模块综合检测
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5.
答案：C
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的( )
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
解析：设p为“若A，则B”，则r为“若非A，则非B”，s为“若非B，则非A”，即s为p的逆否命题．
答案：A
3．与直线4x－y＋5＝0平行的抛物线y＝2x2的切线方程是( )
A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0
C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0
解析：由k＝y′＝4x＝4，得x＝1，则切点为(1,2)，所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
答案：C
4．(全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，
可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
答案：B
5．下列命题的否定为假命题的是( )
A．对任意x∈R，都有－x2＋x－1＜0成立
B．对任意x∈R，都有|x| ＞x成立
C．对任意x，y∈Z，都有2x－5y≠12成立
D．存在x∈R，使sin 2x＋sin x＋1＝0成立
解析：对于A选项命题的否定为“存在x∈R，使－x2＋x－1≥0成立”，显然，这是一个假命题．
答案：A
6．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.
答案：C
7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．
答案：A
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|有( )
A．最大值16 B．最小值16
C．最大值4 D．最小值4
解析：由椭圆的定义知a＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×4＝8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤2＝2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，所以|PF1|·|PF2|有最大值16.
答案：A
9.已知函数y＝xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，
下面四个图像中，y＝f(x)的图像大致是( )
解析：x>0时，f′(x)在(0,1)上有f′(x)<0，
在(1，＋∞)上有f′(x)>0；
且x＝1处f(x)取极小值．
x<0时，f′(x)在(－1,0)上有f′(x)<0，
在(－∞，－1)上有f′(x)>0且x＝－1处f(x)取极大值，
即函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上减少，选项C符合题意．
答案：C
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：a>0时，F，直线l方程为y＝2，
令x＝0得y＝－.
∴S△OAF＝··|－|＝4.解得a＝8.
同理a<0时，得a＝－8.
∴抛物线方程为y2＝±8x.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知命题p：对任意x∈[0,1]，都有a≥ex 成立，命题q：存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为对任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，所以a≥e.由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题“p且q”是真命题，所以p、q同为真，所以e≤a≤4.
答案：[e,4]
12．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
当x<－1或x>11时，f′(x)>0，f(x)增加；
当－1答案：(－1,11)
13．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由2xln x≥－x2＋ax－3，
得a≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，
则h′(x)＝.
当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.
故a的取值范围是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
14．(全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0,4)，|FN|＝＝6.
法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，
过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
答案：6
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知命题p：函数f(x)＝x3＋ax＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求a的取值范围．
解：考虑命题p为真命题时a的取值范围，因为f′(x)＝3x2＋a，令f′(x)＝0，得到x2＝－，
当a≥0时，f′(x)≥0，函数f(x)在区间(－2,1)上是增加的，不合题意 ；
当a＜0时，由x2＝－，得到x＝± ，要使函数f(x)＝x3＋ax＋5在区间(－2,1)上不单调，则 ＜1或－ ＞－2，即a＞－12，综上可知－12＜a＜0，
故命题p的否定是一个真命题时，a的取值范围是a≤－12或a≥0.
16．(本小题满分12分)椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点(－5,0)，(5,0)，且它们的离心率都可以使方程2x2＋4(2e－1)x＋4e2－1＝0有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程．
解：由题意得Δ＝16(2e－1)2－4×2×(4e2－1)＝0，
即4e2－8e＋3＝0，解得e＝或e＝.
当e＝时，曲线为椭圆，c＝5，e＝＝，
则a＝2c＝10，b2＝a2－c2＝100－25＝75，
所以椭圆的方程为＋＝1.
当e＝时，曲线为双曲线，c＝5，e＝＝，
则a＝c＝，b2＝c2－a2＝25－＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
17．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解：(1)由题意，得椭圆C的标准方程为＋＝1，
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
又x＋2y＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝2＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4
＝＋＋4(0＜x≤4)．
因为＋≥4(0＜x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.
(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．
(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)证明：f′(x)＝ex＋4x－3，
∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，
∴f′(0)·f′(1)<0.
令h(x)＝f′(x)＝ex＋4x－3，则h′(x)＝ex＋4>0，
∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增，
∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，
∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．
(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，
得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，
即ax≤ex－x2－1，
∵x≥，∴a≤.
令g(x)＝，则g′(x)＝.
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．
∵x≥，∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在上单调递增．
∴φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
∴a的取值范围是.
阶段质量检测(五) 模块综合检测
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的( )
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
3．与直线4x－y＋5＝0平行的抛物线y＝2x2的切线方程是( )
A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0
C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0
4．(全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．下列命题的否定为假命题的是( )
A．对任意x∈R，都有－x2＋x－1＜0成立
B．对任意x∈R，都有|x| ＞x成立
C．对任意x，y∈Z，都有2x－5y≠12成立
D．存在x∈R，使sin 2x＋sin x＋1＝0成立
6．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点， 若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|有( )
A．最大值16 B．最小值16
C．最大值4 D．最小值4
9.已知函数y＝xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图像中，y＝f(x)的图像大致是( )
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知命题p：对任意x∈[0,1]，都有a≥ex 成立，命题q：存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_________．
12．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为____________．
13．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是_______ ．
14．(全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知命题p：函数f(x)＝x3＋ax＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求a的取值范围．
16．(本小题满分12分)椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点(－5,0)，(5,0)，且它们的离心率都可以使方程2x2＋4(2e－1)x＋4e2－1＝0有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程．
17．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.
(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．
(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的 取值范围．
答 案
1．选C 因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5.
2．选A 设p为“若A，则B”，
则r为“若非A，则非B”，
s为“若非B，则非A”，
即s为p的逆否命题．
3．选C 由k＝y′＝4x＝4，得x＝1，则切点为(1,2)，
所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
4．选B 根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，
可知＝. ①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9. ②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
5．选A 对于A选项命题的否定为“存在x∈R，使－x2＋x－1≥0成立”，
显然，这是一个假命题．
6．选C 抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.
7．选A f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，
即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．
8．选A 由椭圆的定义知a＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×4＝8.
由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤2＝2＝16，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，
所以|PF1|·|PF2|有最大值16.
9．选C x>0时，f′(x)在(0,1)上有f′(x)<0，
在(1，＋∞)上有f′(x)>0；
且x＝1处f(x)取极小值．
x<0时，f′(x)在(－1,0)上有f′(x)<0，
在(－∞，－1)上有f′(x)>0且x＝－1处f(x)取极大值，
即函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上减少，选项C符合题意．
10.选B a>0时，F，直线l方程为y＝2，
令x＝0得y＝－.
∴S△OAF＝··|－|＝4.解得a＝8.
同理a<0时，得a＝－8.
∴抛物线方程为y2＝±8x.
11．解析：因为对任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，所以a≥e.
由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.
若命题“p且q”是真命题，所以p、q同为真，所以e≤a≤4.
答案：[e,4]
12．解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
当x<－1或x>11时，f′(x)>0，f(x)增加；
当－1答案：(－1,11)
13．解析：由2xln x≥－x2＋ax－3，
得a≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，
则h′(x)＝.
当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.
故a的取值范围是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
14．解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，
因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，
设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，
所以N(0,4)，|FN|＝＝6.
法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，
过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
答案：6
15．解：考虑命题p为真命题时a的取值范围，
因为f′(x)＝3x2＋a，令f′(x)＝0，得到x2＝－，
当a≥0时，f′(x)≥0，函数f(x)在区间(－2,1)上是增加的，不合题意 ；
当a＜0时，由x2＝－，得到x＝± ，要使函数f(x)＝x3＋ax＋5在区间(－2,1)上不单调，则 ＜1或－ ＞－2，即a＞－12，
综上可知－12＜a＜0，
故命题p的否定是一个真命题时，a的取值范围是a≤－12或a≥0.
16.解：由题意得Δ＝16(2e－1)2－4×2×(4e2－1)＝0，
即4e2－8e＋3＝0，解得e＝或e＝.
当e＝时，曲线为椭圆，c＝5，e＝＝，
则a＝2c＝10，b2＝a2－c2＝100－25＝75，
所以椭圆的方程为＋＝1.
当e＝时，曲线为双曲线，c＝5，e＝＝，
则a＝c＝，b2＝c2－a2＝25－＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
17．解：(1)由题意，得椭圆C的标准方程为＋＝1，
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
又x＋2y＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝2＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4
＝＋＋4(0＜x≤4)．
因为＋≥4(0＜x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立，
所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
18．解：(1)证明：f′(x)＝ex＋4x－3，
∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，
∴f′(0)·f′(1)<0.
令h(x)＝f′(x)＝ex＋4x－3，则h′(x)＝ex＋4>0，
∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增，
∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，
∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．
(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，
得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，
即ax≤ex－x2－1，
∵x≥，∴a≤.
令g(x)＝，则g′(x)＝.
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．
∵x≥，∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在上单调递增．
∴φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
∴a的取值范围是.
