7．1&7.2 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
预习课本P36～38，思考并完成以下问题
1．正切函数的定义是什么？
2．正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？
3．正切值在各象限的符号是什么？
4．正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性分别是什么？
1．正切函数的定义
(1)任意角的正切函数
如果角α满足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z
(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系
根据定义知tan α＝.
(3)正切值在各象限的符号
根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负．
(4)正切线
在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．
[点睛] (1)若α＝＋kπ(k∈Z)，则角α的终边落在y轴上，此时P(0，b)，比值无意义，因此正切函数的定义域为.
(2)正切函数tan α＝是一个比值，这个比值的大小与在角α终边上所取的点的位置无关．
2．正切函数的图像及特征
(1)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)．
(2)正切曲线的特征
正切曲线是被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．
[点睛] 正切曲线是被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正弦、余弦函数的有界性．
3．正切函数的性质
函数
y＝tan x
定义域
值域
R
周期性
周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在(k∈Z)上是增加的
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝－tan x的定义域为( )
(2)正切函数在其定义域内为增函数( )
(3)若角α的终边在y＝x上则tan α＝1( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．直线y＝a与y＝tan x的图像的相邻两个交点的距离是( )
A. B．π
C．2π D．与a的值的大小有关
解析：选B 由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π.
3．函数y＝tan x，x∈的值域是________．
答案：[0,1]
4．函数f(x)＝1－2cos x＋|tan x|是________函数(填“奇”或“偶”)．
解析：f(x)的定义域为，
且f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
答案：偶
利用定义求正切值
[典例] 如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tan θ；
(2)若已知Q，试求tan α.
[解] (1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P，
故θ的终边与单位圆交于P′，
则tan θ＝＝－.
(2)∵∠AOQ＝α且Q，∴tan α＝＝.
利用定义求任意角的正切函数值的方法
由正切函数的定义知：若点P为角的终边(终边不与y轴重合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点P的纵坐标与横坐标的比值；若点P为角的终边(终边不与y轴重合)上的任意一点(除坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点P的纵坐标与横坐标的比值．
[活学活用]
1．已知点P(3x－5,2x－1)在角θ的终边上，若tan θ＝－，则x＝________.
解析：由正切函数的定义，可得tan θ＝＝－，解得x＝1.
答案：1
2．已知θ为第二象限角，且P(x，)为其终边上一点，若cos θ＝x，则tan θ＝________.
解析：因为θ为第二象限角，所以x<0，所以cos θ＝＝x，解得x＝－或x＝(舍去)．所以tan θ＝－＝－.
答案：－
正切函数的定义域、值域
[典例] (1)求函数f(x)＝3tan的定义域．
(2)求下列函数的值域．
①y＝tan，x∈；
②y＝tan2x＋4tan x－1.
[解] (1)由题意知，2x－≠kπ＋(k∈Z)，
∴x≠＋(k∈Z)，
(2)①∵x∈，∴－≤x－＜，
y＝tan在上为增函数，且y≥－1，
∴函数y＝tan，x∈的值域为.
②令t＝tan x，则t∈R，y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，
∴函数y＝tan2x＋4tan x－1的值域为.
(1)求由正切函数构成的函数的定义域时，要特别注意使三角函数有意义．例如，若函数含有tan x，需x≠kπ＋，k∈Z.
(2)求正切函数的值域常用的方法有：直接法、配方法、反解函数法、单调性法、分离常数法、换元法．
[活学活用]
1．函数y＝的定义域是
A．(0,3] B．(0，π)
C.∪ D.∪
解析：选C 根据函数有意义的条件，得
即故0＜x＜或＜x≤3，
即函数y＝的定义域是∪，
故选C.
2．已知≤x≤，函数f(x)＝－tan2x＋10tan x－1，求函数f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x的值．
解：设tan x＝t，
∵x∈，
∴t∈[1，]，
∴f(x)＝－tan2x＋10tan x－1＝－t2＋10t－1
＝－(t－5)2＋24.
∴当t＝1，即x＝时，f(x)min＝8；
当t＝，即x＝时，f(x)max＝10－4.
正切函数的图像及其单调性
题点一：正切函数图像的识别
1．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像大致是( )
解析：选D 法一：由题意，
得y＝
作出该函数的大致图像，故选D.
法二：当x从右边无限接近时，tan x趋向于－∞，
故|tan x－sin x|趋向于＋∞，∴y趋向于－∞.故选D.
题点二：利用正切函数图像求解不等式
2．解不等式：tan x≥－1.
解：作出函数y＝tan x在区间内的大致图像，如图．
∵tan＝－1，∴在内满足tan x≥－1的x的取值范围为.
由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为.
题点三：求函数的单调区间
3．写出下列函数的单调区间．
(1)y＝tan；
(2)y＝|tan x|.
解：(1)当kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)时，
函数y＝tan单调递增．
∴函数的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)y＝|tan x|＝
可作出其图像(如下图)，由图像知函数y＝|tan x|的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)．
1．利用正切函数图像解不等式的策略
解含有正切函数的简单三角不等式时，可先画出正切函数的一个周期的图像，由图像得到在一个周期内满足条件的x的取值范围，然后加上周期的整数倍，即可得到满足不等式的解．
2．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
正切函数的奇偶性与周期性
[典例] 已知f(x)＝－atan x(a≠0)．
(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的单调区间．
[解] (1)∵f(x)＝－atan x(a≠0)，x∈，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．
又定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)∵y＝tan x在(k∈Z)上单调递增，
∴当a>0时，f(x)在上单调递减，
当a<0时，f(x)在上单调递增．
(1)判断与正切函数有关的奇偶性问题时要注意其定义域是否关于原点对称．
(2)注意正切函数的最小正周期为π.
[活学活用]
1．函数y＝tan 的最小正周期是( )
A．πa B．π|a|
C. D.
解析：选B T＝＝π|a|.
2．下列函数中，同时满足条件①在上是增加的，②是奇函数，③是以π为最小正周期的函数的是( )
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝|sin x|
解析：选A 验证知A符合①②③.
层级一 学业水平达标
1．若tan x≥0，则( )
A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z) B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z) D．kπ≤x＜kπ＋(k∈Z)
解析：选D 结合正切函数的图像知，kπ≤x＜kπ＋(k∈Z)．
2．当－＜x＜时，函数y＝tan |x|的图像( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不是对称图形
解析：选C 由题意得定义域关于原点对称，又tan|－x|＝tan |x|，故原函数是偶函数，其图像关于y轴对称．
3．已知角α的终边在直线y＝2x上，则tan α的值是( )
A．2 B．±2
C. D．±
解析：选A 在角α的终边上取一点(k,2k)(k≠0)，则tan α＝＝2.
4．函数y＝tan 的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意得－x≠k′π＋(k′∈Z)，所以x≠－k′π－(k′∈Z)，即x≠kπ＋(k∈Z)．
5．函数y＝tan的值域为( )
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
解析：选B ∵－≤x≤且x≠0，
∴≤－x≤且－x≠.由函数y＝tan x的单调性，可得y＝tan的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
6．函数y＝tan的单调递减区间为__________．
解析：由－＋kπ＜－3x－＜＋kπ，得－－＜x＜－＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．tan 2与tan 3的大小关系是________(用“＜”连接)．
解析：因为＜2＜3＜π，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan 2＜tan 3.
答案：tan 2＜tan 3
8．函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________.
解析：由T＝＝，∴ω＝±2.
答案：±2
9．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性．
解：(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，∴f(x)的定义域为xx≠＋2kπ，k∈Z，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，由于f(x)＝3tan＝3tan＝3tan＝f(x＋2π)，所以最小正周期T＝2π.易知f(x)为非奇非偶函数．由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，
得－＋2kπ∴函数的递增区间为，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝.
(1)求函数定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图像；
(4)写出f(x)的最小正周期及单调性．
解：(1)∵由cos x≠0，得x≠kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域是.
(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
故f(x)(x∈[－π，π])的图像如图所示．
(4)由图像可知f(x)的最小正周期为2π，
函数f(x)在(k∈Z)上是增加的；在(k∈Z)上是减少的．
层级二 应试能力达标
1．已知cos ＝－且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 由cos ＝－得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，所以tan φ＝tan ＝.
2．在区间内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图像交点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 在同一坐标系中分别作出函数y＝tan x与函数y＝sin x的图像，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)．
3．若函数y＝tan ωx(ω∈N*)的一个对称中心是，则ω的最小值为( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析：选B 由于正切函数f(x)＝tan x的对称中心坐标为(k∈Z)，且函数y＝tan ωx(ω∈N*)的一个对称中心是，所以＝(k∈Z)，因此ω＝3k(k∈Z)，因为ω∈N*，所以当k＝1时，ω取得最小值3.
4．函数y＝cos x|tan x|的图像大致是( )
解析：选C 函数y＝cos x|tan x|可化简为y＝
在直角坐标系中作出该函数的图像，只有C符合．
5．已知P(1，y)为角α终边上的一点，且cos α＝，则tan α＝________.
解析：∵r＝|OP|＝，
∴cos α＝＝；得y＝±2.
∴tan α＝y＝±2.
答案：±2
6．已知函数y＝tan ωx在上是减函数，则ω的范围是________．
解析：∵y＝tan ωx在上是减函数，
∴ω＜0且T＝≥π，
∴ω＜0且|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
答案：[－1,0)
7．试讨论函数y＝logatan x(a>0，且a≠1)的单调性．
解：①当a＞1时，y＝logau在u∈(0，＋∞)上单调递增，
当x∈(k∈Z)时，u＝tan x是单调递增的，
∴y＝logatan x在x∈(k∈Z)上是增加的．
②当0＜a＜1时，y＝logau在u∈(0，＋∞)上单调递减，
当x∈(k∈Z)时，u＝tan x是单调递增的，
∴y＝logatan x在x∈(k∈Z)上是减少的．
故当a＞1时，y＝logatan x在x∈(k∈Z)上是增加的；当0＜a＜1时，y＝logatan x在x∈(k∈Z)上是减少的．
8．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1， ]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)在区间[－1， ]上是单调函数，求θ的取值范围．
解：(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－.
∵x∈[－1， ]，
∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值，为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图像的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵函数f(x)在区间[－1， ]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，即tan θ≥1或tan θ≤－.
∵θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
课件35张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(九)”
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课时跟踪检测（九） 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
层级一 学业水平达标
1．若tan x≥0，则( )
A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z) B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z) D．kπ≤x＜kπ＋(k∈Z)
解析：选D 结合正切函数的图像知，kπ≤x＜kπ＋(k∈Z)．
2．当－＜x＜时，函数y＝tan |x|的图像( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不是对称图形
解析：选C 由题意得定义域关于原点对称，又tan|－x|＝tan |x|，故原函数是偶函数，其图像关于y轴对称．
3．已知角α的终边在直线y＝2x上，则tan α的值是( )
A．2 B．±2
C. D．±
解析：选A 在角α的终边上取一点(k,2k)(k≠0)，则tan α＝＝2.
4．函数y＝tan 的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意得－x≠k′π＋(k′∈Z)，所以x≠－k′π－(k′∈Z)，即x≠kπ＋(k∈Z)．
5．函数y＝tan的值域为( )
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
解析：选B ∵－≤x≤且x≠0，
∴≤－x≤且－x≠.由函数y＝tan x的单调性，可得y＝tan的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
6．函数y＝tan的单调递减区间为__________．
解析：由－＋kπ＜－3x－＜＋kπ，得－－＜x＜－＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．tan 2与tan 3的大小关系是________(用“＜”连接)．
解析：因为＜2＜3＜π，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan 2＜tan 3.
答案：tan 2＜tan 3
8．函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________.
解析：由T＝＝，∴ω＝±2.
答案：±2
9．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性．
解：(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，∴f(x)的定义域为
，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，由于f(x)＝3tan＝3tan＝3tan＝f(x＋2π)，所以最小正周期T＝2π.易知f(x)为非奇非偶函数．由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，
得－＋2kπ∴函数的递增区间为，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝.
(1)求函数定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图像；
(4)写出f(x)的最小正周期及单调性．
解：(1)∵由cos x≠0，得x≠kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域是.
(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
故f(x)(x∈[－π，π])的图像如图所示．
(4)由图像可知f(x)的最小正周期为2π，
函数f(x)在(k∈Z)上是增加的；在(k∈Z)上是减少的．
层级二 应试能力达标
1．已知cos ＝－且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 由cos ＝－得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，所以tan φ＝tan ＝.
2．在区间内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图像交点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 在同一坐标系中分别作出函数y＝tan x与函数y＝sin x的图像，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)．
3．若函数y＝tan ωx(ω∈N*)的一个对称中心是，则ω的最小值为( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析：选B 由于正切函数f(x)＝tan x的对称中心坐标为(k∈Z)，且函数y＝tan ωx(ω∈N*)的一个对称中心是，所以＝(k∈Z)，因此ω＝3k(k∈Z)，因为ω∈N*，所以当k＝1时，ω取得最小值3.
4．函数y＝cos x|tan x|的图像大致是( )
解析：选C 函数y＝cos x|tan x|可化简为y＝
在直角坐标系中作出该函数的图像，只有C符合．
5．已知P(1，y)为角α终边上的一点，且cos α＝，则tan α＝________.
解析：∵r＝|OP|＝，
∴cos α＝＝，得y＝±2.
∴tan α＝y＝±2.
答案：±2
6．已知函数y＝tan ωx在上是减函数，则ω的范围是________．
解析：∵y＝tan ωx在上是减函数，
∴ω＜0且T＝≥π，
∴ω＜0且|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
答案：[－1,0)
7．试讨论函数y＝logatan x(a>0，且a≠1)的单调性．
解：①当a＞1时，y＝logau在u∈(0，＋∞)上单调递增，
当x∈(k∈Z)时，u＝tan x是单调递增的，
∴y＝logatan x在x∈(k∈Z)上是增加的．
②当0＜a＜1时，y＝logau在u∈(0，＋∞)上单调递减，
当x∈(k∈Z)时，u＝tan x是单调递增的，
∴y＝logatan x在x∈(k∈Z)上是减少的．
故当a＞1时，y＝logatan x在x∈(k∈Z)上是增加的；当0＜a＜1时，y＝logatan x在x∈(k∈Z)上是减少的．
8．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1， ]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)在区间[－1， ]上是单调函数，求θ的取值范围．
解：(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－.
∵x∈[－1， ]，
∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值，为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图像的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵函数f(x)在区间[－1， ]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，即tan θ≥1或tan θ≤－.
∵θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
