预习课本P3～5，思考并完成以下问题
1．什么叫周期现象？
2．如何通过散点图判断周期性？
周期现象
我们把以相同间隔重复出现的现象称为周期现象．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)地球的自转是周期现象( )
(2)某高速公路每天通过的车辆数是周期变化的( )
(3)连续抛掷一枚硬币，出现正面向上的次数是周期变化的( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．观察“ABCDABCDAB…”，寻找规律，则第20个字母是( )
A．A B．B
C．C D．D
解析：选D 周期是4,20＝5×4，所以第20个字母是D.
3．下列函数图像中，不具有周期性的是( )
解析：选C C中x∈(－2,2)之间的图像在前后都没有重复出现．
4．月球围绕地球转，月球到地球的距离随着时间的变化而变化，这种现象是周期现象，那么周期是________．
解析：月球围绕地球一个月转一圈．
答案：一个月
利用图像判断周期现象
[典例] 下表是2018年5月1日在泰山山顶每隔2 h测得的温度(单位：℃).
时刻
气温
0
13.5
2
6.0
4
0.1
6
－2
8
0.14
10
5.9
12
14.1
14
22.5
16
27.5
18
28
20
27.3
22
21.0
24
14.5
(1)以时刻为x轴，以气温为y轴，描出图像；
(2)若山顶的温度随时刻t的变化具有周期现象，试估计泰山山顶一天中的最大温差．
[解] (1)如图：
(2)由图(表)知，泰山山顶一天中的最大温差为28－(－2)＝30(℃)．
利用图像判断周期现象的方法
(1)由题中提供的数据画出图像；
(2)观察图像是否是随着一个变量的等值变化，另一个变量的值重复出现，若满足，则是周期现象．
[活学活用]
我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小．下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.
t/s
5
10
15
20
25
30
p/mmHg
93.35
136.65
115
93.35
136.65
115
t/s
35
40
45
50
55
60
p/mmHg
93.35
136.65
115
93.35
136.65
115
(1)根据上表提供的数据在平面直角坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图；
(2)说明血压变化的规律．
解：(1)散点图如图．
(2)从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T(15 s)，血压就重复出现相同的数值，因此，血压是周期性变化的．
周期现象的计算问题
[典例] 游乐场中的摩天轮有10个座舱，每个座舱最多乘4人，每30分钟转一圈，请估算在16个小时内最多有多少人乘坐．
[解] ∵摩天轮每30分钟转一圈，
∴摩天轮转动的周期T＝30(分钟)．又每一个周期最多乘坐4×10＝40(人)，在16个小时内共有32个周期，因而在16个小时内最多有40×32＝1 280(人)乘坐．
应用周期现象解决实际应用问题的一般步骤
(1)判断实际应用问题中的现象是否为周期现象；
(2)如果是周期现象，那么进而探求其周期；
(3)利用周期求解需要解决的问题．
[活学活用]
若今天是星期一，则7k＋1(k∈N*)天后的那一天是星期几？
解：因为今天是星期一，明天是星期二，……，故7k(k∈N*)天后的那一天是星期一，所以7k＋1(k∈N*)天后的那一天是星期二.
周期现象的应用
[典例] 一根长为l的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，如图．已知小球从M点放下，经过0.5秒第一次到达平衡位置O，求小球第三次经过平衡位置O的时间．
[解] 设小球从点M处放下，经过平衡位置O到达最高点N，由于第一次到达平衡位置的时间为0.5秒，因此由M点第一次到达N点的时间为1秒，由N处摆动到平衡位置是第二次到达平衡位置，用时0.5秒，到达M点用时0.5秒，从点M再次达到平衡位置O，即第三次到达平衡位置又用时0.5秒．故第三次经过平衡位置的时间为1＋0.5＋0.5＋0.5＝2.5(秒)．
[一题多变]
1．[变设问]本题条件不变，求小球运动的周期．
解：自点M处放下到达点N，再回到点M恰好是一个周期，故周期为4×0.5＝2秒．
2．[变设问]本题条件不变，经过7.2秒，小球是在平衡位置的右边还是左边？
解：由于7.2＝3×2＋1.2，故7.2秒时小球的位置与1.2秒时小球的位置相同，由于M到N用时1秒，由N到O用时0.5秒，1.2＜1.5，故7.2秒时小球在平衡位置的左边．
应用周期现象解决实际问题的两个要点
层级一 学业水平达标
1．下列现象是周期现象的是( )
①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震．
A．①② B．①②③
C．①②④ D．③④
解析：选A 日出日落是周期现象；潮汐是周期现象；海啸、地震均没有规律，不是周期现象．故选A.
2.如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O →B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是( )
A．2T B．T
C. D.
解析：选B 整个运动恰好是一个周期，所以运动的时间是T.
3．2018年，小明17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是( )
A．26 B．32
C．36 D．41
解析：选D 由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D.
4．下列变量y关于变量x的散点图中，可能是周期现象的是( )
解析：选D A、B、C中，变量x每隔任何一段间隔，变量y都不是重复变化的，所以A、B、C均不是周期现象；D中变量x每隔一段间隔，变量y重复变化，所以是周期现象．
5．0.428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是( )
A．5 B．4
C．8 D．7
解析：选D 由题意知数字重复出现的周期为6，而545＝6×90＋5，故小数点后第545位上的数字是7.
6．有以下现象：①候鸟的迁徙；②每年6月7号、8号高考；③某交通路口每次绿灯通过的车辆数．其中是周期现象的有________．
解析：显然①②是周期现象．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但是每次绿灯通过的车辆数不一定相同，故③不是周期现象．
答案：①②
7．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．
解析：小球的排列每隔7个呈周期变化，30＝4×7＋2，故第30个小球是红色．
答案：红
8．若现在是二月份，100个月后的那个月是________月份．
解析：一年有12个月，月份是12个月循环一次，100＝12×8＋4，故100个月后是六月份．
答案：六
9.如图是一单摆，摆球从点B到点O，再到点C用时1.6 s(不计阻力)．若从摆球在点B处开始计时，经过1 min后，请估计摆球相对于点O的位置．
解：由题意知，该摆球摆动一个来回需用时3.2 s，因为1 min＝60 s＝(18×3.2＋2.4)s，而2.4－1.6＝0.8 s，所以1 min后摆球在点O处．
10．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？
解：共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．
层级二 应试能力达标
1．按照规定，奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( )
A．2020 B．2024
C．2026 D．2032
解析：选C 2 026＝2 008＋4×4＋2.显然，2 026不是4的倍数，故选C.
2．探索图所呈现的规律，判断2 016至2 018箭头的方向是( )
解析：选A 观察图可知每增加4个数字就重复相同的位置，则2 016至2 018箭头的方向与0至2箭头的方向是相同的．
3．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数值重复出现一次所需的时间T及在t＝25 s时钟摆的高度为( )
A．2 s,10 mm B．1 s,20 mm
C．1 s,10 mm D．2 s,20 mm
解析：选D 结合周期现象的定义我们由图可知该函数值重复出现一次所需的时间T＝2 s，故t＝25 s＝12×2 s＋1 s时钟摆的高度与t＝1 s时的高度相同，为20 mm.
4．四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 018次互换座位后，小兔的位置对应的是( )
①猴
②兔
③猫
④鼠
①猫
②鼠
③猴
④兔
①鼠
②猫
③兔
④猴
①兔
②猴
③鼠
④猫
开始 第1次 第2次 第3次
A．编号① B．编号②
C．编号③ D．编号④
解析：选C 由已知和题图得，小兔自第1次交换位置后座位的编号依次为④→③→①→②→④…，得到每4次一个循环．因为2 018÷4的余数为2，所以第2 018次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为③.
5．如图，从左向右按照一定规律摆放的黑球和白球．已知第1,2个是黑球，第3个是白球，……，以此类推，第2 019个球是________(填白球或黑球)．
解析：球的摆放呈周期性，第3,6,9，…个球都是白球，其余的都是黑球．因为2 019＝673×3，所以第2 019个球是白球．
答案：白球
6．已知函数f(x)的图像是以10为周期重复出现的，若f(1)＝2 018，则f(41)＝________.
解析：由题意，知f(x)的周期为10，所以f(41)＝f(4×10＋1)＝f(1)＝ 2 018.
答案：2 018
7．太空中某变星的亮度随着时间的变化而变化，下表是某研究人员在某月(28天)中观察该变星所得到的部分数据：
时间
2日
4日
6日
8日
10日
12日
14日
亮度等级
4.2
4.5
3.6
3.9
4.2
4.5
3.6
时间
16日
18日
20日
22日
24日
26日
28日
亮度等级
3.9
4.2
4.5
3.6
3.9
4.2
4.5
试判断该变星的亮度变化是否是周期现象，并推断下个月(每月按30天计)第12日该变星的亮度等级是多少．
解：画出散点图，如图，从图中可以看出该变星的亮度等级每8天重复出现，是周期现象．事实上，无论从哪日算起，每8天，该变星都会出现相同的亮度等级，所以下个月第12日该变星的亮度等级是4.2.
8.如图所示，游乐场里的摩天轮顺时针匀速旋转，旋转一周需要20分钟．
(1)若某游客从摩天轮的最低点上去，25分钟后，他是在摩天轮的左侧还是右侧？
(2)假设摩天轮有12个座舱，每个座舱最多乘坐4人，摩天轮转一周换一批人，若不计换人的时间，试估算2小时内最多有多少人乘坐．
解：(1)旋转一周需要20分钟，由于摩天轮是匀速旋转的，从最低点开始经过10分钟才可到达最高点，则该游客25分钟后在摩天轮的左侧．
(2)每20分钟转一圈，则2小时内共转6圈，每转一圈最多可乘坐的人数为48，故2小时内最多可以乘坐6×48＝288(人)．
预习课本P6～8，思考并完成以下问题
1．正角、负角、零角是如何定义的？
2．象限角的含义是什么？
3．终边相同角的含义是什么？
1．角的概念
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定 义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
[点睛] (1)角的范围不再限于0°～360°，小于90°的角不一定是锐角；
(2)角的概念是通过角的终边的旋转来推广的，根据角的终边的旋转方向，得到正角、负角和零角．
2．象限角
若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
[点睛] 当角的终边落在坐标轴上时，这个角不属于任何象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
[点睛] 对终边相同的角的理解
(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角都是第一象限角( )
(2)第一象限角一定不是负角( )
(3)小于180°的角是钝角、直角或锐角( )
(4)终边与始边重合的角是零角．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．－510°在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵－510°＝－720°＋210°，∴－510°角与210°角终边相同，在第三象限．
3．与－525°的终边相同的角可表示为( )
A．525°－k·360°(k∈Z) B．165°＋k·360°(k∈Z)
C．195°＋k·360°(k∈Z) D．－195°＋k·360°(k∈Z)
解析：选C 在α＝195°＋k·360°(k∈Z)中，令k＝－2，得α＝－525°.
4. 图中角α＝______，β＝______.
解析：α＝－(180°－30°)
＝－150°，
β＝30°＋180°＝210°.
答案：－150° 210°
有关角的概念的理解
[典例] 有下列说法：
①相差360°的整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②{α|α是锐角} {β|0°≤β＜90°}；
③第二象限角都是钝角；
④小于90°的角不一定都是锐角；
⑤三角形的内角必是第一、二象限角．
其中，正确的说法是________(填上所有正确的序号)．
[解析]
题号
正误
原因分析
①
×
终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立
②
√
α是锐角，即0°＜α＜90°，故{α|0°＜α＜90°}?{β|0°≤β＜90°}
③
×
第二象限角不一定都是钝角，如－300°是第二象限角，但它不是钝角
④
√
负角和零角都小于90°，但它们不是锐角
⑤
×
90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故⑤不正确
[答案] ②④
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
[活学活用]
1．下列说法正确的是( )
A．锐角不一定是第一象限的角
B．终边相同的角一定相等
C．终边与始边重合的角是零角
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
解析：选D 锐角大于0°且小于90°，一定是第一象限角，A不正确；30°与390°角的终边相同，但不相等，B不正确；360°角的终边也与始边重合，C不正确；只有D正确．
2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120° B－120°
C．－60° D．60°
解析：选B 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°.
求与角α终边相同的角
[典例] 写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.
[解] [法一 赋值法] 与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；
令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；
令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件；
故符合条件的角有－1 055°，－695°.
[法二 解不等式法] 与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
解不等式－1 080°≤k·360°＋25°＜－360°，
得－3≤k＜－1.
又∵k∈Z，∴k＝－3或k＝－2.
当k＝－3时，β＝－1 055°；当k＝－2时，β＝－695°，
故符合条件的角有－1 055°，－695°.
求与角α终边相同的角，首先将这样的角表示成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，然后采用赋值法或解不等式法求解，确定k的值，从而求出符合条件的角．
[活学活用]
已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
解：(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
区间角的表示
[典例] 如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
[解] (1)终边落在射线OM上的角的集合为
A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为
B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为
{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；
(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
[活学活用]
如图所示，
(1)写出终边在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边在射线OA上的角的集合是{α|α＝210°＋
k×360°，k∈Z}．
终边在射线OB上的角的集合是
{α|α＝300°＋k×360°，k∈Z}．
(2)终边在阴影部分(含边界)角的集合是
{α|210°＋k×360°≤α≤300°＋k×360°，k∈Z}．
层级一 学业水平达标
1．在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．
2．若角α满足α＝45°＋k×180°，k∈Z，则角α的终边落在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：选A 当k为奇数时，角α终边与225°角终边相同，在第三象限；当k为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．
3．将－785°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．－265°＋(－2)×360° B．295°＋(－3)×360°
C．295°＋(－2)×360° D．265°＋(－3)×360°
解析：选B －785°＝－1 080°＋295°＝(－3)×360°＋295°.
4．终边在坐标轴上的角的集合是( )
A．{φ|φ＝k·360°，k∈Z}
B．{φ|φ＝k·180°，k∈Z}
C．{φ|φ＝k·90°，k∈Z}
D．{φ|φ＝k·180°＋90°，k∈Z}
解析：选C 令k＝4m，k＝4m＋1，k＝4m＋2，k＝4m＋3，k，m∈Z.
分别代入选项C进行检验：
(1)若k＝4m，则φ＝4m·90°＝m·360°；
(2)若k＝4m＋1，则φ＝(4m＋1)·90°＝m·360°＋90°；
(3)若k＝4m＋2，则φ＝(4m＋2)·90°＝m·360°＋180°；
(4)若k＝4m＋3，则φ＝(4m＋3)·90°＝m·360°＋270°.
综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k·90°，k∈Z}．
5．已知α是第三象限的角，则的终边所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
解析：选D α是第三象限的角，即180°＋k×360°＜α＜270°＋k×360°(k∈Z)，所以90°＋k×180°＜＜135°＋k×180°(k∈Z)．分别令k为偶数和奇数，可知的终边在第二或第四象限．
6．已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－60°，则β＝________________.
解析：－60°角的终边关于y＝－x对称的射线对应角为－45°＋15°＝－30°，∴β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
答案：{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}
7．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度；时针转了________度．
解析：将时钟拨慢5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转动的角度都是正角．
这时，分针转过的角度是＝30°，
时针转过的角度是＝2.5°.
答案：30 2.5
8．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.
解析：由于5α与α的始边和终边相同，
∴这两角的差应是360°的整数倍，
即5α－α＝4α＝k×360°(k∈Z)，∴α＝k×90°，
又∵180°＜α＜360°，则k＝3，故α＝270°.
答案：270°
9．已知角α的终边与－120°角的终边关于x轴对称，且－360°＜α＜360°，求角α.
解：如图，∵120°角与－120°角的终边关于x轴对称，
∴角α的终边与120°角的终边相同，
∴α＝k·360°＋120°(k∈Z)．
∵－360°＜α＜360°，
∴－＜k＜，
∴k＝－1或k＝0，
∴α＝－240°或α＝120°.
10．已知直线l1：y＝x及直线l2：y＝－x，请表示出终边落在直线l1与l2上的角．
解：由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝210°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；
终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．
所以终边落在直线l1与l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·90°，n∈Z}．
层级二 应试能力达标
1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
解析：选B 如图，知∠AOC＝120°－270°＝－150°.
2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝( )
A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}
解析：选C 由－180°＜k·90°－36°＜180°(k∈Z)得－144°＜k·90°＜216°(k∈Z)，∴－＜k＜(k∈Z)，∴k＝－1,0,1,2，
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.
3．如果角α与45°角的终边相同，角β与－135°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
解析：选D 由题意，得α＝k1·360°＋45°(k1∈Z)，β＝k2·360°－135°(k2∈Z)，∴α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．
4．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与角β的终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x对称，所以角α与角β的终边关于x轴对称．
5．α的终边与30°的终边关于直线y＝x对称，则α＝________.
解析：因为α的终边与30°的终边关于直线y＝x对称，所以α的终边与60°的终边重合，故α＝k·360°＋60°，k∈Z.
答案：k·360°＋60°，k∈Z
6．设集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，N＝{β|β＝k·45°，k∈Z}，则集合M与集合N的关系是________．
解析：集合M中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图①.集合N中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图②.比较图①和图②，不难得出M N.
答案：M N
7.如图所示，角α的终边落在图中阴影部分内(包括边界)，试写出角α的范围．
解：与30°角和210°角终边相同的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k×180°，k∈Z}.180°－75°＝105°，360°－75°＝285°，与105°角和285°角终边相同的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k×180°，k∈Z}．因此，角α的范围为{α|30°＋k×180°≤α≤105°＋k×180°，k∈Z}．
8.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．
解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5＜＜112.5°.
又k∈Z，∴k＝3或4，∴所求的θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限．
预习课本P9～12，思考并完成以下问题
1．1弧度角是如何定义的？
2．角的度量有哪两种方法？
3．弧度制下扇形的弧长与面积公式如何表示？
1．1弧度角的规定
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，它的单位符号是rad，读作弧度．
[点睛] (1)1 rad等于半径长的圆弧所对的圆心角，而1°等于圆周的所对的圆心角．
(2)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．
(3)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常省略不写，但以度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不能省略．
2．弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
3．角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017_45 rad
1 rad＝°≈57°18′
4．弧长公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角弧度数，n为圆心角角度数，则
度量
单位
类别
角度制
弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝|α|r
扇形的面积
S＝πr2
S＝lr＝|α|r2
[点睛] (1)在应用扇形面积公式S＝|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．
(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．
(3)在弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆．
(4)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度是长度等于半径的弧( )
(2)1弧度是1°的圆心角所对的弧( )
(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )
(4)第一象限角可表示为( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2. 弧度化为角度是( )
A．278° B．280°
C．288° D．318°
解析：选C ∵1 rad＝°，∴＝°＝288°.
3．半径为1 cm，圆心角为150°的角所对的弧长为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
解析：选D ∵α＝150°＝ rad，∴l＝α·r＝ cm.
4．已知扇形的周长是8 cm，圆心角为2 rad，则扇形的弧长为________ cm.
解析：设扇形的弧长、半径、圆心角分别为l cm，r cm，θ rad，则l＝rθ＝2r.由l＋2r＝8，即2l＝8，得l＝4.即扇形的弧长为4 cm.
答案：4
角度与弧度的互化
[典例] 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．
[解] (1)∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510×＝π，
α2＝－750°＝－750×＝－π.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．
(2)β1＝＝×＝144°.
设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.
∴k＝－1或k＝0.∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－＝－×＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵－360°≤θ2＜360°，
∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0或k＝1.
∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
[活学活用]
将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解：(1)20°＝20× rad＝ rad.
(2)－15°＝－15× rad＝－ rad.
(3) rad＝×180°＝105°.
(4)－ rad＝－×180°＝－396°.
用弧度制表示终边相同的角
[典例] 如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合．
[解] (1)如图(1)所示，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝，于是，
所求集合S＝.
(2)如图(2)所示，以OB为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－，而135°＝135×＝，于是，所求集合S＝.
在弧度制下写出终边相同的角并判断角所在象限的方法和步骤
(1)在弧度制下，与α终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，其中α的单位是弧度．
(2)确定α所在象限的常用步骤：先把它化成2kπ＋θ(0≤θ＜2π，k∈Z)的形式，再判断θ所在的象限即可．
[活学活用]
已知角α＝－2 018°.
(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．
解：(1)因为α＝－2 018°＝－6×360°＋142°，
且142°＝142×＝，
所以α＝－12π＋，故α是第二象限角．
(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2kπ＋，k∈Z，
又－2π≤θ＜4π，所以k＝－1,0,1，
将k的值分别代入θ＝2kπ＋，k∈Z，
得θ＝－，，.
扇形的弧长与面积公式的应用
[典例] 解答下列各题：
(1)已知扇形的面积为1 cm2，它的周长为4 cm，求它的圆心角；
(2)已知半径为10的⊙O中，弦AB的长为10.求弦AB所对的圆心角α的弧度值．
[解] (1)设扇形的弧长为l，半径为r，则l＝4－2r.
∵S扇形＝l·r，∴(4－2r)·r＝1，∴r＝1，l＝2.
故它的圆心角的弧度数为α＝＝2(rad)．
(2)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，所以α＝∠AOB＝60°＝.
[一题多变]
1．[变设问]若题(2)中条件不变，改为求α所在扇形的弧长l.
解：∵α＝，r＝10，
∴l＝αr＝.
2．[变条件]若题(2)中条件“弦AB的长为10”变为“扇形AOB的周长等于所在圆的周长”，求扇形的圆心角α的弧度值．
解：由条件知2π×10＝2×10＋l，
∴l＝20(π－1)，
∴α＝＝＝2(π－1)．
弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
层级一 学业水平达标
1．下列说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
解析：选D 由角度制和弧度制的定义，知A、B、C说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．
2．角－π的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D －π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.
3．下列各角中与240°角终边相同的角为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C 240°＝，而－＝－2π.故选C.
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；
当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C.
5．已知扇形的弧所对的圆心角为27°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为( )
A．3π cm B．30 cm
C．(40＋3π)cm D．540 cm
解析：选C 27°＝27× rad＝ rad，扇形的周长为20×2＋×20＝(40＋3π)cm.
6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
解析：－135°＝－135×＝－π，
π＝×180°＝660°.
答案：－π 660°
7．已知某扇形的圆心角是72°，半径为5，则它的弧长为________，面积为________．
解析：∵72°＝ rad，
∴l＝×5＝2π，S＝l·r＝×2π×5＝5π.
答案：2π 5π
8．已知四个角α＝1，β＝1°，γ＝，δ＝－，则这四个角由小到大的排列顺序是 ________________．
解析：∵α＝1≈57°，γ＝＝60°，δ＝－＝－30°，
∴δ＜β＜α＜γ.
答案：δ＜β＜α＜γ
9．把下列各角化为2kπ＋α，k∈Z,0≤α＜2π的形式，并判断该角是第几象限角．
(1)π； (2)－1 104°.
解：(1)π＝6π＋.∵是第二象限角，
∴π是第二象限角．
(2)－1 104°＝－1 104×＝－π＝－8π＋π.
∵π是第四象限角，∴－1 104°是第四象限角．
10. 如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
解：∵120°＝×120＝，
∴l＝6×＝4π，∴的长为4π.
∴S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，有S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB
＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.
层级二 应试能力达标
1．若α＝－2，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．
2．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的2倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
解析：选B 设原来的半径和弧长分别为r和l，
则扩大后分别变为2r,2l，
∴原扇形的面积为lr，后来的为×2r×2l＝2lr，
面积变为原来的4倍，故A和C错误；
原扇形的圆心角为，后来的为，故选B.
3．终边落在坐标轴上的角的集合是( )
A．{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.
C.
D.
解析：选B 终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z}，化成弧度为.
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
5．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为________ cm2.
解析：∵π＝·r，∴r＝4(cm)，∴S＝lr＝2π(cm2)．
答案：2π
6．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长为________．
解析：扇形半径r＝，故弧长l＝α·r＝.
答案：
7. 如图，用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部
分的角的集合．
解：图中，以OA为终边的角与120°角的终边相同，以OB为终边的角与300°
角的终边相同，120°，300°化成弧度数分别为，，阴影所表示的区域由两部
分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为
∪
＝∪
＝.
8．已知扇形的周长为10 cm，则当扇形的半径和圆心角α(α＞0)各取何值时，扇形的面积最大？
解：设扇形的半径为r cm，则弧长为(10－2r)cm.
由题意得S＝(10－2r)·r＝－r2＋5r＝－2＋，
所以当r＝时，Smax＝.
此时l＝10－2r＝5(cm)，则α＝＝＝2(rad)．
综上所述，当扇形的半径为 cm，圆心角α为2 rad时，扇形的面积最大．
4．1&4.2 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
单位圆与周期性
预习课本P13～17，思考并完成以下问题
1．正弦、余弦函数是怎样定义的？
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？
3．周期函数的定义是什么？
4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
1．正弦、余弦函数的定义
(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α.
(2)正弦函数v＝sin α、余弦函数μ＝cos α的定义域为全体实数．
[点睛] (1)sin α与cos α值的大小只与角α终边与单位圆交点P的坐标(u，v)有关，其中sin α＝v，cos α＝u.
(2)sin α不是sin与α的积，是一个三角函数的记号，是一个整体．
2．正弦、余弦函数在各象限的符号
象限
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
＋
[点睛] sin α与cos α的值的符号取决于α的终边所在的象限．
3．单位圆与周期性
(1)正(余)弦函数值的周期性
①公式：sin(x＋k·2π)＝sin_x，k∈Z；
cos(x＋k·2π)＝cos_x，k∈Z.
②意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．
(2)周期函数
①定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期．
②最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等( )
(2)若sin α＞0，则α是第一、二象限角( )
(3)函数f(x)＝|x|满足f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期为－1( )
(4)若T是函数?(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B 根据三角函数的定义，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值．
3．若sin α＜0，cos α＞0，则角α的终边位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由sin α＜0，cos α＞0知α的终边位于第四象限．
4．已知角α的终边上有一点(－1,2)，则cos α＝________.
解析：cos α＝＝－.
答案：－
正弦、余弦函数的定义
[典例] 如图，∠AOP＝，点Q与点P关于y轴对称，P，Q都为角的终边与单位圆的交点，求：
(1)点P的坐标；
(2)∠AOQ的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则x＝cos∠AOP＝cos＝，
y＝sin∠AOP＝sin＝.
故点P的坐标为.
(2)∵点P与点Q关于y轴对称，
∴点Q的坐标为.
根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin∠AOQ＝，cos∠AOQ＝－.
利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标(u，v)，由三角函数的定义得sin α＝v，cos α＝u.
[活学活用]
1．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B ∵角α，β的终边与单位圆分别交于点和，故由定义知sin α＝，cos β＝－，∴sin αcos β＝×＝－.
2．设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.
即 ＝1，解得a＝±.
∵a<0，∴a＝－.∴P点的坐标为.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.
有关三角函数值的符号问题
[典例] (1)判断的符号；
(2)若sin α＞0，cos α＜0，判断角α所在象限．
[解] (1)∵2∈，3∈，4∈，6∈，∴sin 2＞0，cos 3＜0，sin 4＜0，cos 6＞0.
∴＞0.
(2)∵sin α＞0，
∴α的终边在一、二象限或y轴的正半轴上；
∵cos α＜0，
∴α的终边在二、三象限或x轴的负半轴上．
故当sin α＞0且cos α＜0时，α在第二象限．
[一题多变]
1．[变条件]本例(2)中条件变为sin αcos α＜0，问题不变．
解：由sin α cos α＜0知sin α＞0，cos α＜0或sin α＜0，cos α＞0.故α的终边在二、四象限．
2．[变条件]本例(2)条件变为若点P(sin α，cos α)在第三象限，问题不变．
解：由条件知sin α＜0，cos α＜0，故α终边在第三象限．
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为终边在第几象限？
解：由sin α＞0，cos α＜0知α的终边在第二象限，即2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，∴终边在第一、三象限．
(1)由角α的终边所在象限可判断角α的函数值的符号，因此可判断因式的符号．
(2)由三角函数符号确定α角的终边所在象限时，应首先依据题目中所有三角函数值的符号，分别确定角α的终边所在的象限，则它们的公共部分即为所求．
利用2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
[典例] 求下列三角函数值．
(1)cos(－1 050°)；(2)sin.
解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，
∴－1 050°的角与30°的角终边相同．
∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝.
(2)∵－＝－4×2π＋，∴角－与角的终边相同．∴sin＝sin＝.
利用公式sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)，可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为0～2π间的角的正弦、余弦函数值问题．从该公式可以看出，在求三角函数值的时候，2π或360°的整数倍可以直接去掉，从而方便化简或计算．
[活学活用]
求下列各式的值：
(1)cos＋sin；
(2)sin 810°＋cos 765°＋sin 1 125°＋cos 360°.
解：(1)原式＝cos＋sin
＝cos＋sin＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)＋sin(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)
＝sin 90°＋cos 45°＋sin 45°＋cos 0°＝2＋.
函数的周期性
[典例] (1)设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，则f的值为( )
A．2 B．0 C．－1 D．－3
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)是最小正周期为π的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值是________．
[解析] (1)f＝f＝f＝2×＋1＝0.
(2)由已知，得f＝f＝f＝f＝sin＝.
[答案] (1)B (2)
(1)由周期函数的定义知，若一函数是周期函数，则它的周期有无数多个，一般研究时只考虑其最小正周期．
(2)不是所有周期函数都有最小正周期，如：函数f(x)＝1是周期函数但无最小正周期．
[活学活用]
已知f(x＋3)＝－，判断f(x)是否为周期函数，并求出它的一个周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－＝－＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且6是它的一个周期．
层级一 学业水平达标
1．sin 780°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝.
2．若角α的终边与单位圆相交于点，则sin α的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 根据任意角的三角函数的定义可知，
点到原点的距离为1，则sin α＝＝－，故选B.
3.如图，直线l的倾斜角为，且与单位圆交于P，Q两点，则P点的横坐标是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B cos＝－，故选B.
4．若α＝－5，则( )
A．sin α＞0，cos α＞0 B．sin α＞0，cos α＜0
C．sin α＜0，cos α＞0 D．sin α＜0，cos α＜0
解析：选A 因为－5(弧度制)为第一象限角，所以其正弦、余弦值都是正的，即sin α＞0，cos α＞0.
5．点P(cos 2 018°，sin 2 018°)所在的象限是( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析：选C 2 018°＝5×360°＋218°，即角2 018°与角218°的终边相同，218°＝180°＋38°，所以角218°在第三象限，即角2 018°也在第三象限．所以cos 2 018°＜0，sin 2 018°＜0，所以点P在第三象限．
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，该角的终边与单位圆交于点P(0.6,0.8)，则sin θ＝________，cos θ＝________.
解析：由任意角的三角函数的定义，得sin θ＝y，cos θ＝x，即sin θ＝0.8，cos θ＝0.6.
答案：0.8 0.6
7．已知α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则a的取值范围是________．
解析：由题意知解得－2＜a≤3.
答案：(－2,3]
8．已知△ABC中，|cos A|＝－cos A，则角A的取值范围是________．
解析：由题意，知cos A≤0，又角A为△ABC的内角，所以≤A＜π.
答案：
9．设P(－3,4)是角α终边上的一点，求sin α，cos α.
解：如图，∵|OP|＝5，
∴α的终边与单位圆交于
点Q，
∴sin α＝，cos α＝－.
10．判断下列各三角函数式的符号．
(1)sin 320°cos 385°cos 155°；
(2)sin 4·cos 2·sin.
解：(1)∵320°，385°＝360°＋25°，155°分別在第四象限，第一象限，第二象限，
∴sin 320°＜0，cos 385°＞0，cos 155°＜0，
∴sin 320°cos 385°cos 155°＞0.
(2)∵＜2＜π＜4＜，－＝－6π＋，
∴4,2，－分别在第三象限，第二象限，第一象限，
∴sin 4＜0，cos 2＜0，sin＞0，
∴sin 4·cos 2·sin＞0.
层级二 应试能力达标
1．化简＋的结果为( )
A．0 B．2
C．±2 D．0或±2
解析：选D 显然α的终边不在坐标轴上．当α为第一象限角时，sin α>0，cos α>0，原式＝2；同理当α为第二或第四象限角时，原式＝0；当α为第三象限角时，原式＝－2.
2．设a＝sin 105°·cos 230°，b＝sin 2·cos 1，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：选C ∵sin 105°＞0，cos 230°＜0，
∴a＝sin 105°·cos 230°＜0.
∵0＜1＜＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 1＞0，
∴b＝sin 2·cos 1＞0.
3．若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f＝1，则f的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．无法确定
解析：选A f＝f＝f＝1.
4．已知P(－，y)为角β的终边上的一点，且sin β＝，则y的值为( )
A．± B.
C．－ D．±2
解析：选B r＝ ，sin β＝＝＝＞0，解得y＝或y＝－(舍去)．
5．求值sin 420°cos 750°＋sin(－690°)·cos(－660°)＝________.
解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.
答案：1
6．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于________．
解析：∵2sin 30°＝2×＝1，－2cos 30°＝－2×＝－，∴α的终边过点(1，－)，∴sin α＝＝－.
答案：－
7．已知函数f(x)在其定义域上都有f(x＋1)＝－，求证：f(x)是以2为周期的周期函数．
证明：∵f(x＋2)＝－＝－＝f(x)，
即f(x＋2)＝f(x)．∴由周期函数的定义，可知函数f(x)是以2为周期的周期函数．
8．已知角α的终边在直线y＝－x上，求cos α－的值．
解：设O为坐标原点．
①若角α为第四象限角，在角α的终边上取一点P1(4，－3)，则r1＝|OP1|＝＝ ＝5，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，∴cos α－＝.
②若角α为第二象限角，在角α的终边上取一点P2(－4,3)，则r2＝|OP2|＝ ＝ ＝5，
∴sin α＝＝，cos α＝＝－，
∴cos α－＝－.
综上，cos α－的值为或－.
4．3&4.4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
单位圆的对称性与诱导公式
预习课本P18～23，思考并完成以下问题
1．正弦、余弦函数的定义域、值域各是什么？
2．正弦函数的递增区间与递减区间是什么？
3．角α与－α，角α与α±π，角α与π－α的正弦函数、余弦函数的关系是什么？
4．角α与＋α的正弦函数、余弦函数关系是什么？
1．正弦函数、余弦函数的基本性质
y＝sin x
y＝cos x
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
最大(小)值
最大值1，
最小值－1
最大值1，
最小值－1
周期性
T＝2π
T＝2π
单调性
在区间
(k∈Z)上是增加的，在区间
(k∈Z)上是减少的
在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
2．诱导公式
sin(2kπ＋α)＝sin_α(k∈Z)
cos(2kπ＋α)＝cos_α(k∈Z)
sin(－α)＝－sin_α
cos(－α)＝cos_α
sin(2π－α)＝－sin_α
cos(2π－α)＝cos_α
sin(π－α)＝sin_α
cos(π－α)＝－cos_α
sin(π＋α)＝－sin_α
cos(π＋α)＝－cos_α
sin＝cos_α
cos＝－sin_α
sin＝cos_α
cos＝sin_α
[点睛]
记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限．
(1)函数名不变，符号看象限
“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π－α，π＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
(2)函数名改变，符号看象限
“函数名改变，符号看象限”指的是对于角＋α，－α(k为奇数)的函数值等于角α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝2sin x的最小正周期为2π( )
(2)y＝－cos x在[0，π]内为减函数( )
(3)sin(α－π)＝－sin α( )
(4)cos＝－sin α( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．下面式子正确的是( )
A．sin(π－α)＝－sin α
B．cos(π＋α)＝cos α
C．cos＝sin α
D．sin(2π＋α)＝sin α
解析：选D sin(π－α)＝sin α，故A不正确；cos(π＋α)＝－cos α，故B不正确；cos＝－sin α，故C不正确；易知D正确．
3．已知cos(π＋α)＝－，则sin等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝－，则cos α＝，sin＝－sin＝－cos α＝－.
4．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
答案：
正、余弦函数的性质应用
[典例] (1)求下列函数的单调区间：
①y＝sin x，x∈；
②y＝cos x，x∈.
(2)求下列函数的值域：
①y＝sin x，x∈；
②y＝－2cos x，x∈.
[解] (1)①y＝sin x在区间上是增加的，在区间上是减少的．
②y＝cos x在区间上是增加的，在区间[0，π]上是减少的，在区间上是增加的．
(2)①函数y＝sin x在区间上是增加的，在区间上是减少的．
又sin＝1，sin＝－，sin＝，
故函数的值域为.
②函数y＝cos x在区间上是减少的，在区间上是增加的，又cos π＝－1，cos＝，cos＝－，故函数y＝cos x的值域为.
所以函数y＝－2cos x的值域为(－，2]．
研究正、余弦函数基本性质的方法
先找到角x的终边，然后画出终边与单位圆的交点，由交点的横、纵坐标的取值范围可分别得到余弦、正弦函数的值域，由角的终边逆时针旋转，横、纵坐标的增大或减少来分别判断余弦、正弦函数的单调性．
[活学活用]
求函数y＝sin x，x∈的最大值、最小值及单调区间．
解：因为函数y＝sin x在上是增加的，在上是减少的，所以函数y＝sin x，x∈的单调递增区间是，单调递减区间是.当x＝时，ymax＝1；当x＝－时，ymin＝－.
利用诱导公式求值
题点一 给角求值
1．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)的值．
解：原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
题点二 给值求值
2．(1)已知cos＝－0.3，则sin(2π－α)＝________；
(2)已知cos＝，则cos＝________；
(3)已知sin＝，则cos＝________.
解析：(1)由cos＝－sin α＝－0.3，
得sin α＝0.3.
所以sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.
(2)cos＝cos＝cos
＝－cos＝－.
(3)因为＋＝，
所以cos＝cos
＝sin＝.
答案：(1)－0.3 (2)－ (3)
利用诱导公式解决求值问题的方法
解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选用诱导公式求解，一般可从两角的和、差的计算结果入手寻找两角的关系，如两角互补，两角互余．
利用诱导公式化简求值
[典例] 化简：··.
[解] 原式＝··
＝··
＝··
＝1.
利用诱导公式化简三角函数式的一般步骤
(1)用“－α”公式化为正角的三角函数；
(2)用“2kπ＋α”公式化为[0,2π)范围内的角的三角函数；
(3)用“π±α”“2π±α”或“±α”公式化为锐角的三角函数．
[活学活用]
设k为整数，化简：.
解：法一：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1.
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，
则原式＝
＝＝＝－1.
综上可得，原式＝－1.
法二：由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，
[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，
得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，
cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)．
又sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
故原式＝＝－1.
层级一 学业水平达标
1．sin 480°的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
2．已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C sin＝sin＝sin＝cos α＝.
3．函数y＝sin x，x∈的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，
C.，－ D．1，－
解析：选C 函数y＝sin x在区间上是增加的，则最大值是sin＝，最小值是sin＝－.
4．sin(π－2)－cos化简的结果为( )
A．0 B．－1
C．2sin 2 D．－2sin 2
解析：选A 原式＝sin 2－sin 2＝0，所以选A.
5．若sin(9π＋α)＝－，则cos＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵sin(9π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，
∴cos＝cos＝－sin α＝－.
6．函数y＝2＋cos x的定义域为________．
解析：由条件知定义域为R.
答案：R
7．函数y＝sin x，x∈的增区间为________，减区间为________．
解析：借助单位圆可知，y＝sin x，x∈，在区间上是减少的，在上是增加的．
答案：
8．已知α为第二象限角，化简＝________.
解析：原式＝＝.
∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴原式＝＝－1.
答案：－1
9．设f(θ)＝，
求f 的值．
解：因为f(θ)＝
＝
＝＝cos θ，
所以f＝cos
＝cos＝cos＝.
10．求下列函数的最小正周期及值域．
(1)y＝－cos x＋2；(2)y＝asin x＋b(a＜0)．
解：(1)当y＝cos x取得最大值时，y＝－cos x＋2取得最小值，而当y＝cos x取得最小值时，y＝－cos x＋2取得最大值，所以y＝－cos x＋2的值域是[1,3]，最小正周期是2π.
(2)∵－1≤sin x≤1，且a＜0，∴当sin x＝－1时，
ymax＝－a＋b；当sin x＝1时，ymin＝a＋b，∴y＝asin x＋b的值域是[a＋b，－a＋b]，y＝asin x＋b的最小正周期是2π.
层级二 应试能力达标
1．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( )
A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β
解析：选B 由α＋β＝180°得α＝180°－β，两边同时取正弦函数得sin α＝sin(180°－β)＝sin β，两边同时取余弦函数得cos α＝cos(180°－β)＝－cos β.
2．化简所得的结果是( )
A．sin α B．－sin α
C．cos α D．－cos α
解析：选C 原式＝＝cos α.
3．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 017)＝3，则f(2 018)的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C ∵f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝3，∴asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－1，∴f(2 018)＝asin(2 017π＋α＋π)＋bcos(2 017π＋β＋π)＋4＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)＋4＝1＋4＝5.
4．如果角α的终边经过点P(sin 780°，cos(－330°))，则sin α＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选C sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos 30°＝.所以P，，所以r＝|OP|＝.由三角函数的定义，得sin α＝＝＝.
5．y＝3sin x，x∈的值域为________．
解析：借助单位圆可知，函数y＝sin x，x∈在x＝处取最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin x≤1，所以－≤3sin x≤3.
答案：
6．已知sin＝，则cos＝________.
解析：∵－x＋x＋＝
∴cos＝sin＝.
答案：
7．已知α是第四象限角，且
f(α)＝.
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
解：f(α)＝
＝
＝.
(1)∵cos＝，
∴cos＝，
∴cos＝，
∴sin α＝－，∴f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1 860°时，f(α)＝＝＝＝＝＝－.
8．已知函数f(x)＝.
(1)判定函数f(x)是否为周期函数；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，求f(x)的值域．
解：(1)由于－1≤sin x≤1，所以f(x)的定义域是R.
又f(x＋2π)＝＝＝f(x)，
故f(x)是周期函数．
(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间(k∈Z)上，函数y＝sin x是增函数，而此时函数h(x)＝2－sin x是减函数，从而可知此时函数f(x)是增函数，
故可知函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(3)设t＝sin x，则t∈，
所以1≤2－t＜，则＜≤1.
故f(x)的值域为.
5．1 正弦函数的图像
预习课本P25～28，思考并完成以下问题
用五点法描出y＝sin x的图像，其中五点指的是哪五个点？
正弦函数的图像
(1)图像：正弦函数y＝sin x的图像，又称为正弦曲线，如图所示．
(2)画法：在平面直角坐标系中描出五个关键点：
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
然后再根据正弦函数的基本形状，用光滑曲线将这五个点连接起来，得到正弦函数在[0,2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法称为五点法．
[点睛] 作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，在x轴、y轴上要统一单位，作出的图像才正规、准确．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x的图像与y＝sin(π－x)的图像相同( )
(2)用五点法作出y＝－sin x图像必经过点( )
答案：(1)√ (2)×
2．点M在函数y＝sin x＋1的图像上，则b等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选C 将M的坐标代入函数式得b＝sin＋1＝2.
3．用“五点法”作y＝2－sin x(x∈[0,2π])的图像时，五个关键点的纵坐标是( )
A．0,1,0，－1,0 B．0,2,0，－2,0
C．2,1,2,3,2 D．2,3,2，－3,2
解析：选C 因为用“五点法”作y＝sin x(x∈[0,2π])的图像时，五个关键点的纵坐标依次是：0,1,0，－1,0，所以y＝－sin x(x∈[0,2π])的五个关键点的纵坐标依次是：0，－1,0,1,0，所以y＝2－sin x(x∈[0,2π])的五个关键点的纵坐标依次是：2,1,2,3,2.
4．当x∈[0，π]时，y＝2sin x的值域为________．
解析：结合图像知y∈[0,2]．
答案：[0,2]
五点法作函数的图像
[典例] 用“五点法”画出函数y＝3－sin x(x∈[0,2π])的图像．
[解] (1)列表，如下表所示：
x
0
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝3－sin x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示：
用五点法作正弦函数简图的方法
五点法作图是画三角函数简图的常用方法，作图过程中运用整体代换思想．五个关键点主要指函数图像的平衡点及最高点、最低点，连线要保持平滑，同时注意凹凸方向．
[活学活用]
用“五点法”作出y＝的图像．
解：∵y＝＝|sin x|，
∴只需作出y＝sin x的图像，并将x轴下方的部分作关于x轴的对称即可．
列表，如下表所示：
x
0
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝|sin x|
0
1
0
1
0
描点连线，如图所示：
正弦函数图像的应用
题点一：利用正弦函数图像求解三角不等式
1．写出使sin x≥(x∈R)成立的x的取值集合．
解：如图，画出y＝sin x在x∈[0,2π]内的图像．
其中直线y＝与y＝sin x的交点M，M′的横坐标分别是，，故在0≤x≤2π中满足sin x≥的角x的集合为.
因此当x∈R时，集合为.
题点二：利用正弦函数图像判断方程解的个数问题
2．方程sin x＝lg x的解的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由y＝sin x与y＝lg x图像(如图)有三个交点，故方程有3个解．
题点三：利用正弦函数图像求解参数范围问题
3．若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
解析：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
如图，则k的取值范围是1＜k＜3.
答案：(1,3)
利用正弦函数图像求解问题的步骤
(1)分析条件，构造出相应的正弦函数；
(2)作出相应的正弦函数的图像，注意做出的图像要规范；
(3)根据问题结合图像求解．
层级一 学业水平达标
1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像位置不同，但形状相同．
2．下列函数图像相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
解析：选D A、B、C中f(x)＝－g(x)，D中f(x)＝g(x)．
3．若函数y＝sin(x＋φ)的图像过点，则φ的值可以为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 将点代入y＝sin(x＋φ)，可得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，只有选项C满足．
4. 如图是下列哪个函数的图像( )
A．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]
B．y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]
C．y＝1－sin x，x∈[0,2π]
D．y＝1－2sin x，x∈[0,2π]
解析：选C 把这一坐标代入选项检验，即可排除A、B、D.
5．在[0,2π)内，方程|sin x|＝根的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D y＝|sin x|＝
(k∈Z)．其图像如图所示．
由图，在[0,2π)内y＝这条直线与它有4个交点．
6．利用五点法画函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的简图时，所取的五点分别为
________________．
答案：(0,2)，，(π，2)，，(2π，2)
7．函数y＝的定义域为________．
解析：由2sin x≥0，∴sin x≥0，
∴x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
答案：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
8．若－≤θ≤，则sin θ的取值范围为________．
解析：作出y＝sin θ的图像，由图知当－≤θ≤时，－1≤sin θ≤.
答案：
9．作出函数y＝－2sin x(0≤x≤2π)的简图．
解：列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－2sin x
0
－2
0
2
0
描点，并用光滑的曲线连接起来，如图．
10．利用正弦曲线，求满足解：首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图像，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，
该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图像可知，在[0,2π]上，
当所以.
层级二 应试能力达标
1．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sin x|
解析：选C 注意到此函数图像所对应的函数值有正有负，因此排除A、D.当x∈(0，π)时，sin|x|＞0，与题图不符合，因此排除B.
2．以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是( )
A．在x∈(－2π，0)上与x轴只有一个交点
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴只有1个交点
解析：选B A、C、D都正确，对于B，y＝sin x的图像的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，所以x轴不可能是它的对称轴．
3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2的交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 由y＝1＋sin x在[0,2π]上的图像，知可知只有1个交点．
4．函数f(x)＝2x－sin x的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x与y＝sin x的图像，如图．由图可知，两个函数图像有1个交点，故函数f(x)＝2x－sin x的零点个数为1.
5．若sin x＝4m＋1，x∈，则实数m的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图像，知当x∈时，sin x∈，要使sin x＝4m＋1，x∈有解，则≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案：
6．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是________．
解析：画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－的解集是.
7．已知函数y＝－sin x.
(1)作出此函数在x∈[0,2π]的大致图像，并写出使y＜0的x的取值范围；
(2)利用第(1)题结论，分别写出此函数在x∈R时，使y＜0与y＞0的x的取值范围．
解：(1)作图，如图所示：
在x∈[0,2π]上，当x∈时，y＜0.
(2)当x∈，k∈Z时，y＜0，
当x∈，k∈Z时，y＞0.
8．方程sin x＝在x∈上有两个实数解，求a的取值范围．
解：设y1＝sin x，x∈，
y2＝.y1＝sin x，x∈的图像如图．由图可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，y1＝sin x，
x∈的图像与y2＝的图像有两个交点，
即方程sin x＝在x∈，π上有两个实数解，
所以a的取值范围是(－1,1－ ]．
5．2 正弦函数的性质
预习课本P28～30，思考并完成以下问题
1．正弦函数取得最大值时x的值是什么？
2．正弦函数的单调区间是什么？
3．怎样判断正弦函数是奇函数？
正弦函数的性质
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1,1]
周期性
最小正周期为2π
最值
当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1
当x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1
单调性
在每一个闭区间上是增加的，在
上是减少的，k∈Z
奇偶性
奇函数
[点睛] (1)利用正弦函数的周期性，可把正弦函数在一个周期内的性质，延拓到整个定义域上，这为研究函数的性质提供了很大的方便．
(2)单调区间(k∈Z)表示的是一个个区间，即…，，，…，而不表示成…∪∪∪….要特别与集合表示区别开来．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝2－sin x的最小正周期为2π( )
(2)函数y＝cos为奇函数( )
(3)当且仅当x＝－时，y＝3－sin x取最大值( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．函数y＝sin x的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝0 D．x＝π
解析：选A 由图像知正弦函数的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)．
3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 通过观察y＝|sin x|的图像可得．
4．函数y＝1－2sin x的最大值为________．
解析：当且仅当sin x＝－1时，ymax＝3.
答案：3
正弦函数的定义域、值域问题
[典例] (1)求函数y＝的定义域．
(2)求下列函数的值域．
①y＝－2sin x＋1；②y＝；
③y＝－2sin2x＋5sin x－2.
[解] (1)要使函数有意义，只需2sin x＋≥0，即sin x≥－.如图所示，在区间上，适合条件的x的取值范围是－≤x≤.
所以该函数的定义域是，k∈Z.
(2)①[直接法]
∵－1≤sin x≤1，∴－2≤－2sin x≤2.
－1≤－2sin x＋1≤3，即－1≤y≤3，
∴值域为[－1,3]．
②[反解法]
原式可化为ysin x＋2y＝sin x，
∴sin x·(y－1)＝－2y，∴sin x＝，
∵－1≤sin x≤1，
∴－1≤≤1.解得－1≤y≤，
故函数y＝的值域为.
③[换元法]
y＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－22＋.
∵－1≤sin x≤1，
∴ymin＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，
ymax＝－2×12＋5×1－2＝1.
故函数y＝－2sin2x＋5sin x－2的值域是[－9,1]．
(1)求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．
(2)与正弦函数有关的值域求法常见的有直接法、反解法、换元法．
[活学活用]
1．函数f(x)＝ln(1－sin x)的定义域为____________．
解析：要使函数有意义只需1－sin x＞0，
即sin x＜.
在区间上，适合条件的x的取值范围是＜x＜.
所以该函数的定义域为.
答案：
2．函数y＝2sin的最大值为________，最小值为________．
解析：∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
答案：2 0
3．求下列函数的值域．
(1)y＝sin2x－sin x；
(2)y＝|sin x|＋sin x.
解：(1)y＝sin2x－sin x＝2－.
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝时，y取最小值为－；
当sin x＝－1时，y取最大值为2.
∴y＝sin2x－sin x的值域为.
(2)当sin x≥0时，|sin x|＝sin x；
当sin x＜0时，|sin x|＝－sin x，
∴原式可化为y＝
由－1≤sin x≤1，可知0≤y≤2，
∴函数y＝|sin x|＋sin x的值域是[0,2].
正弦函数的周期性与奇偶性问题
[典例] (1)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝xsin(π＋x)；
②f(x)＝.
(2)求下列函数的最小正周期．
①f(x)＝sin 2x；
②f(x)＝|sin x|.
[解] (1)①f(x)＝－xsin x，定义域为R.
∵f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
②由2sin x－1≥0，得sin x≥，
∴x∈(k∈Z)．
∴函数f(x)的定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(2)①∵sin 2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，
∴f(x)＝sin 2x的最小正周期为π.
②作出f(x)＝|sin x|的图像，观察知最小正周期T＝π.
1．判断函数奇偶性的方法
2．求三角函数的周期，通常有三种方法
(1)定义法．
(2)公式法．对于y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝；
(3)观察法(图像法)．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.
[活学活用]
1．函数y＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇函数又偶函数 D．非奇非偶
解析：选A f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)．
2．函数y＝－sin 3x的最小正周期为________．
解析：利用定义或作出图像知T＝.
答案：
正弦函数的单调性问题
题点一：求单调区间
1．求函数y＝sin(－x)的单调递增区间．
解：∵y＝sin(－x)＝－sin x，且函数y＝sin x
在(k∈Z)上是增加的，
在(k∈Z)上是减少的，
∴函数y＝sin(－x)的单调增区间为
(k∈Z)．
题点二：利用正弦函数单调性比较大小
2．比较大小：
(1)sin与sin；
(2)sin与sin.
解：(1)∵sin＝sin＝sin，
y＝sin x在x∈上是减少的，
且＜＜＜π，
∴sin＞sin.
即sin＞sin.
(2)∵sin＝－sin＝－sin
＝－sin＝－sin，
sin＝sin＝－sin.
函数y＝sin x在上是增加的，
且0＜＜＜，
所以sin＜sin，－sin＞－sin.
即sin＜sin.
题点三：已知正弦函数的单调性求参数范围
3．若函数y＝sin x在[0，a]上为增函数，则a的取值范围为________．
解析：由函数y＝sin x的图像(图略)可知，函数y＝sin x在上为增函数，
∴[0，a]?，∴0＜a≤.
答案：
(1)利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．
(2)已知正弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．
层级一 学业水平达标
1．M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A. B．－
C．－ D．－2
解析：选D ∵M＝ymax＝－1＝－，
m＝ymin＝－－1＝－，
∴M＋m＝－－＝－2.
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝－2sin x
C．y＝1＋sin x D．y＝|sin x|
解析：选D 4个选项中，满足偶函数定义f(－x)＝f(x)的，只有选项D.
3．函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选B y＝sin x的单调递增区间就是y＝4sin x＋3的单调递增区间．故选B.
4．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
A．[－1,1] B.
C. D.
解析：选C y＝sin2x＋sin x－1＝2－，当sin x＝－时，ymin＝－；当sin x＝1时，ymax＝1.即y∈.
5．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，
∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
6．若f(x)是R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是________．
解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，
∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－sin x．故函数f(x)的解析式是f(x)＝sin|x|.
答案：f(x)＝sin|x|
7．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．
解析：由x∈，得x＋π∈.令t＝x＋π，由函数y＝sin t在上的图像，知其单调递增区间为，则≤x＋π≤2π，解得≤x≤π.
答案：
8．比较大小：sin________sin.
解析：∵sin＝sin，sin＝sin，
又0<<<，
y＝sin x在上是增加的，
∴sin答案：<
9．求函数y＝1－sin 的单调递增区间．
解：由2kπ＋≤≤2kπ＋，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．
10．求函数y＝3－2sin x的最大值、最小值，并求出相应x的集合．
解：因为－1≤sin x≤1，
所以当sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最大值5，相应x的集合为.
当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最小值1，
相应x的集合为.
层级二 应试能力达标
1．使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ的值可以是( )
A. B.
C．π D.
解析：选C 由函数f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ ＝kπ(k∈Z)，故选C.
2．函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选B 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
3．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选A 法一：易知y＝sin x在R上为奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝0.
法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即
sin(－x)－|a|＝－sin x＋|a|，
－sin x－|a|＝－sin x＋|a|.
∴|a|＝0，即a＝0.
4．已知α，β∈，且cos α＞sin β，则α＋β与的大小关系是 ( )
A．α＋β＞ B．α＋β＜
C．α＋β≥ D．α＋β≤
解析：选B 由诱导公式得cos α＝sin.因为0＜α＜，所以0＜－α＜，又0＜β＜，cos α＝sin＞sin β，且正弦函数y＝sin x在上是增加的，所以－α＞β，即α＋β＜.
5．已知ω＞0，函数f(x)＝2sin ωx在上单调递增，则ω的取值范围为________．
解析：由－≤ωx≤(ω＞0)，得－≤x≤.
由题意?，∴
∴0＜ω≤.
答案：
6．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析：f(x)＝＝1＋.
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)．
又g(x)的定义域为R，
∴g(x)是奇函数，由奇函数图像的对称性，
知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案：2
7．分别求函数y＝1－sin2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．
解：y＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4，此时x的取值集合是；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4，
此时x的取值集合是.
8．已知a＞0,0≤x＜2π，若函数y＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并分别求出使y取得最大值和最小值时x的值．
解：y＝－2＋＋b＋1，－1≤sin x≤1，a＞0，
①若0＜≤1，即0＜a≤2，
则当sin x＝－时，ymax＝＋b＋1＝0，
当sin x＝1时，ymin＝－2＋＋b＋1＝－4，
∴a＝2，b＝－2.
②若＞1，即a＞2，
∴当sin x＝－1时，ymax＝－2＋＋b＋1＝0，
当sin x＝1时，ymin＝－2＋＋b＋1＝－4，
∴a＝2，b＝－2，不合题意，舍去．
综上，a＝2，b＝－2，
当x＝时，ymax＝0；当x＝时，ymin＝－4.
预习课本P31～33，思考并完成以下问题
1．用五点法作余弦函数图像，五点是指哪五点？
2．余弦函数的定义域、值域与正弦函数相同吗？
3．余弦函数的奇偶性如何判断？
4．余弦函数的单调区间是什么？
5．余弦函数的最小正周期是多少？
1．余弦函数的图像
(1)余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x向左平移个单位长度得到．
(2)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作余弦曲线．图像如图所示：
(3)用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
[点睛] 作余弦函数图像的五点是当x分别取0，，π，，2π时所对应的五点，不能随意选取，描出五点后，连线时，要保持曲线平滑，并注意凹凸方向．
2．余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ(k∈Z，k≠0)为周期，2π为最小正周期
单调性
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x 的图像与函数y＝sin x的图像的形状完全一样，只是位置不同( )
(2)y＝cos x的图像与x轴有无数个交点( )
(3)y＝cos x的图像关于y轴对称( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．要得到函数y＝－sin x的图像，只需将函数y＝cos x的图像( )
A．向右平移个单位长度 B．向右平移π个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移π个单位长度
解析：选C 作出两函数的图像知C正确．
3．函数y＝2－3cos x的递减区间是( )
A．[0，π] B．[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)
C．课件30张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(四)”
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课时跟踪检测（四） 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函
数的定义 单位圆与周期性?
层级一 学业水平达标
1．sin 780°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝.
2．若角α的终边与单位圆相交于点，则sin α的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 根据任意角的三角函数的定义可知，
点到原点的距离为1，则sin α＝＝－，故选B.
3.如图，直线l的倾斜角为，且与单位圆交于P，Q两点，则P点的横坐标是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B cos＝－，故选B.
4．若α＝－5，则( )
A．sin α＞0，cos α＞0 B．sin α＞0，cos α＜0
C．sin α＜0，cos α＞0 D．sin α＜0，cos α＜0
解析：选A 因为－5(弧度制)为第一象限角，所以其正弦、余弦值都是正的，即sin α＞0，cos α＞0.
5．点P(cos 2 018°，sin 2 018°)所在的象限是( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析：选C 2 018°＝5×360°＋218°，即角2 018°与角218°的终边相同，218°＝180°＋38°，所以角218°在第三象限，即角2 018°也在第三象限．所以cos 2 018°＜0，sin 2 018°＜0，所以点P在第三象限．
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，该角的终边与单位圆交于点P(0.6,0.8)，则sin θ＝________，cos θ＝________.
解析：由任意角的三角函数的定义，得sin θ＝y，cos θ＝x，即sin θ＝0.8，cos θ＝0.6.
答案：0.8 0.6
7．已知α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则a的取值范围是________．
解析：由题意知解得－2＜a≤3.
答案：(－2,3]
8．已知△ABC中，|cos A|＝－cos A，则角A的取值范围是________．
解析：由题意，知cos A≤0，又角A为△ABC的内角，所以≤A＜π.
答案：
9．设P(－3,4)是角α终边上的一点，求sin α，cos α.
解：如图，∵|OP|＝5，
∴α的终边与单位圆交于
点Q，
∴sin α＝，cos α＝－.
10．判断下列各三角函数式的符号．
(1)sin 320°cos 385°cos 155°；
(2)sin 4·cos 2·sin.
解：(1)∵320°，385°＝360°＋25°，155°分別在第四象限，第一象限，第二象限，
∴sin 320°＜0，cos 385°＞0，cos 155°＜0，
∴sin 320°cos 385°cos 155°＞0.
(2)∵＜2＜π＜4＜，－＝－6π＋，
∴4,2，－分别在第三象限，第二象限，第一象限，
∴sin 4＜0，cos 2＜0，sin＞0，
∴sin 4·cos 2·sin＞0.
层级二 应试能力达标
1．化简＋的结果为( )
A．0 B．2
C．±2 D．0或±2
解析：选D 显然α的终边不在坐标轴上．当α为第一象限角时，sin α>0，cos α>0，原式＝2；同理当α为第二或第四象限角时，原式＝0；当α为第三象限角时，原式＝－2.
2．设a＝sin 105°·cos 230°，b＝sin 2·cos 1，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：选C ∵sin 105°＞0，cos 230°＜0，
∴a＝sin 105°·cos 230°＜0.
∵0＜1＜＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 1＞0，
∴b＝sin 2·cos 1＞0.
3．若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f＝1，则f的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．无法确定
解析：选A f＝f＝f＝1.
4．已知P(－，y)为角β的终边上的一点，且sin β＝，则y的值为( )
A．± B.
C．－ D．±2
解析：选B r＝ ，sin β＝＝＝＞0，解得y＝或y＝－(舍去)．
5．求值sin 420°cos 750°＋sin(－690°)·cos(－660°)＝________.
解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.
答案：1
6．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于________．
解析：∵2sin 30°＝2×＝1，－2cos 30°＝－2×＝－，∴α的终边过点(1，－)，∴sin α＝＝－.
答案：－
7．已知函数f(x)在其定义域上都有f(x＋1)＝－，求证：f(x)是以2为周期的周期函数．
证明：∵f(x＋2)＝－＝－＝f(x)，
即f(x＋2)＝f(x)．∴由周期函数的定义，可知函数f(x)是以2为周期的周期函数．
8．已知角α的终边在直线y＝－x上，求cos α－的值．
解：设O为坐标原点．
①若角α为第四象限角，在角α的终边上取一点P1(4，－3)，则r1＝|OP1|＝＝ ＝5，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，∴cos α－＝.
②若角α为第二象限角，在角α的终边上取一点P2(－4,3)，则r2＝|OP2|＝ ＝ ＝5，
∴sin α＝＝，cos α＝＝－，
∴cos α－＝－.
综上，cos α－的值为或－.
