5．1 正弦函数的图像
预习课本P25～28，思考并完成以下问题
用五点法描出y＝sin x的图像，其中五点指的是哪五个点？
正弦函数的图像
(1)图像：正弦函数y＝sin x的图像，又称为正弦曲线，如图所示．
(2)画法：在平面直角坐标系中描出五个关键点：
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
然后再根据正弦函数的基本形状，用光滑曲线将这五个点连接起来，得到正弦函数在[0,2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法称为五点法．
[点睛] 作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，在x轴、y轴上要统一单位，作出的图像才正规、准确．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x的图像与y＝sin(π－x)的图像相同( )
(2)用五点法作出y＝－sin x图像必经过点( )
答案：(1)√ (2)×
2．点M在函数y＝sin x＋1的图像上，则b等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选C 将M的坐标代入函数式得b＝sin＋1＝2.
3．用“五点法”作y＝2－sin x(x∈[0,2π])的图像时，五个关键点的纵坐标是( )
A．0,1,0，－1,0 B．0,2,0，－2,0
C．2,1,2,3,2 D．2,3,2，－3,2
解析：选C 因为用“五点法”作y＝sin x(x∈[0,2π])的图像时，五个关键点的纵坐标依次是：0,1,0，－1,0，所以y＝－sin x(x∈[0,2π])的五个关键点的纵坐标依次是：0，－1,0,1,0，所以y＝2－sin x(x∈[0,2π])的五个关键点的纵坐标依次是：2,1,2,3,2.
4．当x∈[0，π]时，y＝2sin x的值域为________．
解析：结合图像知y∈[0,2]．
答案：[0,2]
五点法作函数的图像
[典例] 用“五点法”画出函数y＝3－sin x(x∈[0,2π])的图像．
[解] (1)列表，如下表所示：
x
0
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝3－sin x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示：
用五点法作正弦函数简图的方法
五点法作图是画三角函数简图的常用方法，作图过程中运用整体代换思想．五个关键点主要指函数图像的平衡点及最高点、最低点，连线要保持平滑，同时注意凹凸方向．
[活学活用]
用“五点法”作出y＝的图像．
解：∵y＝＝|sin x|，
∴只需作出y＝sin x的图像，并将x轴下方的部分作关于x轴的对称即可．
列表，如下表所示：
x
0
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝|sin x|
0
1
0
1
0
描点连线，如图所示：
正弦函数图像的应用
题点一：利用正弦函数图像求解三角不等式
1．写出使sin x≥(x∈R)成立的x的取值集合．
解：如图，画出y＝sin x在x∈[0,2π]内的图像．
其中直线y＝与y＝sin x的交点M，M′的横坐标分别是，，故在0≤x≤2π中满足sin x≥的角x的集合为.
因此当x∈R时，集合为.
题点二：利用正弦函数图像判断方程解的个数问题
2．方程sin x＝lg x的解的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由y＝sin x与y＝lg x图像(如图)有三个交点，故方程有3个解．
题点三：利用正弦函数图像求解参数范围问题
3．若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
解析：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
如图，则k的取值范围是1＜k＜3.
答案：(1,3)
利用正弦函数图像求解问题的步骤
(1)分析条件，构造出相应的正弦函数；
(2)作出相应的正弦函数的图像，注意做出的图像要规范；
(3)根据问题结合图像求解．
层级一 学业水平达标
1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像位置不同，但形状相同．
2．下列函数图像相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
解析：选D A、B、C中f(x)＝－g(x)，D中f(x)＝g(x)．
3．若函数y＝sin(x＋φ)的图像过点，则φ的值可以为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 将点代入y＝sin(x＋φ)，可得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，只有选项C满足．
4. 如图是下列哪个函数的图像( )
A．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]
B．y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]
C．y＝1－sin x，x∈[0,2π]
D．y＝1－2sin x，x∈[0,2π]
解析：选C 把这一坐标代入选项检验，即可排除A、B、D.
5．在[0,2π)内，方程|sin x|＝根的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D y＝|sin x|＝
(k∈Z)．其图像如图所示．
由图，在[0,2π)内y＝这条直线与它有4个交点．
6．利用五点法画函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的简图时，所取的五点分别为
________________．
答案：(0,2)，，(π，2)，，(2π，2)
7．函数y＝的定义域为________．
解析：由2sin x≥0，∴sin x≥0，
∴x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
答案：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
8．若－≤θ≤，则sin θ的取值范围为________．
解析：作出y＝sin θ的图像，由图知当－≤θ≤时，－1≤sin θ≤.
答案：
9．作出函数y＝－2sin x(0≤x≤2π)的简图．
解：列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－2sin x
0
－2
0
2
0
描点，并用光滑的曲线连接起来，如图．
10．利用正弦曲线，求满足解：首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图像，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，
该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图像可知，在[0,2π]上，
当所以.
层级二 应试能力达标
1．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sin x|
解析：选C 注意到此函数图像所对应的函数值有正有负，因此排除A、D.当x∈(0，π)时，sin|x|＞0，与题图不符合，因此排除B.
2．以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是( )
A．在x∈(－2π，0)上与x轴只有一个交点
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴只有1个交点
解析：选B A、C、D都正确，对于B，y＝sin x的图像的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，所以x轴不可能是它的对称轴．
3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2的交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 由y＝1＋sin x在[0,2π]上的图像，知可知只有1个交点．
4．函数f(x)＝2x－sin x的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x与y＝sin x的图像，如图．由图可知，两个函数图像有1个交点，故函数f(x)＝2x－sin x的零点个数为1.
5．若sin x＝4m＋1，x∈，则实数m的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图像，知当x∈时，sin x∈，要使sin x＝4m＋1，x∈有解，则≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案：
6．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是________．
解析：画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－的解集是.
7．已知函数y＝－sin x.
(1)作出此函数在x∈[0,2π]的大致图像，并写出使y＜0的x的取值范围；
(2)利用第(1)题结论，分别写出此函数在x∈R时，使y＜0与y＞0的x的取值范围．
解：(1)作图，如图所示：
在x∈[0,2π]上，当x∈时，y＜0.
(2)当x∈，k∈Z时，y＜0，
当x∈，k∈Z时，y＞0.
8．方程sin x＝在x∈上有两个实数解，求a的取值范围．
解：设y1＝sin x，x∈，
y2＝.y1＝sin x，x∈的图像如图．由图可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，y1＝sin x，
x∈的图像与y2＝的图像有两个交点，
即方程sin x＝在x∈，π上有两个实数解，
所以a的取值范围是(－1,1－ ]．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(六)”
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课时跟踪检测（六） 正弦函数的图像
层级一 学业水平达标
1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像位置不同，但形状相同．
2．下列函数图像相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
解析：选D A、B、C中f(x)＝－g(x)，D中f(x)＝g(x)．
3．若函数y＝sin(x＋φ)的图像过点，则φ的值可以为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 将点代入y＝sin(x＋φ)，可得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，只有选项C满足．
4. 如图是下列哪个函数的图像( )
A．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]
B．y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]
C．y＝1－sin x，x∈[0,2π]
D．y＝1－2sin x，x∈[0,2π]
解析：选C 把这一坐标代入选项检验，即可排除A、B、D.
5．在[0,2π)内，方程|sin x|＝根的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D y＝|sin x|＝
(k∈Z)．其图像如图所示．
由图，在[0,2π)内y＝这条直线与它有4个交点．
6．利用五点法画函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的简图时，所取的五点分别为
________________．
答案：(0,2)，，(π，2)，，(2π，2)
7．函数y＝的定义域为________．
解析：由2sin x≥0，∴sin x≥0，
∴x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
答案：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
8．若－≤θ≤，则sin θ的取值范围为________．
解析：作出y＝sin θ的图像，由图知当－≤θ≤时，－1≤sin θ≤.
答案：
9．作出函数y＝－2sin x(0≤x≤2π)的简图．
解：列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－2sin x
0
－2
0
2
0
描点，并用光滑的曲线连接起来，如图．
10．利用正弦曲线，求满足解：首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图像，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，
该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图像可知，在[0,2π]上，
当所以.
层级二 应试能力达标
1．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sin x|
解析：选C 注意到此函数图像所对应的函数值有正有负，因此排除A、D.当x∈(0，π)时，sin|x|＞0，与题图不符合，因此排除B.
2．以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是( )
A．在x∈(－2π，0)上与x轴只有一个交点
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴只有1个交点
解析：选B A、C、D都正确，对于B，y＝sin x的图像的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，所以x轴不可能是它的对称轴．
3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2的交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 由y＝1＋sin x在[0,2π]上的图像，知可知只有1个交点．
4．函数f(x)＝2x－sin x的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x与y＝sin x的图像，如图．由图可知，两个函数图像有1个交点，故函数f(x)＝2x－sin x的零点个数为1.
5．若sin x＝4m＋1，x∈，则实数m的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图像，知当x∈时，sin x∈，要使sin x＝4m＋1，x∈有解，则≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案：
6．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是________．
解析：画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－的解集是.
7．已知函数y＝－sin x.
(1)作出此函数在x∈[0,2π]的大致图像，并写出使y＜0的x的取值范围；
(2)利用第(1)题结论，分别写出此函数在x∈R时，使y＜0与y＞0的x的取值范围．
解：(1)作图，如图所示：
在x∈[0,2π]上，当x∈时，y＜0.
(2)当x∈，k∈Z时，y＜0，
当x∈，k∈Z时，y＞0.
8．方程sin x＝在x∈上有两个实数解，求a的取值范围．
解：设y1＝sin x，x∈，
y2＝.y1＝sin x，x∈的图像如图．由图可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，y1＝sin x，
x∈的图像与y2＝的图像有两个交点，
即方程sin x＝在x∈，π上有两个实数解，
所以a的取值范围是(－1,1－ ]．
