(2)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，所以α＝∠AOB＝60°＝.
[一题多变]
1．[变设问]若题(2)中条件不变，改为求α所在扇形的弧长l.
解：∵α＝，r＝10，
∴l＝αr＝.
2．[变条件]若题(2)中条件“弦AB的长为10”变为“扇形AOB的周长等于所在圆的周长”，求扇形的圆心角α的弧度值．
解：由条件知2π×10＝2×10＋l，
∴l＝20(π－1)，
∴α＝＝＝2(π－1)．
弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
层级一 学业水平达标
1．下列说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
解析：选D 由角度制和弧度制的定义，知A、B、C说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．
2．角－π的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D －π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.
3．下列各角中与240°角终边相同的角为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C 240°＝，而－＝－2π.故选C.
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；
当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C.
5．已知扇形的弧所对的圆心角为27°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为( )
A．3π cm B．30 cm
C．(40＋3π)cm D．540 cm
解析：选C 27°＝27× rad＝ rad，扇形的周长为20×2＋×20＝(40＋3π)cm.
6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
解析：－135°＝－135×＝－π，
π＝×180°＝660°.
答案：－π 660°
7．已知某扇形的圆心角是72°，半径为5，则它的弧长为________，面积为________．
解析：∵72°＝ rad，
∴l＝×5＝2π，S＝l·r＝×2π×5＝5π.
答案：2π 5π
8．已知四个角α＝1，β＝1°，γ＝，δ＝－，则这四个角由小到大的排列顺序是 ________________．
解析：∵α＝1≈57°，γ＝＝60°，δ＝－＝－30°，
∴δ＜β＜α＜γ.
答案：δ＜β＜α＜γ
9．把下列各角化为2kπ＋α，k∈Z,0≤α＜2π的形式，并判断该角是第几象限角．
(1)π； (2)－1 104°.
解：(1)π＝6π＋.∵是第二象限角，
∴π是第二象限角．
(2)－1 104°＝－1 104×＝－π＝－8π＋π.
∵π是第四象限角，∴－1 104°是第四象限角．
10. 如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
解：∵120°＝×120＝，
∴l＝6×＝4π，∴的长为4π.
∴S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，有S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB
＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.
层级二 应试能力达标
1．若α＝－2，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．
2．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的2倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
解析：选B 设原来的半径和弧长分别为r和l，
则扩大后分别变为2r,2l，
∴原扇形的面积为lr，后来的为×2r×2l＝2lr，
面积变为原来的4倍，故A和C错误；
原扇形的圆心角为，后来的为，故选B.
3．终边落在坐标轴上的角的集合是( )
A．{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.
C.
D.
解析：选B 终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z}，化成弧度为.
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
5．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为________ cm2.
解析：∵π＝·r，∴r＝4(cm)，∴S＝lr＝2π(cm2)．
答案：2π
6．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长为________．
解析：扇形半径r＝，故弧长l＝α·r＝.
答案：
7. 如图，用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部
分的角的集合．
解：图中，以OA为终边的角与120°角的终边相同，以OB为终边的角与300°
角的终边相同，120°，300°化成弧度数分别为，，阴影所表示的区域由两部
分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为
∪
＝∪
＝.
8．已知扇形的周长为10 cm，则当扇形的半径和圆心角α(α＞0)各取何值时，扇形的面积最大？
解：设扇形的半径为r cm，则弧长为(10－2r)cm.
由题意得S＝(10－2r)·r＝－r2＋5r＝－2＋，
所以当r＝时，Smax＝.
此时l＝10－2r＝5(cm)，则α＝＝＝2(rad)．
综上所述，当扇形的半径为 cm，圆心角α为2 rad时，扇形的面积最大．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(三)”
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课时跟踪检测（三） 弧度制
层级一 学业水平达标
1．下列说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
解析：选D 由角度制和弧度制的定义，知A、B、C说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．
2．角－π的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D －π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.
3．下列各角中与240°角终边相同的角为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C 240°＝，而－＝－2π=－.故选C.
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；
当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C.
5．已知扇形的弧所对的圆心角为27°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为( )
A．3π cm B．30 cm
C．(40＋3π)cm D．540 cm
解析：选C 27°＝27× rad＝ rad，扇形的周长为20×2＋×20＝(40＋3π)cm.
6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
解析：－135°＝－135×＝－π，
π＝×180°＝660°.
答案：－π 660°
7．已知某扇形的圆心角是72°，半径为5，则它的弧长为________，面积为________．
解析：∵72°＝ rad，
∴l＝×5＝2π，S＝l·r＝×2π×5＝5π.
答案：2π 5π
8．已知四个角α＝1，β＝1°，γ＝，δ＝－，则这四个角由小到大的排列顺序是 ________________．
解析：∵α＝1≈57°，γ＝＝60°，δ＝－＝－30°，
∴δ＜β＜α＜γ.
答案：δ＜β＜α＜γ
9．把下列各角化为2kπ＋α，k∈Z,0≤α＜2π的形式，并判断该角是第几象限角．
(1)π； (2)－1 104°.
解：(1)π＝6π＋.∵是第二象限角，
∴π是第二象限角．
(2)－1 104°＝－1 104×＝－π＝－8π＋π.
∵π是第四象限角，∴－1 104°是第四象限角．
10. 如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
解：∵120°＝×120＝，
∴l＝6×＝4π，∴的长为4π.
∴S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，有S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB
＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.
层级二 应试能力达标
1．若α＝－2，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．
2．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的2倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
解析：选B 设原来的半径和弧长分别为r和l，
则扩大后分别变为2r,2l，
∴原扇形的面积为lr，后来的为×2r×2l＝2lr，
面积变为原来的4倍，故A和C错误；
原扇形的圆心角为，后来的为，故选B.
3．终边落在坐标轴上的角的集合是( )
A．{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.
C.
D.
解析：选B 终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z}，化成弧度为.
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
5．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为________ cm2.
解析：∵π＝·r，∴r＝4(cm)，∴S＝lr＝2π(cm2)．
答案：2π
6．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长为________．
解析：扇形半径r＝，故弧长l＝α·r＝.
答案：
7. 如图，用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部
分的角的集合．
解：图中，以OA为终边的角与120°角的终边相同，以OB为终边的角与300°
角的终边相同，120°，300°化成弧度数分别为，，阴影所表示的区域由两部
分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为
∪
＝∪
＝.
8．已知扇形的周长为10 cm，则当扇形的半径和圆心角α(α＞0)各取何值时，扇形的面积最大？
解：设扇形的半径为r cm，则弧长为(10－2r)cm.
由题意得S＝(10－2r)·r＝－r2＋5r＝－2＋，
所以当r＝时，Smax＝.
此时l＝10－2r＝5(cm)，则α＝＝＝2(rad)．
综上所述，当扇形的半径为 cm，圆心角α为2 rad时，扇形的面积最大．
