一、导数的概念
1．导数：f′(x0)＝li
Δx是自变量x在x0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．
2．导函数：
f′(x)＝li
f′(x)为f(x)的导函数，是一个函数．
二、导数的几何意义
1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义．
2．求切线方程：
常见的类型有两种：
一是函数y＝f(x)“在点(x0，f(x0))处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
三、导数的运算
1．基本初等函数的导数：
(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0；
(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝αxα－1；
(3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a.
(4)f(x)＝logax，则f′(x)＝；
(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；
(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；
(7)f(x)＝tan x，则f′(x)＝；
(8)f(x)＝cot x，则f′(x)＝－.
2．导数四则运算法则：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)等于( )
A．sin x B．cos x
C．cos α＋sin x D．2sin α＋cos x
解析：函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．
答案：A
2．设函数y＝－3x＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a，在区间[2,4]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．不确定
解析：一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率都为常数k.∵y＝－3x＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a＝b＝－3.
答案：C
3．运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为( )
A．281 B．58
C．85 D．10
解析：t＝10时的瞬时速度即为t＝10时的导数值，s′＝6t－2.
∴t＝10时，s′＝6×10－2＝58.
答案：B
4．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.
答案：A
5．曲线y＝cos x在点P处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.－ B.＋
C.＋ D.－
解析：因为y′＝－sin x，切点为P，
所以切线的斜率k＝y′|x＝＝－sin ＝－，
所以切线方程为y－＝－，
令x＝0，得y＝＋，故选C.
答案：C
6．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．
令y＝0，得xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…××
＝， 故选B.
答案：B
7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝( )
A．－2 B．2
C．1 D．－4
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)．
∴f′(1)＝－2，即f(x)＝x2－4x.
∴f′(x)＝2x－4，
∴f′(0)＝－4.
答案：D
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f(1))和点(－1，f(－1))处的切线斜率均为－2，则f(x)的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
得解得a＝0，b＝－5，
∴f(x)＝x3－5x，x∈[－3,3]，f(x)为奇函数．
答案：A
9．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，
所以x＞2.
答案：C
10．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
解析：y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－，即tan α≥－，所以α∈∪.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．设f(x)＝＋，则f′＝________.
解析：f′(x)＝′＝－＋，
∴f′＝＋＝－＋2.
答案：－＋2
12．点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
解析：∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0<0，y0>0)，则曲线C在点P处切线的斜率k＝3x－10＝2，
∴x0＝－2.
∴点P的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
13．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，
∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，∴所求切线方程为y＝－3x.
答案：y＝－3x
14．已知f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是________．
解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(路程单位：m，时间单位：s)，求s′(3)，并解释它的实际意义．
解：∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴s′(t)＝－＋2·＋4t，
∴s′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.
16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知
解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3.
故f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
此式对任意x都成立，所以
得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.
17．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．
解：∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋ax上，
∴2＝1＋a，∴a＝1，
函数f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c的导数分别为f′(x)＝3x2＋a和g′(x)＝2x＋b，且在点P处有公切线，
∴3×12＋a＝2×1＋b，得b＝2，
又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x2＋bx＋c上可得2＝12＋2×1＋c，得c＝－1.
综上，a＝1，b＝2，c＝－1.
18．(本小题满分14分)设抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
由①②，得x＋x1＋4＝0.
∵点P为切点，∴Δ＝2－16＝0，
得k＝或k＝.
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
∵点P在第一象限，
∴所求的斜率k＝.
(2)过点P作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程，得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，
∴x2＝，y2＝－4，
∴Q点的坐标为.
课件7张PPT。核心要点归纳阶段质量检测知识整合与阶段检测阶段质量检测见阶段质量检测（三）阶段质量检测(三) 变化率与导数
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)等于( )
A．sin x B．cos x
C．cos α＋sin x D．2sin α＋cos x
2．设函数y＝－3x＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a，在区间[2,4]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．不确定
3．运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为( )
A．281 B．58
C．85 D．10
4．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
5．曲线y＝cos x在点P处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.－ B.＋
C.＋ D.－
6．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. B.
C. D．1
7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝( )
A．－2 B．2
C．1 D．－4
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f(1))和点(－1，f(－1))处的切线斜率均为－2，则f(x)的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
9．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
10．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．设f(x)＝＋，则f′＝________.
12．点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
13．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为____________．
14．已知f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(路程单位：m，时间单位：s)，求s′(3)，并解释它的实际意义．
16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
17．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．
18．(本小题满分14分)设抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
答 案
1．选A 函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．
2．选C 一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率都为常数k.∵y＝－3x＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a＝b＝－3.
3．选B t＝10时的瞬时速度即为t＝10时的导数值，s′＝6t－2.
∴t＝10时，s′＝6×10－2＝58.
4．选A 由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.
5．选C 因为y′＝－sin x，切点为P，
所以切线的斜率k＝y′|x＝＝－sin ＝－，
所以切线方程为y－＝－，
令x＝0，得y＝＋，故选C.
6．选B 对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.
令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．
令y＝0，得xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝， 故选B.
7．选D ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)．
∴f′(1)＝－2，即f(x)＝x2－4x.
∴f′(x)＝2x－4，
∴f′(0)＝－4.
8．选A ∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
得解得a＝0，b＝－5，
∴f(x)＝x3－5x，x∈[－3,3]，f(x)为奇函数．
9．选C 令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，
利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.
10．选B y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－，
即tan α≥－，
所以α∈∪.
11．解析：f′(x)＝′＝－＋，
∴f′＝＋＝－＋2.
答案：－＋2
12．解析：∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0<0，y0>0)，
则曲线C在点P处切线的斜率k＝3x－10＝2，
∴x0＝－2.
∴点P的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
13．解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，
∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，∴所求切线方程为y＝－3x.
答案：y＝－3x
14．解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，
故Δ＝1－12b≥0，得b≤.
答案：
15．解：∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴s′(t)＝－＋2·＋4t，
∴s′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.
16．解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知
解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3.
故f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
此式对任意x都成立，所以
得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.
17．解：∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋ax上，
∴2＝1＋a，∴a＝1，
函数f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c的导数分别为f′(x)＝3x2＋a和g′(x)＝2x＋b，且在点P处有公切线，
∴3×12＋a＝2×1＋b，得b＝2，
又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x2＋bx＋c上可得2＝12＋2×1＋c，得c＝－1.
综上，a＝1，b＝2，c＝－1.
18．解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4， ②
由①②，得x＋x1＋4＝0.
∵点P为切点，∴Δ＝2－16＝0，得k＝或k＝.
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
∵点P在第一象限，
∴所求的斜率k＝.
(2)过点P作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5. ③
将③代入抛物线方程，得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，
∴x2＝，y2＝－4，
∴Q点的坐标为.
