4．3&4.4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
单位圆的对称性与诱导公式
预习课本P18～23，思考并完成以下问题
1．正弦、余弦函数的定义域、值域各是什么？
2．正弦函数的递增区间与递减区间是什么？
3．角α与－α，角α与α±π，角α与π－α的正弦函数、余弦函数的关系是什么？
4．角α与＋α的正弦函数、余弦函数关系是什么？
1．正弦函数、余弦函数的基本性质
y＝sin x
y＝cos x
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
最大(小)值
最大值1，
最小值－1
最大值1，
最小值－1
周期性
T＝2π
T＝2π
单调性
在区间
(k∈Z)上是增加的，在区间
(k∈Z)上是减少的
在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
2．诱导公式
sin(2kπ＋α)＝sin_α(k∈Z)
cos(2kπ＋α)＝cos_α(k∈Z)
sin(－α)＝－sin_α
cos(－α)＝cos_α
sin(2π－α)＝－sin_α
cos(2π－α)＝cos_α
sin(π－α)＝sin_α
cos(π－α)＝－cos_α
sin(π＋α)＝－sin_α
cos(π＋α)＝－cos_α
sin＝cos_α
cos＝－sin_α
sin＝cos_α
cos＝sin_α
[点睛]
记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限．
(1)函数名不变，符号看象限
“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π－α，π＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
(2)函数名改变，符号看象限
“函数名改变，符号看象限”指的是对于角＋α，－α(k为奇数)的函数值等于角α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝2sin x的最小正周期为2π( )
(2)y＝－cos x在[0，π]内为减函数( )
(3)sin(α－π)＝－sin α( )
(4)cos＝－sin α( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．下面式子正确的是( )
A．sin(π－α)＝－sin α
B．cos(π＋α)＝cos α
C．cos＝sin α
D．sin(2π＋α)＝sin α
解析：选D sin(π－α)＝sin α，故A不正确；cos(π＋α)＝－cos α，故B不正确；cos＝－sin α，故C不正确；易知D正确．
3．已知cos(π＋α)＝－，则sin等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝－，则cos α＝，sin＝－sin＝－cos α＝－.
4．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
答案：
正、余弦函数的性质应用
[典例] (1)求下列函数的单调区间：
①y＝sin x，x∈；
②y＝cos x，x∈.
(2)求下列函数的值域：
①y＝sin x，x∈；
②y＝－2cos x，x∈.
[解] (1)①y＝sin x在区间上是增加的，在区间上是减少的．
②y＝cos x在区间上是增加的，在区间[0，π]上是减少的，在区间上是增加的．
(2)①函数y＝sin x在区间上是增加的，在区间上是减少的．
又sin＝1，sin＝－，sin＝，
故函数的值域为.
②函数y＝cos x在区间上是减少的，在区间上是增加的，又cos π＝－1，cos＝，cos＝－，故函数y＝cos x的值域为.
所以函数y＝－2cos x的值域为(－，2]．
研究正、余弦函数基本性质的方法
先找到角x的终边，然后画出终边与单位圆的交点，由交点的横、纵坐标的取值范围可分别得到余弦、正弦函数的值域，由角的终边逆时针旋转，横、纵坐标的增大或减少来分别判断余弦、正弦函数的单调性．
[活学活用]
求函数y＝sin x，x∈的最大值、最小值及单调区间．
解：因为函数y＝sin x在上是增加的，在上是减少的，所以函数y＝sin x，x∈的单调递增区间是，单调递减区间是.当x＝时，ymax＝1；当x＝－时，ymin＝－.
利用诱导公式求值
题点一 给角求值
1．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)的值．
解：原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
题点二 给值求值
2．(1)已知cos＝－0.3，则sin(2π－α)＝________；
(2)已知cos＝，则cos＝________；
(3)已知sin＝，则cos＝________.
解析：(1)由cos＝－sin α＝－0.3，
得sin α＝0.3.
所以sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.
(2)cos＝cos＝cos
＝－cos＝－.
(3)因为＋＝，
所以cos＝cos
＝sin＝.
答案：(1)－0.3 (2)－ (3)
利用诱导公式解决求值问题的方法
解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选用诱导公式求解，一般可从两角的和、差的计算结果入手寻找两角的关系，如两角互补，两角互余．
利用诱导公式化简求值
[典例] 化简：··.
[解] 原式＝··
＝··
＝··
＝1.
利用诱导公式化简三角函数式的一般步骤
(1)用“－α”公式化为正角的三角函数；
(2)用“2kπ＋α”公式化为[0,2π)范围内的角的三角函数；
(3)用“π±α”“2π±α”或“±α”公式化为锐角的三角函数．
[活学活用]
设k为整数，化简：.
解：法一：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1.
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，
则原式＝
＝＝＝－1.
综上可得，原式＝－1.
法二：由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，
[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，
得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，
cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)．
又sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
故原式＝＝－1.
层级一 学业水平达标
1．sin 480°的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
2．已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C sin＝sin＝sin＝cos α＝.
3．函数y＝sin x，x∈的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，
C.，－ D．1，－
解析：选C 函数y＝sin x在区间上是增加的，则最大值是sin＝，最小值是sin＝－.
4．sin(π－2)－cos化简的结果为( )
A．0 B．－1
C．2sin 2 D．－2sin 2
解析：选A 原式＝sin 2－sin 2＝0，所以选A.
5．若sin(9π＋α)＝－，则cos＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵sin(9π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，
∴cos＝cos＝－sin α＝－.
6．函数y＝2＋cos x的定义域为________．
解析：由条件知定义域为R.
答案：R
7．函数y＝sin x，x∈的增区间为________，减区间为________．
解析：借助单位圆可知，y＝sin x，x∈，在区间上是减少的，在上是增加的．
答案：
8．已知α为第二象限角，化简＝________.
解析：原式＝＝.
∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴原式＝＝－1.
答案：－1
9．设f(θ)＝，
求f 的值．
解：因为f(θ)＝
＝
＝＝cos θ，
所以f＝cos
＝cos＝cos＝.
10．求下列函数的最小正周期及值域．
(1)y＝－cos x＋2；(2)y＝asin x＋b(a＜0)．
解：(1)当y＝cos x取得最大值时，y＝－cos x＋2取得最小值，而当y＝cos x取得最小值时，y＝－cos x＋2取得最大值，所以y＝－cos x＋2的值域是[1,3]，最小正周期是2π.
(2)∵－1≤sin x≤1，且a＜0，∴当sin x＝－1时，
ymax＝－a＋b；当sin x＝1时，ymin＝a＋b，∴y＝asin x＋b的值域是[a＋b，－a＋b]，y＝asin x＋b的最小正周期是2π.
层级二 应试能力达标
1．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( )
A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β
解析：选B 由α＋β＝180°得α＝180°－β，两边同时取正弦函数得sin α＝sin(180°－β)＝sin β，两边同时取余弦函数得cos α＝cos(180°－β)＝－cos β.
2．化简所得的结果是( )
A．sin α B．－sin α
C．cos α D．－cos α
解析：选C 原式＝＝cos α.
3．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 017)＝3，则f(2 018)的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C ∵f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝3，∴asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－1，∴f(2 018)＝asin(2 017π＋α＋π)＋bcos(2 017π＋β＋π)＋4＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)＋4＝1＋4＝5.
4．如果角α的终边经过点P(sin 780°，cos(－330°))，则sin α＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选C sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos 30°＝.所以P，，所以r＝|OP|＝.由三角函数的定义，得sin α＝＝＝.
5．y＝3sin x，x∈的值域为________．
解析：借助单位圆可知，函数y＝sin x，x∈在x＝处取最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin x≤1，所以－≤3sin x≤3.
答案：
6．已知sin＝，则cos＝________.
解析：∵－x＋x＋＝
∴cos＝sin＝.
答案：
7．已知α是第四象限角，且
f(α)＝.
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
解：f(α)＝
＝
＝.
(1)∵cos＝，
∴cos＝，
∴cos＝，
∴sin α＝－，∴f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1 860°时，f(α)＝＝＝＝＝＝－.
8．已知函数f(x)＝.
(1)判定函数f(x)是否为周期函数；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，求f(x)的值域．
解：(1)由于－1≤sin x≤1，所以f(x)的定义域是R.
又f(x＋2π)＝＝＝f(x)，
故f(x)是周期函数．
(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间(k∈Z)上，函数y＝sin x是增函数，而此时函数h(x)＝2－sin x是减函数，从而可知此时函数f(x)是增函数，
故可知函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(3)设t＝sin x，则t∈，
所以1≤2－t＜，则＜≤1.
故f(x)的值域为.
课件24张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(五)”
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课时跟踪检测（五） 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本
性质 单位圆的对称性与诱导公式
层级一 学业水平达标
1．sin 480°的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
2．已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C sin＝sin＝sin＝cos α＝.
3．函数y＝sin x，x∈的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，
C.，－ D．1，－
解析：选C 函数y＝sin x在区间上是增加的，则最大值是sin＝，最小值是sin＝－.
4．sin(π－2)－cos化简的结果为( )
A．0 B．－1
C．2sin 2 D．－2sin 2
解析：选A 原式＝sin 2－sin 2＝0，所以选A.
5．若sin(9π＋α)＝－，则cos＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵sin(9π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，
∴cos＝cos＝－sin α＝－.
6．函数y＝2＋cos x的定义域为________．
解析：由条件知定义域为R.
答案：R
7．函数y＝sin x，x∈的增区间为________，减区间为________．
解析：借助单位圆可知，y＝sin x，x∈，在区间上是减少的，在上是增加的．
答案：
8．已知α为第二象限角，化简＝________.
解析：原式＝＝.
∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴原式＝＝－1.
答案：－1
9．设f(θ)＝，
求f 的值．
解：因为f(θ)＝
＝
＝＝cos θ，
所以f＝cos
＝cos＝cos＝.
10．求下列函数的最小正周期及值域．
(1)y＝－cos x＋2；(2)y＝asin x＋b(a＜0)．
解：(1)当y＝cos x取得最大值时，y＝－cos x＋2取得最小值，而当y＝cos x取得最小值时，y＝－cos x＋2取得最大值，所以y＝－cos x＋2的值域是[1,3]，最小正周期是2π.
(2)∵－1≤sin x≤1，且a＜0，∴当sin x＝－1时，
ymax＝－a＋b；当sin x＝1时，ymin＝a＋b，∴y＝asin x＋b的值域是[a＋b，－a＋b]，y＝asin x＋b的最小正周期是2π.
层级二 应试能力达标
1．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( )
A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β
解析：选B 由α＋β＝180°得α＝180°－β，两边同时取正弦函数得sin α＝sin(180°－β)＝sin β，两边同时取余弦函数得cos α＝cos(180°－β)＝－cos β.
2．化简所得的结果是( )
A．sin α B．－sin α
C．cos α D．－cos α
解析：选C 原式＝＝cos α.
3．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 017)＝3，则f(2 018)的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C ∵f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝3，∴asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－1，∴f(2 018)＝asin(2 017π＋α＋π)＋bcos(2 017π＋β＋π)＋4＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)＋4＝1＋4＝5.
4．如果角α的终边经过点P(sin 780°，cos(－330°))，则sin α＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选C sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos 30°＝.所以P，，所以r＝|OP|＝.由三角函数的定义，得sin α＝＝＝.
5．y＝3sin x，x∈的值域为________．
解析：借助单位圆可知，函数y＝sin x，x∈在x＝处取最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin x≤1，所以－≤3sin x≤3.
答案：
6．已知sin＝，则cos＝________.
解析：∵－x＋x＋＝
∴cos＝sin＝.
答案：
7．已知α是第四象限角，且
f(α)＝.
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
解：f(α)＝
＝
＝.
(1)∵cos＝，
∴cos＝，
∴cos＝，
∴sin α＝－，∴f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1 860°时，f(α)＝＝＝＝＝＝－.
8．已知函数f(x)＝.
(1)判定函数f(x)是否为周期函数；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，求f(x)的值域．
解：(1)由于－1≤sin x≤1，所以f(x)的定义域是R.
又f(x＋2π)＝＝＝f(x)，
故f(x)是周期函数．
(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间(k∈Z)上，函数y＝sin x是增函数，而此时函数h(x)＝2－sin x是减函数，从而可知此时函数f(x)是增函数，
故可知函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(3)设t＝sin x，则t∈，
所以1≤2－t＜，则＜≤1.
故f(x)的值域为.
