5．2 正弦函数的性质
预习课本P28～30，思考并完成以下问题
1．正弦函数取得最大值时x的值是什么？
2．正弦函数的单调区间是什么？
3．怎样判断正弦函数是奇函数？
正弦函数的性质
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1,1]
周期性
最小正周期为2π
最值
当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1
当x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1
单调性
在每一个闭区间上是增加的，在
上是减少的，k∈Z
奇偶性
奇函数
[点睛] (1)利用正弦函数的周期性，可把正弦函数在一个周期内的性质，延拓到整个定义域上，这为研究函数的性质提供了很大的方便．
(2)单调区间(k∈Z)表示的是一个个区间，即…，，，…，而不表示成…∪∪∪….要特别与集合表示区别开来．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝2－sin x的最小正周期为2π( )
(2)函数y＝cos为奇函数( )
(3)当且仅当x＝－时，y＝3－sin x取最大值( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．函数y＝sin x的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝0 D．x＝π
解析：选A 由图像知正弦函数的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)．
3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 通过观察y＝|sin x|的图像可得．
4．函数y＝1－2sin x的最大值为________．
解析：当且仅当sin x＝－1时，ymax＝3.
答案：3
正弦函数的定义域、值域问题
[典例] (1)求函数y＝的定义域．
(2)求下列函数的值域．
①y＝－2sin x＋1；②y＝；
③y＝－2sin2x＋5sin x－2.
[解] (1)要使函数有意义，只需2sin x＋≥0，即sin x≥－.如图所示，在区间上，适合条件的x的取值范围是－≤x≤.
所以该函数的定义域是，k∈Z.
(2)①[直接法]
∵－1≤sin x≤1，∴－2≤－2sin x≤2.
－1≤－2sin x＋1≤3，即－1≤y≤3，
∴值域为[－1,3]．
②[反解法]
原式可化为ysin x＋2y＝sin x，
∴sin x·(y－1)＝－2y，∴sin x＝，
∵－1≤sin x≤1，
∴－1≤≤1.解得－1≤y≤，
故函数y＝的值域为.
③[换元法]
y＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－22＋.
∵－1≤sin x≤1，
∴ymin＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，
ymax＝－2×12＋5×1－2＝1.
故函数y＝－2sin2x＋5sin x－2的值域是[－9,1]．
(1)求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．
(2)与正弦函数有关的值域求法常见的有直接法、反解法、换元法．
[活学活用]
1．函数f(x)＝ln(1－sin x)的定义域为____________．
解析：要使函数有意义只需1－sin x＞0，
即sin x＜.
在区间上，适合条件的x的取值范围是＜x＜.
所以该函数的定义域为.
答案：
2．函数y＝2sin的最大值为________，最小值为________．
解析：∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
答案：2 0
3．求下列函数的值域．
(1)y＝sin2x－sin x；
(2)y＝|sin x|＋sin x.
解：(1)y＝sin2x－sin x＝2－.
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝时，y取最小值为－；
当sin x＝－1时，y取最大值为2.
∴y＝sin2x－sin x的值域为.
(2)当sin x≥0时，|sin x|＝sin x；
当sin x＜0时，|sin x|＝－sin x，
∴原式可化为y＝
由－1≤sin x≤1，可知0≤y≤2，
∴函数y＝|sin x|＋sin x的值域是[0,2].
正弦函数的周期性与奇偶性问题
[典例] (1)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝xsin(π＋x)；
②f(x)＝.
(2)求下列函数的最小正周期．
①f(x)＝sin 2x；
②f(x)＝|sin x|.
[解] (1)①f(x)＝－xsin x，定义域为R.
∵f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
②由2sin x－1≥0，得sin x≥，
∴x∈(k∈Z)．
∴函数f(x)的定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(2)①∵sin 2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，
∴f(x)＝sin 2x的最小正周期为π.
②作出f(x)＝|sin x|的图像，观察知最小正周期T＝π.
1．判断函数奇偶性的方法
2．求三角函数的周期，通常有三种方法
(1)定义法．
(2)公式法．对于y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝；
(3)观察法(图像法)．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.
[活学活用]
1．函数y＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇函数又偶函数 D．非奇非偶
解析：选A f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)．
2．函数y＝－sin 3x的最小正周期为________．
解析：利用定义或作出图像知T＝.
答案：
正弦函数的单调性问题
题点一：求单调区间
1．求函数y＝sin(－x)的单调递增区间．
解：∵y＝sin(－x)＝－sin x，且函数y＝sin x
在(k∈Z)上是增加的，
在(k∈Z)上是减少的，
∴函数y＝sin(－x)的单调增区间为
(k∈Z)．
题点二：利用正弦函数单调性比较大小
2．比较大小：
(1)sin与sin；
(2)sin与sin.
解：(1)∵sin＝sin＝sin，
y＝sin x在x∈上是减少的，
且＜＜＜π，
∴sin＞sin.
即sin＞sin.
(2)∵sin＝－sin＝－sin
＝－sin＝－sin，
sin＝sin＝－sin.
函数y＝sin x在上是增加的，
且0＜＜＜，
所以sin＜sin，－sin＞－sin.
即sin＜sin.
题点三：已知正弦函数的单调性求参数范围
3．若函数y＝sin x在[0，a]上为增函数，则a的取值范围为________．
解析：由函数y＝sin x的图像(图略)可知，函数y＝sin x在上为增函数，
∴[0，a]?，∴0＜a≤.
答案：
(1)利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．
(2)已知正弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．
层级一 学业水平达标
1．M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A. B．－
C．－ D．－2
解析：选D ∵M＝ymax＝－1＝－，
m＝ymin＝－－1＝－，
∴M＋m＝－－＝－2.
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝－2sin x
C．y＝1＋sin x D．y＝|sin x|
解析：选D 4个选项中，满足偶函数定义f(－x)＝f(x)的，只有选项D.
3．函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选B y＝sin x的单调递增区间就是y＝4sin x＋3的单调递增区间．故选B.
4．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
A．[－1,1] B.
C. D.
解析：选C y＝sin2x＋sin x－1＝2－，当sin x＝－时，ymin＝－；当sin x＝1时，ymax＝1.即y∈.
5．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，
∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
6．若f(x)是R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是________．
解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，
∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－sin x．故函数f(x)的解析式是f(x)＝sin|x|.
答案：f(x)＝sin|x|
7．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．
解析：由x∈，得x＋π∈.令t＝x＋π，由函数y＝sin t在上的图像，知其单调递增区间为，则≤x＋π≤2π，解得≤x≤π.
答案：
8．比较大小：sin________sin.
解析：∵sin＝sin，sin＝sin，
又0<<<，
y＝sin x在上是增加的，
∴sin答案：<
9．求函数y＝1－sin 的单调递增区间．
解：由2kπ＋≤≤2kπ＋，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．
10．求函数y＝3－2sin x的最大值、最小值，并求出相应x的集合．
解：因为－1≤sin x≤1，
所以当sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最大值5，相应x的集合为.
当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最小值1，
相应x的集合为.
层级二 应试能力达标
1．使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ的值可以是( )
A. B.
C．π D.
解析：选C 由函数f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ ＝kπ(k∈Z)，故选C.
2．函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选B 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
3．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选A 法一：易知y＝sin x在R上为奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝0.
法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即
sin(－x)－|a|＝－sin x＋|a|，
－sin x－|a|＝－sin x＋|a|.
∴|a|＝0，即a＝0.
4．已知α，β∈，且cos α＞sin β，则α＋β与的大小关系是 ( )
A．α＋β＞ B．α＋β＜
C．α＋β≥ D．α＋β≤
解析：选B 由诱导公式得cos α＝sin.因为0＜α＜，所以0＜－α＜，又0＜β＜，cos α＝sin＞sin β，且正弦函数y＝sin x在上是增加的，所以－α＞β，即α＋β＜.
5．已知ω＞0，函数f(x)＝2sin ωx在上单调递增，则ω的取值范围为________．
解析：由－≤ωx≤(ω＞0)，得－≤x≤.
由题意?，∴
∴0＜ω≤.
答案：
6．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析：f(x)＝＝1＋.
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)．
又g(x)的定义域为R，
∴g(x)是奇函数，由奇函数图像的对称性，
知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案：2
7．分别求函数y＝1－sin2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．
解：y＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4，此时x的取值集合是；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4，
此时x的取值集合是.
8．已知a＞0,0≤x＜2π，若函数y＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并分别求出使y取得最大值和最小值时x的值．
解：y＝－2＋＋b＋1，－1≤sin x≤1，a＞0，
①若0＜≤1，即0＜a≤2，
则当sin x＝－时，ymax＝＋b＋1＝0，
当sin x＝1时，ymin＝－2＋＋b＋1＝－4，
∴a＝2，b＝－2.
②若＞1，即a＞2，
∴当sin x＝－1时，ymax＝－2＋＋b＋1＝0，
当sin x＝1时，ymin＝－2＋＋b＋1＝－4，
∴a＝2，b＝－2，不合题意，舍去．
综上，a＝2，b＝－2，
当x＝时，ymax＝0；当x＝时，ymin＝－4.
课件31张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(七)”
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课时跟踪检测（七） 正弦函数的性质
层级一 学业水平达标
1．M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A. B．－
C．－ D．－2
解析：选D ∵M＝ymax＝－1＝－，
m＝ymin＝－－1＝－，
∴M＋m＝－－＝－2.
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝－2sin x
C．y＝1＋sin x D．y＝|sin x|
解析：选D 4个选项中，满足偶函数定义f(－x)＝f(x)的，只有选项D.
3．函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选B y＝sin x的单调递增区间就是y＝4sin x＋3的单调递增区间．故选B.
4．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
A．[－1,1] B.
C. D.
解析：选C y＝sin2x＋sin x－1＝2－，当sin x＝－时，ymin＝－；当sin x＝1时，ymax＝1.即y∈.
5．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，
∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
6．若f(x)是R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是________．
解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，
∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－sin x．故函数f(x)的解析式是f(x)＝sin|x|.
答案：f(x)＝sin|x|
7．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．
解析：由x∈，得x＋π∈.令t＝x＋π，由函数y＝sin t在上的图像，知其单调递增区间为，则≤x＋π≤2π，解得≤x≤π.
答案：
8．比较大小：sin________sin.
解析：∵sin＝sin，sin＝sin，
又0<<<，
y＝sin x在上是增加的，
∴sin答案：<
9．求函数y＝1－sin 的单调递增区间．
解：由2kπ＋≤≤2kπ＋，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．
10．求函数y＝3－2sin x的最大值、最小值，并求出相应x的集合．
解：因为－1≤sin x≤1，
所以当sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最大值5，相应x的集合为
.
当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最小值1，
相应x的集合为.
层级二 应试能力达标
1．使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ的值可以是( )
A. B.
C．π D.
解析：选C 由函数f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ ＝kπ(k∈Z)，故选C.
2．函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选B 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
3．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选A 法一：易知y＝sin x在R上为奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝0.
法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即
sin(－x)－|a|＝－sin x＋|a|，
－sin x－|a|＝－sin x＋|a|.
∴|a|＝0，即a＝0.
4．已知α，β∈，且cos α＞sin β，则α＋β与的大小关系是 ( )
A．α＋β＞ B．α＋β＜
C．α＋β≥ D．α＋β≤
解析：选B 由诱导公式得cos α＝sin.因为0＜α＜，所以0＜－α＜，又0＜β＜，cos α＝sin＞sin β，且正弦函数y＝sin x在上是增加的，所以－α＞β，即α＋β＜.
5．已知ω＞0，函数f(x)＝2sin ωx在上单调递增，则ω的取值范围为________．
解析：由－≤ωx≤(ω＞0)，得－≤x≤.
由题意?，∴
∴0＜ω≤.
答案：
6．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析：f(x)＝＝1＋.
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)．
又g(x)的定义域为R，
∴g(x)是奇函数，由奇函数图像的对称性，
知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案：2
7．分别求函数y＝1－sin2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．
解：y＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4，此时x的取值集合是
；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4，
此时x的取值集合是.
8．已知a＞0,0≤x＜2π，若函数y＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并分别求出使y取得最大值和最小值时x的值．
解：y＝－2＋＋b＋1，－1≤sin x≤1，a＞0，
①若0＜≤1，即0＜a≤2，
则当sin x＝－时，ymax＝＋b＋1＝0，
当sin x＝1时，ymin＝－2＋＋b＋1＝－4，
∴a＝2，b＝－2.
②若＞1，即a＞2，
∴当sin x＝－1时，ymax＝－2＋＋b＋1＝0，
当sin x＝1时，ymin＝－2＋＋b＋1＝－4，
∴a＝2，b＝－2，不合题意，舍去．
综上，a＝2，b＝－2，
当x＝时，ymax＝0；当x＝时，ymin＝－4.
