§1命__题
命题的定义及形式
观察下列语句的特点：
①两个全等三角形的面积相等；
②y＝2x是一个增函数；
③请把门关上！
④y＝tan x的定义域为全体实数吗？
⑤若x>2 017，则x>2 018.
问题1：上述哪几个语句能判断为真？
提示：①②.
问题2：上述哪几个语句能判断为假？
提示：⑤.
问题3：上述哪几个语句不是命题？你知道是什么原因吗？
提示：③④.因为它们都不能判断真假．
问题4：语句⑤的条件和结论分别是什么？
提示：条件为“x>2 013”，结论为“x>2 014”．
1．命题
(1)可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．
(2)判断为真的语句叫作真命题；判断为假的语句叫作假命题．
2．命题的形式
数学中，通常把命题表示成“若p，则q”的形式，其中，p是条件，q是结论.
四种命题及其关系
观察下列四个命题：
①若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
②若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
③若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
④若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
问题1：命题①与命题②③④的条件和结论之间分别有什么关系？
提示：命题①的条件是命题②的结论，且命题①的结论是命题②的条件；
对于命题①③，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题①④，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
问题2：命题①④的真假性相同吗？命题②③的真假性相同吗？
提示：命题①④同为真，命题②③同为假．
1．四种命题
(1)互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题．
(2)互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题．
(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题．
(4)四种命题的条件、结论之间的关系如表所示：
命题
条件
结论
原命题
p
q
逆命题
q
p
否命题
p的否定
q的否定
逆否命题
q的否定
p的否定
2．四种命题间的关系
原命题和其逆否命题为互为逆否命题，否命题与逆命题为互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假性相同．
1．判断一个语句是否为命题关键看它是否符合两个条件：一是可以判断真假，二是用文字或符号表述的语句．祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
2．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．
3．互为逆否命题的两个命题真假性相同．
命题的概念及真假判断
[例1] 判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
(2)一个正整数不是合数就是质数；
(3)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
(4)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；
(5)1＋2＋3＋…＋2 018；
(6)这盆花长得太好了！
[思路点拨] 根据命题的概念进行判断．
[精解详析] (1)(5)(6)未涉及真假，都不是命题．
(2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是质数”．
(3)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．
(4)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．
[一点通]
1．判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
2．命题真假的判定方法
(1)真命题的判断方法
要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)假命题的判断方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选A.
答案：A
2．下列命题中，为假命题的是( )
A．若a>0，则2a>1
B．若＋＝0，则x＝y＝0
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．若sin α＝sin β，则不一定有α＝β
解析：A选项，若a>0，则2a>1，正确；B选项，若＋＝0，可得x＝y＝0，正确；C选项，若b2＝ac，可知b＝a＝c＝0也成立，显然不是等比数列．故选C.
答案：C
3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数可被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称．
解：(1)若一个数是偶数，则它可以被2整除．真命题；(2)若一个函数为奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题.
四种命题及其关系
[例2] 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)正数a的立方根不等于0；
(2)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．
[思路点拨] 找出命题的条件p和结论q.根据四种命题的条件和结论的关系写出其余三种命题．
[精解详析] (1)原命题：若a是正数，则a的立方根不等于0，是真命题．
逆命题：若a的立方根不等于0，则a是正数，是假命题．
否命题：若a不是正数，则a的立方根等于0，是假命题．
逆否命题：若a的立方根等于0，则a不是正数，是真命题．
(2)原命题：在同一平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．
逆命题：在同一平面内，若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题．
否命题：在同一平面内，若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．
逆否命题：在同一平面内，若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．
[一点通]
1．四种命题的转换方法
(1)逆命题：互换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
2．解决四种命题真假的关键
牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．
4．有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“正方形的四条边相等”的逆命题；③“若m≥2，则x2＋mx＋1＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
解析：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.真命题．②逆命题：四条边相等的四边形是正方形．假命题．③逆否命题：若方程x2＋mx＋1＝0无实根，则m<2.真命题．④原命题为假命题，逆否命题也为假命题．
答案：C
5．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
(1)若α＋β＝，则sin α＝cos β；
(2)a，b，c，d∈R，若a＝c，b＝d，则ab＝cd.
解：(1)逆命题：若sin α＝cos β，则α＋β＝；
否命题：若α＋β≠，则sin α≠cos β；
逆否命题：若sin α≠cos β，则α＋β≠.
(2)逆命题：a，b，c，d∈R，若ab＝cd，则a＝c，b＝d；
否命题：a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则ab≠cd；
逆否命题：a，b，c，d∈R，若ab≠cd，则a≠c或b≠d.
6．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)对顶角相等；
(2)全等三角形的对应边相等．
解：(1)原命题：如果两个角是对顶角，则它们相等；
逆命题：如果两个角相等，则它们是对顶角；
否命题：如果两个角不是对顶角，则它们不相等；
逆否命题：如果两个角不相等，则它们不是对顶角．
(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等.
逆否命题的应用
[例3] 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[思路点拨] 本题可直接写出其逆否命题判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．
[精解详析] 法一：其逆否命题为：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，即Δ<0.
所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，
故逆否命题为真命题．
法二：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥.
∵>1，∴a≥1.∴原命题为真．
又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真．
[一点通]
由于互为逆否命题的两个命题有相同的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假．
7．命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题是________(填“真”或“假”)命题．
解析：当m>0时，Δ＝1＋4m>0，
∴x2＋x－m＝0有实数根．
∴原命题为真，故其逆否命题为真．
答案：真
8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1时，
a2－4b2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知原命题正确．
1．互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题的关系，是相对而言的，把其中一个命题叫作原命题时，另外三个命题分别是它的逆命题、否命题、逆否命题．
2．写四种命题时，大前提应保持不变．判断四种命题的真假时，可以根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同来判断．
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
答案：C
2．设l1，l2表示两条直线，α表示平面，若有：①l1⊥l2，②l1⊥α，③l2?α，则以其中两个为条件，另一个为结论，可以构造的所有命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由l1⊥α，l2?α，得l1⊥l2；由l1⊥l2，l2?α推不出l1⊥α；由l1⊥l2，l1⊥α，推不出l2?α，也可能l2∥α.故真命题有1个．
答案：B
3．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
答案：C
4．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
解析：逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
答案：B
5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”)．
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得
－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，
∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
6．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)
解析：由x＝x，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.
答案：②③
7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．
解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；
逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；
否命题：若直线l1与l2不平行， 则l1与l2相交；
逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．
8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
课件37张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练§1
命题考点一考点二知识点一知识点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(一)课时跟踪训练(一) 命 题
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2．设l1，l2表示两条直线，α表示平面，若有：①l1⊥l2，②l1⊥α，③l2?α，则以其中两个为条件，另一个为结论，可以构造的所有命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
4．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：__________________________.它是______命题(填“真”或“假”)．
6．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)
7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．
8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
答 案
1．选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
2．选B 由l1⊥α，l2?α，得l1⊥l2；
由l1⊥l2，l2?α推不出l1⊥α；
由l1⊥l2，l1⊥α，推不出l2?α，也可能l2∥α.
故真命题有1个．
3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，
即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
4．选B 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，
又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．
否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
5．解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，
∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
6．解析：由x＝x，未必有x1＝x2，故①为假命题；
对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；
当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．
故真命题是②③.
答案：②③
7．解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；
逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；
否命题：若直线l1与l2不平行， 则l1与l2相交；
逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．
8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
