7．3 正切函数的诱导公式
预习课本P38～40，思考并完成以下问题
1．π±α，2π±α的正切值与α的正切值的关系是什么？
2.±α的正切值与α的正切值的关系是什么？
正切函数的诱导公式
(1)tan(2π＋α)＝tan_α；
(2)tan(－α)＝－tan_α；
(3)tan(2π－α)＝－tan_α；
(4)tan(π－α)＝－tan_α；
(5)tan(π＋α)＝tan_α；
(6)tan＝－cot α；
(7)tan＝cot α.
[点睛] (1)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同，都是依据“负化正，大化小，化为锐角求值”，即由未知转化为已知的化归思想．
(2)公式的记忆方法仍可以用“奇变偶不变，符号看象限”来记忆．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan(α－2π)＝－tan α( )
(2)tan(α－π)＝－tan α( )
(3)tan＝－cot α( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．化简tan(－α)＋tan(3π＋α)＝( )
A．0 B．－2tan α
C．tan α D．2tan α
解析：选A 原式＝－tan α＋tan α＝0.
3．tan(－1 920°)的值是( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选C tan(－1 920°)＝－tan 1 920°＝－tan(5×360°＋120°)＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝.
4．化简＝________.
解析：原式＝＝－.
答案：－
三角函数式的化简
[典例] 化简：··
.
[解] 原式＝··＝·tan x·tan x＝sin x.
利用正切函数的诱导公式化简三角函数式的方法
先将需化简的三角函数式中每一项用诱导公式转化为α的三角函数，然后对同名三角函数进行合并或约分．
[活学活用]
化简：.
解：原式＝
＝
＝－cos α.
求值问题
题点一：给角求值
1．求值：(1)tan(－870°)·tan 930°＋tan(－1 380°)·tan(－690°)；
(2)tan 10°tan 20°tan 30°tan 45°tan 60°tan 70°tan 80°.
解：(1)原式＝－tan 870°·tan 930°＋tan 1 380°·tan 690°＝－tan(4×180°＋150°)·tan(5×180°＋30°)＋tan(7×180°＋120°)·tan(3×180°＋150°)
＝－tan 150°·tan 30°＋tan 120°·tan 150°
＝－×＋(－)×
＝＋1＝.
(2)原式＝tan 10°tan 20°tan 30°tan 45°cot 30°cot 20°·cot 10°＝(tan 10°cot 10°)(tan 20° cot 20°)(tan 30°·cot 30°)tan 45°＝tan 45°＝1.
题点二：给值求值
2．已知tan＝，则tan的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D tan＝tan
＝－tan＋α＝－.
3．已知tan＝，则tan·tan＝________.
解析：tantan
＝tan·tan
＝－tan·
＝tan
＝cot
＝·
＝×3
＝1.
答案：1
利用正切函数的诱导公式求三角函数式值的方法
(1)已知角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，通常是特殊的三角函数值．
(2)对于给值求值问题，关键在于寻找已知正切值的角和待求正切值的角之间的关系．
利用正切函数单调性比较大小
[典例] 不求值，比较下列各组中的两个正切函数值的大小．
(1)tan 156°与tan 171°；
(2)tan与tan.
解：(1)90°＜156°＜171°＜270°，而90°＝，270°＝.
∵函数y＝tan x在上是增加的，
∴tan 156°＜tan 171°.
(2)tan＝－tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝－tan＝tan.
∵函数y＝tan x在上是增加的，
而－＜＜＜，
∴tan＜tan，
即tan＞tan.
比较tan α与tan β的大小时，可利用诱导公式化为增区间上的角的正切值进行比较．
[活学活用]
比较大小：tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5.
解：tan 2.5＝tan(2.5－π)，
tan 3.5＝tan(3.5－π)，
∵＜2.5＜π，
∴－＜2.5－π＜0，
∵π＜3.5＜，
∴0＜3.5－π＜.
∴－＜2.5－π＜3.5－π＜1.5＜.
而y＝tan x在上是增加的，
故tan(2.5－π)＜tan(3.5－π)＜tan 1.5，
即tan 2.5＜tan 3.5＜tan 1.5.
层级一 学业水平达标
1．下列各式成立的是( )
A．tan(π＋α)＝－tan α B．tan(π－α)＝tan α
C．tan(－α)＝－tan α D．tan (2π－α)＝tan α
答案：C
2．tan＋tan的值为( )
A.＋1 B.－1
C.＋1 D.－1
解析：选A tan＋tan＝tan＋tan＝tan＋tan＝＋1.
3．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是( )
A．－ B．－
C．± D．±
解析：选A ∵角α终边上有一点P(5n,4n)，
∴tan α＝.
∴tan(180°－α)＝－tan α＝－.
4．化简的值是( )
A．－ B．－1
C．1 D.
解析：选B 原式＝－＝－＝－1.
5．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B.
C．－1 D．1
解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]
＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m，
∴原式＝＝＝
＝，故选A.
6．sin·cos·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.
答案：－
7．已知sin α＝－，且α是第四象限角，则tan＝________.
解析：∵sin α＝－，且α为第四象限角，
∴α＝2kπ－(k∈Z)，
∴α－＝2kπ－(k∈Z)，
∴tan＝tan＝tan＝－tan＝－tan＝tan＝.
答案：
8．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为________．
解析：原式＝tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan[90°－(27°－α)]·tan[90°＋(49°－β)]＝tan(27°－α)·cot(27°－α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]＝－1.
答案：－1
9．求值：.
解：原式＝
＝＝＝2－.
10．已知α为第四象限角，且tan α是方程x2－x－12＝0的一个根，求的值．
解：＝＝＝.
又方程x2－x－12＝0的两根分别为4，－3，由α为第四象限角，知tan α＜0，
∴tan α＝－3，
∴＝＝.
层级二 应试能力达标
1．求值：sin 690°＋tan 765°＝( )
A．－ B．1
C. D.
解析：选C 原式＝sin(360°＋330°)＋tan(720°＋45°)
＝sin 330°＋tan 45°＝sin(360°－30°)＋1
＝－sin 30°＋1＝.
2．已知m＝tan，n＝tan，则有( )
A．m＞n B．m＝n
C．m＜n D．m，n的大小无法比较
解析：选A tan＝－tan＝－tan＝－tan＝tan，tan＝tan＝tan，又0＜＜＜，y＝tan x在上是增函数，所以tan＜tan，即tan＜tan，也即m＞n.
3．已知tan＝－5，则tan的值为( )
A．－5 B．5
C. D．－
解析：选B tan＝－tan
＝－tan
＝－tan＝5.
4．已知f(x)＝atan－bsin x＋4(其中a，b为常数且ab≠0)，若f(3)＝5，则f(2 018π－3)的值为( )
A．－3 B．－5
C．3 D．5
解析：选C 由题意得f(3)＝atan－bsin 3＋4＝5，
∴atan－bsin 3＝1，
∴f(2 018π－3)＝atan－bsin(2 018π－3)＋4＝－＋4＝－1＋4＝3.故选C.
5.＝________.
解析：原式＝＝＝＝.
答案：
6．已知α，β都是锐角，且tan α＝，tan β＝，则α＋β________(填“＜”“＞”或“＝”)．
解析：因为tan α＝＞＝tan，所以＜α＜，同理，tan β＝＞＝tan，所以＜β＜，则α＋β＞＋＝.
答案：＞
7．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝－
＝－·
＝－1.
8．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f的值；
(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)由cos＝，得cos＝，
∴sin α＝－.
∴f＝－cos＝－sin α＝.
(3)当α＝－1 860°时，
f(α)＝－cos α＝－cos(－1 860°)＝－cos 1 860°＝－cos(5×360°＋60°)＝－cos 60°＝－.
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课时跟踪检测（十） 正切函数的诱导公式
层级一 学业水平达标
1．下列各式成立的是( )
A．tan(π＋α)＝－tan α B．tan(π－α)＝tan α
C．tan(－α)＝－tan α D．tan (2π－α)＝tan α
答案：C
2．tan＋tan的值为( )
A.＋1 B.－1
C.＋1 D.－1
解析：选A tan＋tan＝tan＋tan＝tan＋tan＝＋1.
3．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是( )
A．－ B．－
C．± D．±
解析：选A ∵角α终边上有一点P(5n,4n)，
∴tan α＝.
∴tan(180°－α)＝－tan α＝－.
4．化简的值是( )
A．－ B．－1
C．1 D.
解析：选B 原式＝－＝－＝－1.
5．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B.
C．－1 D．1
解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]
＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m，
∴原式＝＝＝
＝，故选A.
6．sin·cos·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.
答案：－
7．已知sin α＝－，且α是第四象限角，则tan＝________.
解析：∵sin α＝－，且α为第四象限角，
∴α＝2kπ－(k∈Z)，
∴α－＝2kπ－(k∈Z)，
∴tan＝tan＝tan＝－tan＝－tan＝tan＝.
答案：
8．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为________．
解析：原式＝tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan[90°－(27°－α)]·tan[90°＋(49°－β)]＝tan(27°－α)·cot(27°－α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]＝－1.
答案：－1
9．求值：.
解：原式＝
＝＝＝2－.
10．已知α为第四象限角，且tan α是方程x2－x－12＝0的一个根，求的值．
解：＝＝＝.
又方程x2－x－12＝0的两根分别为4，－3，由α为第四象限角，知tan α＜0，
∴tan α＝－3，
∴＝＝.
层级二 应试能力达标
1．求值：sin 690°＋tan 765°＝( )
A．－ B．1
C. D.
解析：选C 原式＝sin(360°＋330°)＋tan(720°＋45°)
＝sin 330°＋tan 45°＝sin(360°－30°)＋1
＝－sin 30°＋1＝.
2．已知m＝tan，n＝tan，则有( )
A．m＞n B．m＝n
C．m＜n D．m，n的大小无法比较
解析：选A tan＝－tan＝－tan＝－tan＝tan，tan＝tan＝tan，又0＜＜＜，y＝tan x在上是增函数，所以tan＜tan，即tan＜tan，也即m＞n.
3．已知tan＝－5，则tan的值为( )
A．－5 B．5
C. D．－
解析：选B tan＝－tan
＝－tan
＝－tan＝5.
4．已知f(x)＝atan－bsin x＋4(其中a，b为常数且ab≠0)，若f(3)＝5，则f(2 018π－3)的值为( )
A．－3 B．－5
C．3 D．5
解析：选C 由题意得f(3)＝atan－bsin 3＋4＝5，
∴atan－bsin 3＝1，
∴f(2 018π－3)＝atan－bsin(2 018π－3)＋4＝－＋4＝－1＋4＝3.故选C.
5.＝________.
解析：原式＝＝＝＝.
答案：
6．已知α，β都是锐角，且tan α＝，tan β＝，则α＋β________(填“＜”“＞”或“＝”)．
解析：因为tan α＝＞＝tan，所以＜α＜，同理，tan β＝＞＝tan，所以＜β＜，则α＋β＞＋＝.
答案：＞
7．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝－
＝－·
＝－1.
8．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f的值；
(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)由cos＝，得cos＝，
∴sin α＝－.
∴f＝－cos＝－sin α＝.
(3)当α＝－1 860°时，
f(α)＝－cos α＝－cos(－1 860°)＝－cos 1 860°＝－cos(5×360°＋60°)＝－cos 60°＝－.
