回扣验收特训（一）统计案例
1．为了研究气温对某种饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：
摄氏温度
－1
3
8
13
17
饮料瓶数
3
40
52
73
122
根据上表可得回归方程y＝6x＋a，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为( )
A．140 B．190
C．210 D．240
解析：选B 依题意得＝×(－1＋3＋8＋13＋17)＝8，＝×(3＋40＋52＋73＋122)＝58，则回归直线必经过点(8,58)，于是有a＝58－6×8＝10.当x＝30时，y＝6×30＋10＝190，故选B.
2．下列说法中正确的有：( )
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；
②若r<0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选C 若r>0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．
3．有下列数据：
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
下列四个函数中，模拟效果最好的为( )
A．y＝3×2x－1 B．y＝log2x
C．y＝3x D．y＝x2
解析：选A 分别把x＝1,2,3，代入求值，求最接近y的值．即为模拟效果最好，故选A.
4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：选B ＝＝3.5，＝＝42，∵数据的样本中心点(3.5,42)在线性回归直线上，回归方程y＝bx＋a＝9.4x＋a，∴42＝a＋9.4×3.5，∴a＝9.1，∴线性回归方程是y＝9.4x＋9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
5．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )
A．有99%的人认为该栏目优秀
B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系
C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系
解析：选D 只有χ2>6.635时才能有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．而即使χ2>6.635也只是对“电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，故选D.
6．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施( )
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
A．有关 B．无关
C．关系不明确 D．以上都不正确
解析：选A 随机变量χ2＝≈8.306>6.635，则有99%的把握认为“实验效果与教学措施有关”．
7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．
解析：由表格知＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75.
设表中的“模糊数字”为a.
则a＋62＋75＋81＋89＝75×5，
所以a＝68.
答案：68
8．某学校对课程《人与自然》的选修情况进行了统计，得到如下数据：
选
未选
总计
男
405
45
450
女
230
220
450
总计
635
265
900
那么，认为选修《人与自然》与性别有关的把握是______．
解析：χ2＝＝163.794>6.635，即有99%的把握认为选修《人与自然》与性别有关．
答案：99%
9．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则r1，r2的大小关系为________．
解析：对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1＞0；对于变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r2＜0.故r2＜0＜r1.
答案：r2＜r1
10．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据，试问：文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
总成绩情况
数学成绩情况
总成绩好
总成绩不好
总计
数学成绩好
478
12
490
数学成绩不好
399
24
423
总计
877
36
913
解：根据题意，
χ2＝≈6.233>3.841，
因此有95%的把握认为“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．
11．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：
积极参加
班级工作
不太主动
参加班级工作
总计
学习积极性高
18
学习积极性一般
19
总计
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是，请完成上面的2×2列联表．
(2)在(1)的条件下，试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关？并说明理由.
P(χ2≥k)
0.010
0.005
0.001
k
6.635
7.879
10.828
解：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是，所以积极参加班级工作的学生有24人，由此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作的人数为7，学习积极性高的人数为25，学习积极性一般的人数为25，得到：
积极参加
班级工作
不太主动
参加班级工作
总计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
总计
24
26
50
(2)χ2＝≈11.538，
因为11.538>6.635，所以有99%的把握可以认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
12．如图是我国2012年到2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－.
解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103，
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2020年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．
回扣验收特训（三）复数、框图
1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则 (a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
解析：选A 由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
2．复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D z＝＝＝＝1－i，故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．
3．绘制直平行六面体的知识结构图时，下列叙述正确的是( )
A．正方体应是最下位要素
B．正方体是长方体的上位要素
C．直平行六面体是长方体的下位要素
D．正四棱柱不是该结构图中的要素
解析：选A 正确的关系为直平行六面体→正四棱柱→长方体→正方体．
4．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为?（ ）
A.1－2i B.－1＋2i
C.3＋4i D.－3－4i
解析：选D ∵对应复数2＋i，对应复数1＋3i，,∴对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，∴对应的复数是－3－4i.
5．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝( )
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
解析：选D 由题知＝－－i，|z|＝＝1.所以＋|z|＝－i，故选D.
6．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析：选C 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则
故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
7．复数z＝的共轭复数是________．
解析：依题意得z＝＝＝1－i，因此z的共轭复数是1＋i.
答案：1＋i
8．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
9．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.
解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，
则ω＝.
∵|ω|＝5，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．
答案：±(7－i)
10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)|z|＝＝.
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，
∵＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
∴
∴a＝－3，b＝4.
11．已知z＝(x>0)，且复数ω＝z(z＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－，求ω·.
解：ω＝z(z＋i)＝
＝·＝＋i.
根据题意－＝－，得x2－1＝3.
∵x>0，∴x＝2.∴ω＝＋3i.
∴ω·＝＝.
12．某省公安消防局对消防产品监督程序步骤为：受理产品请求，审核考察，领导复核，窗口信息反馈．领导复核环节中，若不同意，则直接由窗口反馈信息；同意，如果由公安部发证的产品，则报公安部审批后，再把反馈信息由窗口反馈；如果不是由公安部发证的产品，则信息由窗口反馈出去．试画出监督程序流程图．
解：如图所示：
回扣验收特训（二）推理与证明
1．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的大前提是( )
A．增函数的定义
B．函数y＝x3满足增函数的定义
C．若x1D．若x1>x2，则f(x1)>f(x2)
解析：选A 根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y＝x3是增函数的大前提应是增函数的定义．
2．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－2 B．an＝n2
C．an＝3n－1 D．an＝4n－3
解析：选B 求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
3．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．
4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )
A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德
B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英
C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德
D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英
解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.
6．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝( )
A．1 B．2
C．3 ??D．4
解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4××r＝××?r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3.
7．观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．
解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.
答案：183
8.如图，圆环可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×.所以圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0解析：平面区域M的面积为πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r的圆为底面，以圆心为O、半径为d的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.
答案：2π2r2d
9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .
解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…
归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，
所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，
所以S7＝2×72－7＝91.
答案：91
10．已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x＋y|≤|1＋xy|.
证明：要证|x＋y|≤|1＋xy|，
即证(x＋y)2≤(1＋xy)2，
即证x2＋y2≤1＋x2y2，
即证(x2－1)(1－y2)≤0，
因为|x|≤1，|y|≤1，
所以x2－1≤0,1－y2≥0，
所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得证．
11．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，
sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：__________________________＝，(*)
并给出(*)式的证明．
解：一般形式：
sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明如下：
左边＝(1－cos 2α)＋[1－cos(2α＋120°)]
＋[1－cos(2α＋240°)]
＝－[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°]
＝－cos 2α－cos 2α－sin 2α－cos 2α＋sin 2α＝＝右边．
∴原式得证．
12．设函数f(x)＝exln x＋，证明：f(x)>1.
证明：由题意知f(x)>1等价于xln x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.
所以当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
