一、命题
1．命题：能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫命题．感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等都不是命题．
2．四种命题：
原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．
正是因为原命题与逆否命题的真值一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．
二、充分条件与必要条件
1．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定．
若“p?q”，且“p?/ q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；
若“p?q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；
若“p?/ q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．
2．利用集合关系判断充分必要条件：
若A?B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，x∈B是x∈A的必要不充分条件；
若A＝B，则x∈A与x∈B互为充要条件；
若A?B且B?A，则x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件．
三、全称量词与存在量词
1．全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个x验证命题成立；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只需在限定集合中找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题为假．
四、逻辑联结词
1．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p或q”“p且q”“非p”．
2．含逻辑联结词的命题的真假判断：
“p或q”中有真为真，其余为假；“p且q”中有假为假，其余为真．
3．命题的否定与否命题的区别：
否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．
课件8张PPT。核心要点归纳阶段质量检测知识整合与阶段检测阶段质量检测见阶段质量检测（一）阶段质量检测(一) 常用逻辑用语
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中是假命题的是( )
A．等边三角形的三个内角均为60°
B．若x＋y是有理数，则x，y都是有理数
C．集合A＝{0,1}的真子集有3个
D．若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题p：对任意x∈R，都有x2－2x＋2≤sin x成立，则命题p的否定是( )
A．不存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
B．存在x∈R，使x2－2x＋2≥sin x成立
C．存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
D．对任意x∈R，都有x2－2x＋2＞sin x成立
4．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真
5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
6．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；
②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；
③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
那么( )
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
7．已知条件p：＜0和条件q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
8．已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)
9．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋<0；命题q：存在x∈R，使sin x＋cos x＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
10．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题
B．命题“任意x∈N，x3＞x”的否定是“存在x∈N，x3＞x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．“对顶角相等”的否定为________________，否命题为___________________．
12．已知角A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“cos A＝”的______________条件．
13．已知命题p：任意x∈R，ax2－2x－3＜0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
14．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1，命题q：“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：
①命题“p且q”是真命题；
②命题“p或綈q”是假命题；
③命题“綈p或q”是真命题；
④命题“綈p或綈q”是假命题．
上述结论中，正确结论的序号是________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题，并判断真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．
(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．
17．(本小题满分12分)已知k∈R且k≠1，直线l1：y＝x＋1和l2：y＝x－k.
(1)求直线l1∥l2的充要条件；
(2)当x∈[－1,2]时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围．
18．(本小题满分14分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
答 案
1．选B 对于A，由平面几何知识可知A是真命题；
对于B，取x＝，y＝－可知x＋y＝0是有理数，显然x，y都是无理数，故B是假命题；
对于C，集合A＝{0,1}的所有真子集是?，{0}，{1}，共有3个，故C是真命题；
对于D，由b≤－1知Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b＞0，所以D是真命题，故选B.
2．选A 因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．
3．选C 全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.
4．选D ①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；
②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；
①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；
②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
5．选B 命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．
即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．
6．选A ①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，
故选A.
7．选C 不等式＜0的解集为{x|x＜－2}，
则綈p：x≥－2.命题q：x＞－2，故綈p q，q?綈p，故选C.
8．选B <1?x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件，则k>2，故选B.
9．选D ∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴命题p假，綈p真；
又sin x＋cos x＝sin，当sin＝1时，sin x＋cos x＝，
∴q真，綈q假．
10．选D ∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“任意x∈N，x3＞x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，
当最小正周期T＝π时，有＝π，
∴|a|＝1?/ a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．
11．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等
12．解析：因为角A可能为锐角或为钝角，因此由“sin A＝”不一定得到“cos A＝”，但“cos A＝”一定能得到“sin A＝”，
故“sin A＝”是“cos A＝”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
13．解析：綈p：存在x∈R，ax2－2x－3≥0.当a＝0时，存在x≤－，使ax2－2x－3≥0；当a＞0时，显然存在实数x，使ax2－2x－3≥0；当a＜0时，只需判别式Δ＝4＋12a≥0，即有－≤a＜0.综上所述：a≥－.
答案：
14．解析：∵p真，q真，∴p且q真，p或綈q真，綈p或q真，綈p或綈q假．
答案：①③④
15．解：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
∴B?A.
当B＝?时，得a＝0；
当B≠?时，则当B＝{1}时，得a＝1；
当B＝{2}时，得a＝.
综上所述：实数a组成的集合是.
16．解：(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分，
綈p：平行四边形的对角线不一定相等．
由于p假q真，所以“p或q”真，“p且q”假，“綈p”真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．
p且q：方程x2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．
綈p：方程x2－16＝0的两根的符号相同．
由于p真q真，所以“p或q”，“p且q”为真，“綈p”为假．
17．解：(1)由题意得解得k＝2.
当k＝2时，l1：y＝x＋1，l2：y＝x－2，此时l1∥l2.
∴直线l1∥l2的充要条件为k＝2.
(2)设f(x)＝x＋1.由题意，得
即解得－1∴k的取值范围是(－1,2)．
18．解：(1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B，∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立，
∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
