2019年数学北师大版选修1-2新一线同步（讲义+课时跟踪检测）：模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第三象限
C．第二象限 D．第四象限
解析：选D　＝＝－，对应点在第四象限．
2．以下是解决数学问题的思维过程的流程图(如图)：
在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”的思维方法匹配正确的是(　　)
A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法
解析：选A　综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．故选A.
3．复数为纯虚数，则它的共轭复数是(　　)
A．2i B．－2i
C．i D．－i
解析：选D　∵复数＝＝为纯虚数，∴＝0，≠0，解得a＝1.
∴＝i，则它的共轭复数是－i.
4．下列说法正确的有(　　)
①回归方程适用于一切样本和总体．
②回归方程一般都有时间性．
③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．
④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
解析：选B　回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B.
5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为(　　)
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－9
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析：选B　等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号，故选B.
6．已知x1>0，x1≠1，且xn＋1＝(n∈N*)，试证“数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为(　　)
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn>xn＋1
C．存在正整数n(n≥2)，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1
D．存在正整数n(n≥2)，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
解析：选D　命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.
7．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(　　)
A．192 B．202
C．212 D．222
解析：选C　归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝2＝212.
8．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于(　　)
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
解析：选D　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，所以解得所以z＝＋i.
9．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，那么表中m的值为(　　)
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
A．3.5 B．3
C．2.5 D．2
解析：选B　∵＝＝4.5，
＝＝，
又(，)在线性回归方程上，
∴＝0.7×4.5＋0.35，
∴m＝3.
10．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
10
40
50
不爱好
20
30
50
总计
30
70
100
附表：
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
χ2＝.
经计算，统计量χ2≈4.762，参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选A　根据题意得χ2≈4.762>3.841，故应该有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，因此选A.
11．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　根据三棱锥的体积公式V＝Sh，
得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，
即S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝3V，
所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
12．函数f(x)在[－1,1]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是(　　)
A．f(cos α)>f(sin β) B．f(sin α)>f(sin β)
C．f(cos α)解析：选A　因为α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．
所以0<α<，0<β<，<α＋β<π.
所以>β>－α>0.
所以01>sin β>sin＝cos α>0.
又因为f(x)在[－1,1]上为减函数，
所以f(sin β)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．复数z满足(1＋i)z＝|－i|，则＝________.
解析：∵(1＋i)z＝|－i|＝2，
∴z＝＝＝1－i，∴＝1＋i.
答案：1＋i
14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.
答案：1和3
15．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．
解析：第一次循环：S＝－1,1＜3，i＝2；
第二次循环：S＝－1,2＜3，i＝3；
第三次循环：S＝－1＝1,3≥3，输出S＝1.
答案：1
16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a2 018，则a2 018＝________.
解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝＝(n＋1)(n＋4)，由此可得a2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝×2 019×2 022＝2 019×1 011.
答案：2 019×1 011
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z＝.
(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1；
(2)若实数a，b满足z2＋az＋b＝1－i，求z2＝a＋bi的共轭复数．
解：由已知得复数z＝＝＝＝＝＝1＋i.
(1)因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，
所以z1＝－1＋i.
(2)因为z2＋az＋b＝1－i，
所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
因为a，b∈R，所以a＋b＝1，且2＋a＝－1，
解得a＝－3，b＝4，所以复数z2＝－3＋4i，
所以z2的共轭复数为－3－4i.
18．(本小题满分12分)为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如表：
积极支持教育改革
不太赞成教育改革
总计
工作积极
55
73
128
工作一般
98
52
150
总计
153
125
278
对于该教委的研究项目，根据上述数据，能否有99%的把握认为对待教育改革的态度与工作积极性有关？
解：根据题意可得
χ2＝≈13.959>6.635，
所以有99%的把握认为对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝，a，b∈(0，＋∞)．
(1)用分析法证明：f＋f≤；
(2)设a＋b>4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
证明：(1)要证明f＋f≤，
只需证明＋≤，
只需证明＋≤，
即证≤，
即证3b2＋12ab＋3a2≤4a2＋10ab＋4b2.
即证(a－b)2≥0，这显然成立，
∴f＋f≤.
(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于，即≤，≤，
∴2a≤b＋2,2b≤a＋2，两式相加得a＋b≤4，
这与a＋b>4矛盾，
∴af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
20．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)证明：根据两角和的正切公式得tan＝＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]
＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
21．(本小题满分12分)通过计算可得下列等式：
22－12＝2×1＋1，
32－22＝2×2＋1，
42－32＝2×3＋1，
…
(n＋1)2－n2＝2n＋1.
将以上各等式两边分别相加得：(n＋1)2－12＝2(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝.
(1)类比上述求法，请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．
(2)根据上述结论，求12＋32＋52＋…＋992的值．
解：(1)∵23－13＝3×12＋3×1＋1，
33－23＝3×22＋3×2＋1，
43－33＝3×32＋3×3＋1，
…，
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1，
将以上各式两边分别相加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，
∴12＋22＋…＋n2＝＝n(n＋1)(2n＋1)．
(2)12＋32＋52＋…＋992＝12＋22＋32＋…＋1002－(22＋42＋62＋…＋1002)＝12＋22＋32＋…＋1002－4(12＋22＋32＋…＋502)＝×100×101×201－4××50×51×101＝166 650.
22．(本小题满分12分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程y＝bt＋a；
(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程y＝bt＋a中，b＝，a＝－b.
解：(1)列表计算如下：
i
ti
yi
t
tiyi
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
6
7
8
10
1
4
9
16
25
5
12
21
32
50
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝＝＝3，＝i＝＝7.2.
又－n2＝55－5×32＝10，iyi－n＝120－5×3×7.2＝12，
从而b＝＝1.2，a＝－b＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为y＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为y＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．