§3全称量词与存在量词
全称量词与全称命题
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．
问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？
提示：任意一个，全部，每个．
问题2：上述词语都有什么含义？
提示：表示某个范围内的整体或全部．
全称量词与全称命题
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．
(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.
存在量词与特称命题
观察语句①②：
①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；
②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．
提示：是，都为真命题．
问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？
提示：表示总体中“个别”或“一部分”．
问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？
提示：某些，有的，有些．
存在量词与特称命题
(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．
(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.
全称命题与特称命题的否定
观察下列命题：
①被7整除的整数是奇数；
②有的函数是偶函数；
③至少有一个三角形没有外接圆．
问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？
提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．
问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？
提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数．
问题3：判断命题③的否定的真假．
提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．
全称命题与特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．
2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．
全称命题与特称命题的判断
[例1] 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．
(1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)正四面体的各面都是正三角形；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
[思路点拨] 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．
[精解详析] (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；
(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．
[一点通]
判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路
[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略.
1．下列命题为特称命题的是( )
A．奇函数的图像关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
解析：A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.
答案：D
2．用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(2)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；
(3)方程3x－2y＝10有整数解．
解：(1)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(2)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
全称命题与特称命题的真假判断
[例2] 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
[思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．
[精解详析] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在x1＝0，x2＝π，x1(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．
[一点通]
全称命题与特称命题的真假判断的技巧
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
3．下列命题的假命题是( )
A．有些不相似的三角形面积相等
B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
D．有一个实数的倒数是它本身
解析：以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝2＋>0.故B为假命题．
答案：B
4．判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.
(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立；
(3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；
(4)存在x，y∈Z，使x＋y＝3成立．
解：(1)是全称命题．
∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴该命题是真命题．
(2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝cos＝cos＝，cos α－cos β＝cos－cos＝－0＝，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．
(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2 N，所以该命题是假命题．
(4)当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使x＋y＝3，所以该命题是真命题.
全称命题、特称命题的否定
[例3] 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图像都开口向下；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形．
[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．
[精解详析] (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，
即存在一个三角形的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数．
(4)是特称命题，且为真命题．
命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形．
[一点通]
全称命题与特称命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
5．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：根据特称命题的否定是全称命题即可解答．“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选B.
答案：B
6．若“对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，问题等价于对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立．当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，有解得－1＜a＜0，故实数a的取值范围是(－1,0]
答案：(－1,0]
7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；
(3)存在x∈R，使log2x＞0成立；
(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．
解：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．
(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．
(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.
(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．
1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．
2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；
(2)改变量词；
(3)否定结论；
(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．
1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：A
2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立
B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立
C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立
D．对任意x∈R，f(x)≤0成立
解析：“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.
答案：A
3．下列四个命题中的真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则A＝B B．?x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1 D．?x0∈Z，使1<4x0<3
解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得答案：B
4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个假命题
解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
答案：C
5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③ ②④
6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
7．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
8．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．
解：易知f(t)∈.
由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，则g(m)>0对?m∈恒成立．
所以即
解得x>2或x<－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
课件32张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练§3
全称量词与存在量词考点一考点二知识点一知识点二考点三知识点三应用创新演练见课时跟踪训练(三)课时跟踪训练(三) 全称量词与存在量词
1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立
B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立
C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立
D．对任意x∈R，f(x)≤0成立
3．下列四个命题中的真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则A＝B B．?x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1 D．?x0∈Z，使1<4x0<3
4．给出四个命题：
①末位数字是偶数的整数能被2整除；
②有的菱形是正方形；
③存在实数x，使x＞0；
④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．
下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个假命题
5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是_________________________．
7．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
8．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．．
答 案
1．选A 本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．
2．选A “关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.
3．选B A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得4．选C ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
5．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③ ②④
6．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
7．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
8．解：易知f(t)∈.
由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，
则g(m)>0对?m∈恒成立．
所以即
解得x>2或x<－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
