预习课本P31～33，思考并完成以下问题
1．用五点法作余弦函数图像，五点是指哪五点？
2．余弦函数的定义域、值域与正弦函数相同吗？
3．余弦函数的奇偶性如何判断？
4．余弦函数的单调区间是什么？
5．余弦函数的最小正周期是多少？
1．余弦函数的图像
(1)余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x向左平移个单位长度得到．
(2)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作余弦曲线．图像如图所示：
(3)用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
[点睛] 作余弦函数图像的五点是当x分别取0，，π，，2π时所对应的五点，不能随意选取，描出五点后，连线时，要保持曲线平滑，并注意凹凸方向．
2．余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ(k∈Z，k≠0)为周期，2π为最小正周期
单调性
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x 的图像与函数y＝sin x的图像的形状完全一样，只是位置不同( )
(2)y＝cos x的图像与x轴有无数个交点( )
(3)y＝cos x的图像关于y轴对称( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．要得到函数y＝－sin x的图像，只需将函数y＝cos x的图像( )
A．向右平移个单位长度 B．向右平移π个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移π个单位长度
解析：选C 作出两函数的图像知C正确．
3．函数y＝2－3cos x的递减区间是( )
A．[0，π] B．[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)
C．[π，2π] D．[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)
解析：选D 函数y＝2－3cos x的递减区间即函数y＝－cos x的递减区间，也即函数y＝cos x的递增区间，即[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)．
4．若函数f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，则下列数值：①，②，③π，④2π中，φ的可能取值是________(填序号)．
解析：由题意得φ＝＋kπ(k∈Z)，仅有②满足．
答案：②
余弦函数的图像
[典例] 用“五点法”作出函数y＝2cos x－1，x∈[0,2π]的图像．
[解] 列表：
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝2cos x－1
1
－1
－3
－1
1
描点画图(如图所示)．
(1)用“五点法”作图，首先要找到关键的五个点，然后连线．
(2)学习中需加强对用五点法作正弦、余弦函数图像区别和联系的理解．
[活学活用]
用“五点法”作出函数y＝1－cos x在[－2π，2π]上的图像．
解：①列表：
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos x
1
1
②作出y＝1－cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像．从而得出y＝1－cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．
如图所示：
余弦函数的定义域、值域问题
[典例] (1)求f(x)＝的定义域．
(2)求下列函数的值域．
①y＝－2cos x－1；
②y＝；
③y＝cos2x－3cos x＋2.
[解] (1)由2cos x－1≥0知cos x≥，
作出y＝cos x在x∈[－π，π]的图像知
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴定义域为.
(2)①[直接法]
∵－1≤cos x≤1，
∴－2≤－2cos x≤2，
∴－3≤－2cos x－1≤1.
∴函数y＝－2cos x－1的值域为[－3,1]．
②[反解法]
由y＝可得(1－2y)cos x＝y，
cos x＝，
∵|cos x|≤1，∴cos2x≤1，
∴≤1，即3y2－4y＋1≥0，
∴y≤或y≥1.
∴函数y＝的值域为∪[1，＋∞)．
③[换元法]
令t＝cos x，∵x∈R，∴t∈[－1,1]．
∴原函数可化为y＝t2－3t＋2＝2－，易知该二次函数的图像开口向上，且对称轴为直线t＝，
∴t∈[－1,1]为二次函数的单调递减区间．
∴t＝－1时，ymax＝6；t＝1时，ymin＝0.
∴函数y＝cos2x－3cos x＋2的值域为[0,6]．
(1)求与余弦函数有关的定义域时注意结合余弦函数的图像．
(2)与余弦函数有关的值域的求法．
①直接法．利用y＝cos x的有界性或已知x的范围求y＝cos x的值域．
②反解法．也是利用有界性，但是要把函数反解成cos x＝g(y)的形式，再用－1≤g(y)≤1，解得y的范围．
③换元法．令t＝cos x，整体换元，换元后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、对数函数等．
[活学活用]
1．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵0≤x≤，∴≤x＋≤.
∵y＝cos x在[0，π]上为减函数，
∴－≤cos≤.
2．求y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最值．
解：y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.
∵x∈，cos x∈，
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos x＝时，即x＝时，ymin＝－.
∴原函数在区间上的最大值为，最小值为－.
余弦函数的性质问题
[典例] 已知f(x)＝2＋cos x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的最小正周期．
[解] (1)∵f(x)＝2＋cos x的定义域为R且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)＝2＋cos x为偶函数．
(2)∵y＝cos x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的，
∴y＝2＋cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(3)由cos x的周期性知y＝2＋cos x的最小正周期为2π.
求解与余弦函数性质有关的问题应注意两点
(1)熟记有关余弦函数性质及其结论．
(2)注意结合图像进行判断求解．
[活学活用]
1．函数y＝cos 2x的最小正周期为________．
解析：令z＝2x，∴f(x)＝cos 2x＝cos z＝cos(z＋2π)＝cos(2x＋2π)＝cos[2(x＋π)]，
即f(x＋π)＝f(x)，
∴T＝π.
答案：π
2．f(x)＝x·sin的奇偶性为________．
解析：此函数的定义域R关于原点对称，
且f(x)＝x＝x·(－cos x)
＝－xcos x，
∴f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcos x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
答案：奇函数
3．比较下列各组数的大小．
(1)cos，cos；(2)cos，cos.
解：(1)cos＝cos.
∵0＜＜＜π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，
∴cos＞cos，即cos＞cos.
(2)cos＝sin.
∵0＜＜＜，且y＝sin x在上单调递增，
∴sin＜sin，即0＜cos＜sin＜1.
而y＝cos x在(0,1)上单调递减，
∴cos＞cos.
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝cos的图像的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
解析：选A 可代入验证，对A项x＝时f(x)＝cos＝cos 0＝1，故x＝是它的一条对称轴．同理得B、C、D项都不符合，选A.
2．函数y＝－2cos x＋3的值域为( )
A．[1,5] B．[－5,1]
C．[－1,5] D．[－3,1]
解析：选A ∵－1≤cos x≤1，
∴1≤－2cos x＋3≤5，即值域为[1,5]．
3．函数y＝cos x－2在x∈[－π，π]上的图像是( )
解析：选A 把y＝cos x，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位长度即可．
4．若f(x)＝cos x在[－b，－a]上是增加的，则f(x)在[a，b]上是( )
A．先增加后减少 B．先减少后增加
C．减少的 D．增加的
解析：选C f(x)＝cos x是偶函数，偶函数在对称的区间上单调性相反．
5．函数y＝|cos x|的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 作出函数y＝|cos x|的图像，由图像可知A、B都不是单调区间，D为单调递增区间，为单调递减区间，故选C.
6．方程x2＝cos x的实数解的个数为________．
解析：作出函数y＝x2与y＝cos x的图像(如图)，
由图像可知y＝x2与y＝cos x的图像有两个交点，
∴方程x2＝cos x有两个解．
答案： 2
7．比较大小：cos________cos.
解析：∵cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
而0<<<，又y＝cos x在上是减少的，
∴cos>cos，
即cos>cos.
答案：>
8．函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间为________．
解析：y＝cos(－x)＝cos x，当x∈[0,2π]时，其单调递减区间为[0，π]．
答案：[0，π]
9．画出函数y＝1＋|cos x|，x∈[0,2π]的图像．
解：列表：
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝1＋|cos x|
2
1
2
1
2
描点画图(如图所示)．
10．求函数y＝2－cos的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的取值集合．
解：令z＝，∵－1≤cos z≤1，∴1≤2－cos z≤3，
∴y＝2－cos的最大值为3，最小值为1.
当z＝2kπ，k∈Z时，cos z取得最大值，2－cos z取得最小值．又z＝，故x＝6kπ，k∈Z.
当z＝(2k＋1)π，k∈Z时，cos z取得最小值，2－cos z取得最大值；又z＝，故x＝(6k＋3)π，k∈Z.
综上，该函数取得最大值3时，x＝(6k＋3)π，k∈Z；该函数取得最小值为1时，x＝6kπ，k∈Z.
层级二 应试能力达标
1．下列函数中，最小正周期为2π的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
解析：选B 由y＝sin|x|的图像，易知选项D不是周期函数．选项A、C的最小正周期均为π.B中y＝cos|x|＝cos x，最小正周期为2π.
2．下列函数中，最小正周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选A 因为函数的最小正周期为π，所以排除C、D.又y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合题意．只有函数y＝sin＝cos 2x的周期为π，且在上为减函数．故选A.
3．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：选D f(x)＝sin＝－sin＝－cos x.
∵y＝cos x的最小正周期为T＝2π，故A正确；
∵y＝cos x在上是减函数，
∴f(x)＝－cos x在上是增函数，故B正确；
∵y＝cos x的图像关于y轴对称，
∴f(x)＝－cos x的图像也关于y轴对称，故C正确；
∵y＝cos x是偶函数，∴f(x)＝－cos x也是偶函数，故D错误．
4．在(0,2π)内使sin x＞|cos x|成立的实数x的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
解析：选A ∵sin x＞|cos x|，∴sin x＞0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈.
5．函数?(x)＝3cos(ω＞0)的最小正周期为，则?(π)＝________.
解析：由已知＝得ω＝3，
∴?(x)＝3cos，∴?(π)＝3cos
＝3cos＝－3cos＝－.
答案：－
6．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取得最大值．
解析：y＝3cos(π－x)＝－3cos x，当cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3.
答案：2kπ＋π，k∈Z
7．若函数f(x)＝a－bcos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，求函数g(x)＝－4acos bx的最大值、最小值和最小正周期．
解：∵f(x)＝a－bcos x(b＞0)，
∴f(x)max＝a＋b＝，f(x)min＝a－b＝－.
联立解得
∴g(x)＝－4acos bx＝－2cos x，
∴g(x)max＝2，g(x)min＝－2，最小正周期T＝2π.
8．已知sin2x＋cos2x＝1，函数f(x)＝－－＋acos x＋sin2x的最大值为2，求实数a的值．
解：由题意得f(x)＝－－＋acos x＋1－cos2x
＝－cos2x＋acos x＋－
＝－2＋.
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
(1)若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cos x＝时，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝.
由＝2，得a＝3或a＝－2，均不符合0≤a≤2.
(2)若＜0，即a＜0，则当cos x＝0时，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝－2＋＝.由＝2，得a＝－6.
(3)若＞1，即a＞2，则当cos x＝1时，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝－2＋＝.由＝2，得a＝.
综上所述，实数a的值为－6或.
课件29张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(八)”
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课时跟踪检测（八） 余弦函数的图像与性质
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝cos的图像的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
解析：选A 可代入验证，对A项x＝时f(x)＝cos＝cos 0＝1，故x＝是它的一条对称轴．同理得B、C、D项都不符合，选A.
2．函数y＝－2cos x＋3的值域为( )
A．[1,5] B．[－5,1]
C．[－1,5] D．[－3,1]
解析：选A ∵－1≤cos x≤1，
∴1≤－2cos x＋3≤5，即值域为[1,5]．
3．函数y＝cos x－2在x∈[－π，π]上的图像是( )
解析：选A 把y＝cos x，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位长度即可．
4．若f(x)＝cos x在[－b，－a]上是增加的，则f(x)在[a，b]上是( )
A．先增加后减少 B．先减少后增加
C．减少的 D．增加的
解析：选C f(x)＝cos x是偶函数，偶函数在对称的区间上单调性相反．
5．函数y＝|cos x|的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 作出函数y＝|cos x|的图像，由图像可知A、B都不是单调区间，D为单调递增区间，为单调递减区间，故选C.
6．方程x2＝cos x的实数解的个数为________．
解析：作出函数y＝x2与y＝cos x的图像(如图)，
由图像可知y＝x2与y＝cos x的图像有两个交点，
∴方程x2＝cos x有两个解．
答案： 2
7．比较大小：cos________cos.
解析：∵cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
而0<<<，又y＝cos x在上是减少的，
∴cos>cos，
即cos>cos.
答案：>
8．函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间为________．
解析：y＝cos(－x)＝cos x，当x∈[0,2π]时，其单调递减区间为[0，π]．
答案：[0，π]
9．画出函数y＝1＋|cos x|，x∈[0,2π]的图像．
解：列表：
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝1＋|cos x|
2
1
2
1
2
描点画图(如图所示)．
10．求函数y＝2－cos的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的取值集合．
解：令z＝，∵－1≤cos z≤1，∴1≤2－cos z≤3，
∴y＝2－cos的最大值为3，最小值为1.
当z＝2kπ，k∈Z时，cos z取得最大值，2－cos z取得最小值．又z＝，故x＝6kπ，k∈Z.
当z＝(2k＋1)π，k∈Z时，cos z取得最小值，2－cos z取得最大值；又z＝，故x＝(6k＋3)π，k∈Z.
综上，该函数取得最大值3时，x＝(6k＋3)π，k∈Z；该函数取得最小值为1时，x＝6kπ，k∈Z.
层级二 应试能力达标
1．下列函数中，最小正周期为2π的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
解析：选B 由y＝sin|x|的图像，易知选项D不是周期函数．选项A、C的最小正周期均为π.B中y＝cos|x|＝cos x，最小正周期为2π.
2．下列函数中，最小正周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选A 因为函数的最小正周期为π，所以排除C、D.又y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合题意．只有函数y＝sin＝cos 2x的周期为π，且在上为减函数．故选A.
3．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：选D f(x)＝sin＝－sin＝－cos x.
∵y＝cos x的最小正周期为T＝2π，故A正确；
∵y＝cos x在上是减函数，
∴f(x)＝－cos x在上是增函数，故B正确；
∵y＝cos x的图像关于y轴对称，
∴f(x)＝－cos x的图像也关于y轴对称，故C正确；
∵y＝cos x是偶函数，∴f(x)＝－cos x也是偶函数，故D错误．
4．在(0,2π)内使sin x＞|cos x|成立的实数x的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
解析：选A ∵sin x＞|cos x|，∴sin x＞0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈.
5．函数?(x)＝3cos(ω＞0)的最小正周期为，则?(π)＝________.
解析：由已知＝得ω＝3，
∴?(x)＝3cos，∴?(π)＝3cos
＝3cos＝－3cos＝－.
答案：－
6．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取得最大值．
解析：y＝3cos(π－x)＝－3cos x，当cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3.
答案：2kπ＋π，k∈Z
7．若函数f(x)＝a－bcos x(b＞0)的最大值为，最小值为－，求函数g(x)＝－4acos bx的最大值、最小值和最小正周期．
解：∵f(x)＝a－bcos x(b＞0)，
∴f(x)max＝a＋b＝，f(x)min＝a－b＝－.
联立解得
∴g(x)＝－4acos bx＝－2cos x，
∴g(x)max＝2，g(x)min＝－2，最小正周期T＝2π.
8．已知sin2x＋cos2x＝1，函数f(x)＝－－＋acos x＋sin2x的最大值为2，求实数a的值．
解：由题意得f(x)＝－－＋acos x＋1－cos2x
＝－cos2x＋acos x＋－
＝－2＋.
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
(1)若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cos x＝时，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝.
由＝2，得a＝3或a＝－2，均不符合0≤a≤2.
(2)若＜0，即a＜0，则当cos x＝0时，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝－2＋＝.由＝2，得a＝－6.
(3)若＞1，即a＞2，则当cos x＝1时，函数f(x)可取得最大值，此时f(x)max＝－2＋＝.由＝2，得a＝.
综上所述，实数a的值为－6或.
