一、回归分析
1．线性回归分析
设样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归直线方程为
y＝a＋bx，
其中b＝＝＝，
a＝－b.
2．相关系数
r＝＝
＝.
|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高；|r|值越接近0，变量之间的线性相关程度越低．
二、条件概率
1．条件概率的计算公式
P(B|A)＝＝.
2．计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式．
三、独立事件
1．独立事件的判断方法
(1)定义法：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．若A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
(2)事件A是否发生对事件B发生的概率无影响．
2．相互独立事件同时发生的概率的求法
P(AB)＝P(A)P(B)．
3．相互独立事件往往与互斥事件、对立事件在题目中综合考查，要注意正确运用公式．
四、独立性检验
独立性检验的一般步骤
(1)列出2×2列联表；
(2)代入公式计算χ2＝；
(3)根据χ2的值的大小作出判断．
课件8张PPT。
“阶段质量检测”见“阶段质量检测(一)”
(单击进入电子文档)
阶段质量检测（一）统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列关于χ2的说法不正确的是( )
A．根据2×2列联表中的数据计算得出χ2>6.635，则有99%的把握认为两个分类变量有关系
B．χ2越大，两个分类变量的相关性就越大
C．χ2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量
D．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量
解析：选D D选项的公式中分子应该是n(ad－bc)2.故选D.
2．下列现象的相关程度最高的是( )
A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87
B．流通费用率与商业利润之间的相关系数为－0.94
C．商品销售额与商业利润之间的相关系数为0.51
D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为－0.81
解析：选B |r|越接近1，相关程度越高．
3．从某地区儿童中预选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型合格与身体关节构造合格两者相互之间没有影响)( )
A. B．
C. D.
解析：选D P＝1－＝.
4．下列说法正确的是( )
A．P(B|A)
B．P(B|A)＝是可能的
C．0D．P(A|A)＝0
解析：选B 显然当P(AB)＝P(B)时，选项B成立．
5．如表给出5组数据(x，y)，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )
i
1
2
3
4
5
xi
－5
－4
－3
－2
4
yi
－3
－2
4
－1
6
A．(－4，－2) B．(－3,4)
C．(－2，－1) D．(4,6)
解析：选B 利用散点图选择，画出散点图如图，应除去第三组，对应点是(－3,4)．故选B.
6．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )
①若散点图中的所有点都在一条直线附近，则这条直线的方程为回归方程；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；
③已知线性回归方程为y＝－0.81＋0.50x，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由最小二乘法得到的方程才是线性回归方程，故①错，将x＝25代入y＝－0.81＋0.50x，得y＝11.69，故③正确，②④也正确．
7．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；
事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝，P(B)＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
8．在线性回归方程y＝a＋bx中，b为回归系数，下列关于b的说法中不正确的是( )
A．b为回归直线的斜率
B．b>0，表示随x增加，y值增加，b<0，表示随x增加，y值减少
C．b是唯一确定的值
D．回归系数b的统计意义是当x每增加(或减少)一个单位，y平均改变b个单位
解析：选C b是由总体的一个样本，利用一定的方法得到的，选择不同的样本或不同的计算方法得到的b是不同的．
9．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法正确的是( )
A．直线l1和直线l2有交点(s，t)
B．直线l1和直线l2相交，但交点未必是点(s，t)
C．直线l1和直线l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和直线l2必定重合
解析：选A l1与l2都过样本中心(s，t)．
10．若线性回归方程中的回归系数b＝0时，则相关系数为( )
A．r＝1 B．r＝－1
C．r＝0 D．无法确定
解析：选C 当b＝0时，＝0，
即iyi－n ＝0，
∴r＝ ＝0.
11．某工厂为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y对x的线性回归方程是( )
A．y＝11.47＋2.62x
B．y＝－11.47＋2.62x
C．y＝2.62＋11.47x
D．y＝11.47－2.62x
解析：选A 由已知条件得＝6.5，＝28.5.
由b＝，a＝－b，
计算得b≈2.62，a≈11.47，
所以y＝11.47＋2.62x.
12．在某路段上的A，B，C三处设有红绿灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在此路段上行驶，则在三处都不停车的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设这辆车在A，B，C三处不停车(开放绿灯)的事件分别为A，B，C，根据题意可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，又A，B，C相互独立，故P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
13．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________.
解析：由P(B|A)＝，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
答案：
14．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
y
2
3
5
7
8
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋；②y＝2x＋1；③y＝x－；④y＝2x.根据最小二乘法的思想，其中拟合程度最好的直线是______(填序号)．
解析：根据最小二乘法的思想得变量x与y间的线性回归方程的一个特点是：此直线必过点(，)．
由题表中的数据可得＝3，＝5，经检验只有直线①过点(3,5)，故答案为①.
答案：①
15．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图像附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________________．
解析：由y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，
即ln y＝ln 3＋2x＋1.
令u＝ln y，v＝x，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2v.
答案：y＝1＋ln 3＋2v
16．有甲、乙两个班级进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表．
班级与成绩列联表
成绩
班级
优秀
不优秀
总计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
总计
17
73
90
由上表提供的数据可知，学生的成绩与班级之间________．(填“有关系”或“没有关系”)
解析：由公式，得
χ2＝≈0.653.
因为0.653<2.706.
所以我们没有理由说成绩与班级有关系．
答案：没有关系
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了调查，得到了如下2×2列联表：
喜爱打篮球情况
性别
喜爱
打篮球
不喜爱
打篮球
总计
男生
5
女生
10
总计
50
已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整；
(2)是否有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由．
参考公式：χ2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d
解：(1)补充如下：
喜爱打篮
球情况
性别
喜爱
打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
(2)∵χ2＝≈8.333>6.635，
∴有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”．
18．(本小题满分12分)某省的一次公务员面试中一共设置了5道题目，其中2道是论述题，3道是简答题，要求每人依次不放回地抽取两道题．求：
(1)第一次抽到简答题的概率；
(2)第一次和第二次都抽到简答题的概率；
(3)在第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题的概率．
解：设“第一次抽到简答题”为事件A，“第二次抽到简答题”为事件B，则
(1)法一：从5道题中抽取2道，若有5×4种方法，第一次是简答题有3×4种抽法，
可得P(A)＝＝.
法二：依次不放回地抽取两道题才算完成一个事件，而第一次抽到简答题后，分两种情况：第二次抽到简答题或抽到论述题．
当第二次抽到简答题时，概率为＝；
当第二次抽到论述题时，概率为＝.
综上可知，第一次抽到简答题的概率为以上两个独立事件的概率之和，即＋＝.
(2)第一次和第二次都抽到简答题即为事件AB，于是P(AB)＝＝.
(3)第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题为一条件概率事件，即
P(B|A)＝＝＝.
19．(本小题满分12分)某运动员训练次数与成绩之间的关系如下表：
训练次数x
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩y
30
34
37
39
42
46
48
51
作出散点图，并求出线性回归方程．
(注：＝39.25，＝40.875，＝12 656，＝13 731，iyi＝13 180)
解：作出散点图如图所示．
由散点图，可知x，y之间具有线性相关关系．
b＝≈1.041 5，a＝－b ＝－0.003 9.
所以线性回归方程为y＝1.041 5x－0.003 9.
20．(本小题满分12分)有两个分类变量X与Y，其观测值的2×2列联表如下：
y1
y2
总计
x1
a
20－a
20
x2
15－a
30＋a
45
总计
15
50
65
其中a,15－a均为大于5的整数，若χ2≥2.706时，有90%的把握认为两个分类变量X与Y有关系，那么a为何值时，我们有90%的把握认为两个分类变量X与Y有关系？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：χ2＝
＝＝.
由χ2≥2.706得
(13a－60)2≥≈1 124.03.
所以13a－60≥33.5或13a－60≤－33.5，
即a≥7.2或a≤2.
又a>5且15－a>5，故5由于a为正整数，所以a＝8或a＝9.
21．(本小题满分12分)营养学家从某超市抽取了8种饼干，针对它们所含热量的百分比和口味认可度进行了调查研究，结果如下表所示.
所含热量的
百分比(x)
25
34
20
19
26
20
19
24
口味打分(y)
89
89
80
78
75
71
65
62
(1)画出散点图；
(2)求回归方程；
(3)若一种饼干所含热量的百分比为30，则它的口味打分估计是多少？(精确到0.01)
解：(1)散点图如图所示．
(2)由表中数据可得：
＝＝，
＝＝，
xiyi＝25×89＋34×89＋20×80＋19×78＋26×75＋20×71＋19×65＋24×62＝14 426，
x＝252＋342＋202＋192＋262＋202＋192＋242＝4 555.
所以b＝≈1.037，
a＝－1.037×≈51.9.
所以回归方程为y＝1.037x＋51.9.
(3)把x＝30代入y＝1.037x＋51.9，可得y＝83.01，即这种饼干的口味打分估计是83.01.
22．(本小题满分12分)某品牌电动车，由于不断进行技术革新，越来越受消费者喜爱，某代理商统计了2012～2018年(2012年为第一年)每年该品牌电动车的销售量，如下表所示：
年数x
1
2
3
4
5
6
7
销售量y
(千辆)
6
12
20
25
70
113
310
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求y与x之间的回归方程；(结果保留到小数点后面2位数字)
(3)估计2019年该代理商将销售该电动车多少辆(结果精确到千辆)．
解：(1)根据表中数据，作散点图，如图所示．
(2)从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，同时可发现样本点分布在某一个指数函数曲线y＝kemx的周围，其中k、m是参数．
对y＝kemx两边取对数，把指数关系变成线性关系．令z＝ln y，则变换后的样本点分布在直线z＝bx＋a(a＝ln k，b＝m)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立x与y之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：
年数x
1
2
3
4
5
6
7
z
1.79
2.48
3.00
3.22
4.25
4.73
5.74
因为xizi＝118.44，＝4，≈3.6，x＝140，所以b＝＝0.63，a＝－b ＝3.6－0.63×4＝1.08.所以z与x之间的线性回归方程为z＝0.63x＋1.08.
所以y与x之间的回归方程为y＝e0.63x＋1.08.
(3)根据上面求得的回归方程，估计2019年该代理商将销售该电动车y＝e0.63×8＋1.08≈455千辆．
