一、圆锥曲线的定义
1．椭圆：
平面内到两定点F1，F2距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合．
2．抛物线：
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合．
3．双曲线：
平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零小于|F1F2|)的点的集合．
圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
二、圆锥曲线的标准方程与简单性质
1．圆锥曲线的标准方程：
椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程．根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式．
2．圆锥曲线的简单几何性质：
(1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件．
(2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴．
(3)椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点．
(4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程也不同．
(5)圆锥曲线中基本量a，b，c，e，p的几何意义及相互转化是解题的重要依据．
三、轨迹方程的问题
求轨迹方程的几种常用方法：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线的定义，则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．
四、直线与圆锥曲线位置关系
1．直线与圆锥曲线位置关系问题是高考热点，涉及直线与圆锥曲线中的弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值、定点、定值等问题．
2．这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的判别式以及根与系数的关系相结合，与函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合，解决方法主要是通过解方程组，转化为一元方程，与中点弦有关的问题也可用“点差法”，解决问题的过程中，要注意“整体代换”思想的应用．
课件9张PPT。核心要点归纳阶段质量检测知识整合与阶段检测阶段质量检测见阶段质量检测（二）阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
2．(浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B.
C. D.
3．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )
A. B．2
C. D．2
4．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
5．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
6．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
7．如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10
8．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，焦点为F，且 |AF|,4，|BF|成等差数列，则k＝( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．1±
9．(浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D.
10．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_________．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．
13．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
14．以下是关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|||－|||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
16．(本小题满分12分)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．
17． (本小题满分12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
18．(本小题满分14分)已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：＋＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点．
(1)写出抛物线C1的标准方程；
(2)求△ABO面积的最小值．
答 案
1．选B 抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(－2,0)．
2．选B 根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，
∴椭圆的离心率e＝＝.
3．选B 设点P(x，y)，由·＝0，得点P满足在以F1F2为直径的圆上，
即x2＋y2＝10.又＋＝2＝(－2x，－2y)，
∴|＋|＝2.
4．选D 直线l与x轴交于(－2,0)，与y轴交于(0,1)．
由题意知c＝2，b＝1，
∴a＝，∴e＝＝.
5．选A 因为双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，
即抛物线的焦点坐标为(4,0)，
所以抛物线的标准方程为y2＝16x.
6．由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，
∴双曲线方程是x2－y2＝2，
于是两焦点分别是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．
不妨取点P(，1)，则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．
∴·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.
7.选A 如图，分别过点A，B作AA1，BB1垂直于准线l，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|，
∵|BC |＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，
∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝2|AA|＝6，
∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，
∴|BF|＝1，|AB|＝4.
8．选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4＝64(1＋k)＞0，
解得k＞－1，且x1＋x2＝.
由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，
得x1＋2＋x2＋2＝8，
得x1＋x2＝4，所以＝4，解得k＝－1或k＝2，
又k＞－1，故k＝2.
9．选B 设焦点F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，
则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
10．选A 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，
则＝(－c，－b)，＝(a，－b)．
∵离心率e＝＝，∴c＝a，b＝＝＝a，
∴·＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°.
11．解析：由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(，0)，设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝，b＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．解析：由双曲线的定义|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，∴△ABF2的周长为4a＋2|AB|＝26.
答案：26
13．解：由于x2＝2py(p＞0)的准线为y＝－，
由解得准线与双曲线－＝1的交点为A，B，|AB|＝2 ，
由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.
答案：6
14．解析：对于①，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；
对于②，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；
对于③④，显然成立．
答案：③④
15．解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，
∴6＝2p×.∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，
∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
16．解：如图，由已知设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，F2(c，0)，
则M点的横坐标为c.
∴M点的坐标为.
∴＝，＝.
∴·＝c2.
由已知得c2＝2，∴c＝2.
又在Rt△MF1F2中，
|F1F2|＝4，|MF2|＝，
∴|MF1|＝＝3.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4.
∴a＝2.∴b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
17．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，
即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝，
设AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．
18．解：(1)椭圆C2：＋＝1的右焦点为(1,0)，即为抛物线C1的焦点，
又抛物线C1的顶点在坐标原点，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时|AB|＝8，
△ABO的面积S＝×8×4＝16.
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，
联立
消去x，得ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数之间的关系得y1＋y2＝，y1·y2＝－16，
∴S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|OM||y1－y2|＝2 ＞16，
综上所述，△ABO面积的最小值为16.
