§2充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．
设：
A：洛孝主动归还所拾银两．
B：洛孝无赖银之情．
C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．
D：洛孝所拾银子不是失主所丢．
问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？
提示：A，充分条件．
问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？
提示：D，必要条件．
充分条件和必要条件
如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p?q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.
充要条件
已知：p：前年在里约热内卢举行第31届夏季奥运会．
q：前年是2016年．
问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？
提示：是真命题，充分条件．
问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？
提示：是真命题，必要条件．
问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？
提示：充要条件，充要条件．
充要条件
(1)如果既有p?q，又有q?p，通常记作p?q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．
(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．
(4)若p?q，但q?/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(5)若p?/ q，且q?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．
充分条件、必要条件的判断
[例1] 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝；
(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；
(3)p：a>b，q：2a>2b；
(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．
[思路点拨] 可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．
[精解详析] (1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±，则p?/ q；若b＝，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．
(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p?/ q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)当a>b时，有2a>2b，即p?q，当2a>2b时，可得a>b，即q?p，故p是q的充要条件．
(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p?/ q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．
法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．
[一点通]
充分必要条件判断的常用方法
(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．
(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．
(3)集合法：
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.
①若A?B，则p是q的充分不必要条件；
②若B?A，则p是q的必要不充分条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若A?B且B?A，则p是q的既不充分又不必要条件．
1．设p：x<3，q：－1
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为(－1,3)?(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．
答案：C
2．对任意实数a，b，c给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中，真命题的序号是________．
解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不一定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a>b”不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③为假命题；④“由a<5”不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，④为真命题．
答案：②④
3．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)在△ABC中，p：sin A＞，q：A＞.
解：(1)因为|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)因为0＜A＜π时，sin A∈(0,1]，且A∈时，sin A单调递增，A时，sin A单调递减，所以sin A＞?A＞，但A＞sin A＞.
所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
充要条件的证明和求解
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，
求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[思路点拨] 本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q＝－1推证数列{an}为等比数列和由数列{an}满足Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)为等比数列推证q＝－1.
[精解详析] (充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．
(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，可知等比数列{an}的公比为p.
故＝＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.
综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．
[一点通]
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q?p，“必要性”是p?q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[注意] 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向
4．不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是____________．
解析：若x2－ax＋1>0的解集为R，则Δ＝a2－4<0，即－2又当a∈(－2,2)时，Δ<0，可得x2－ax＋1>0的解集为R，故不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是－2答案：－25．等差数列{an}的首项为a，公差为d，其前n项和为Sn，则数列{Sn}为递增数列的充要条件是________．
解析：由Sn＋1＞Sn(n∈N＋)?(n＋1)a＋d＞na＋d(n∈N＋)?dn＋a＞0(n∈N＋)?d≥0且d＋a＞0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d＋a＞0.
答案：d≥0且d＋a＞0
6．证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
证明：(1)充分性：∵ac<0，
∴Δ＝b2－4ac>0，<0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根．
设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1·x2＝<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根．
(2)必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，
∴ac<0.
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
充分条件、必要条件的应用
[例3] 已知p：关于x的不等式＜x＜，q：x(x－3)＜0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．
[精解详析] 记A＝，B＝
{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}，
若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0＜x＜3}≠?，分两种情况讨论：
(1)若A＝?，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠?，即＜，解得m＞0，
要使A?B，应有
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．
[一点通]
将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．
7．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分不必要条件，求m的值．
解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分不必要条件，∴B ?A.
当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝.
所以m＝－或m＝.
8．已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a所以p：3a由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为綈q?綈p，所以p?q，所以A?B，
所以?－≤a<0，
所以a的取值范围是.
1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；
(1)若p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”及它的逆否命题都是真命题；
(2)若p是q的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；
(3)若p是q的充要条件，则四种命题均为真命题．
2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．
1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．
答案：A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称?－＝1?m＝－2.
答案：A
3．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为|a＋b|＝|a|＋|b|?a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2?|ab|＝ab?ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故选B.
答案：B
4．“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
5．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
6．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件
②必要不充分条件
③充要条件
④既不充分也不必要条件
(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上为增函数”的________．
解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
答案：(1)③ (2)①
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠.
解：(1)△ABC中，∵b2＞a2＋c2，∴cos B＝＜0，
∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2＜a2＋c2.
∴p?q，q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p?/ q，q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件．
(4)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件．
∵A＝30°?sin A＝，但是sin A＝?/ A＝30°，
∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件．
即p是q的必要不充分条件．
8．已知命题p：对数函数f(x)＝loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解：(1)因为命题p为真，则对数函数的真数
－2t2＋7t－5>0，解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为命题p是q的充分条件，所以是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集．
因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，所以只需a＋2≥，解得a≥.
即实数a的取值范围为.
课件33张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练§2
充分条件与必要条件考点一考点二知识点一知识点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(二)课时跟踪训练(二) 充分条件与必要条件
1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
3．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
6．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件
②必要不充分条件
③充要条件
④既不充分也不必要条件
(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上为增函数”的________．
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠.
8．已知命题p：对数函数f(x)＝loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
答 案
1．选A 当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，
所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．
2．选A 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称?－＝1?m＝－2.
3．选B 因为|a＋b|＝|a|＋|b|?a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2?|ab|＝ab?ab≥0，
而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，
所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，
由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故选B.
4．选A 当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，
即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；
但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．
所以“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.
5．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
6．解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，
则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．
(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上为增函数”的充分不必要条件．
答案：(1)③ (2)①
7．解：(1)△ABC中，∵b2＞a2＋c2，∴cos B＝＜0，
∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，
反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2＜a2＋c2.
∴p?q，q p，故p是q的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p q，q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，
所以p是q的充要条件．
(4)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件．
∵A＝30°?sin A＝，但是sin A＝A＝30°，
∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件．
即p是q的必要不充分条件．
8．解：(1)因为命题p为真，
则对数函数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为命题p是q的充分条件，
所以是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集．
因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2≥，解得a≥.
即实数a的取值范围为.
